Визначити найкоротшу відстань (ортодромію) між двома точками М1 (52°11'; 49°30') та М2 (58°17'; 55°36'), що лежать у північній частині земної кулі ( R = 6370 км). Знайти азимут µ21 точки М2 по відношенню до точки М1 . Розглянемо сферичний трикутник М1РМ2 (рис. 1). 
− полюс;
− екватор;
та
− меридіани, що проходять через точки
та
;
− дуга великого кола, що проходить через точки
та
. Дуга
визначає найкоротшу відстань між точками
та
. У цьому трикутнику кути:  :
М1РМ2 = ∆ λ;
РМ1М2=µ21 і
РМ2М1=µ12, а сторони М1Р = 90° - φ1 та М2Р = 90° - φ2. Різниця довгот: ∆ λ =λ2-λ1 = 55°36' - 49°30' ; ∆ λ = 6°06'. Для визначення ортодромії М1М2 скористуємось формулою косинуса сторони сферичного трикутника (2.2): cos a = cos b cos c + sin b sin c cos a . У даному випадку формула набуває вигляду: сos М1М2 = сos ( 90° - φ1 ) cos ( 90° - φ2 ) + + sin ( 90° - φ1 ) sin ( 90° - φ2 ) cos ∆ λ ; сos М1М2 = sin φ1 sin φ2+ сos φ1 сos φ2 cos ∆ λ . Обчислення: ∆ λ = 6°,100000 ; cos ∆ λ = 0,9943379 ; φ1 =52°,183333 ; sin φ1 = 0,789977 ; сos φ1 = 0,613137 ; φ2 =58°,283333 ; sin φ2 = 0,850658 ; сos φ2 = 0,525719 ; сos М1М2 = 0,992513, М1М2 = 7°,015608 ; М1М2 = 0,122445 (рад); М1М2 = R·0,122445 = 6370·0,122445 = 780 (км). Обчислення азимуту µ21 проведемо двома способами. 1) Азимут µ21 =
РМ1М2 – сферичний кут трикутника М1РМ2. Знайдемо µ21 із розв’язанням косокутного сферичного трикутника за двома сторонами та кутом між ними. Для цього скористуємось першою та другою аналогіями непера (4.17) для косокутного трикутника, у якого дані дві сторони та кут між ними:
;
. У даному випадку аналогії набувають вигляд:
: :
;
: :
. Тоді:
;
. Для контролю обчислень використаємо формулу Гауса (4.19):
Яка у даному випадку набуває вигляду:
Обчислення
;
;
;
;
; sin
;






°, 2717046=27°,2184579= =27°13'06". Проведемо контроль:

Контроль зійшовся. Відповідь: М1М2 =780 км;
=27°13'06". У загальному випадку для обчислення азимуту точки М2 по відношенню до точки М1 , які задані своїми координатами, необхідно розв’язати косокутний трикутник за двома сторонами та кутом між ними. 2) У даному випадку знайти азимут
можна за формулою: cos PM2 = cos M1P cos M1M2 + sin M1P sin M1M2 cos PM1M2 , де PM2 = 90°-φ2 ; М1Р = 90°-φ2 ; M1M2 = 7°,0156078 (знайдено у першій частині)
РМ1М2 =
. Обчислення:

= 0,889262
= 27°,219322 = 27°13'09" Зауважимо, що розвязання будь-якої задачі необхідно виконувати безпосередньо за вихідними даними задачі (якщо це можливо) і уникати використання величин, значення яких визначається в процесі розв’язання. У даному випадку відносна похибка між знайденими "величинами азимуту становить ε = 0,024%, але другий спосіб набагато коротший та простіший.