Міністерство освіти і науки України Національний університет “Львівська політехніка”  EMBED Word.Picture.8 
 Поліноміальна апроксимація нелінійних характеристик елементів Інструкція до лабораторної роботи № 1 з курсу “Моделювання об’єктів та систем” для студентів базового напрямку 60914 “Комп’ютеризовані системи, автоматика і управління” Затверджено на засiданнi кафедри “Комп’ютеризовані системи автоматики» Протокол № від . .2007 р. Львів 2007 Поліноміальна апроксимація нелінійних характеристик елементів: Інструкція до лабораторної роботи №1 з курсу “Моделювання процесів та елементів систем керування” для студентів базового напрямку 6.0914 “Комп’ютеризовані системи, автоматика і управління” / Укл.: У.Ю.Дзелендзяк, А.Г.Павельчак, В.В.Самотий – Львів: НУЛП, 2007.- 15 с. Укладачі: У.Ю.Дзелендзяк, к.т.н., ст.викл. А.Г.Павельчак, асистент В.В.Самотий, д.т.н., професор Відповідальний за випуск А.Й.Наконечний, д.т.н., професор Рецензент: І.М.Ковела, к.т.н., доцент Мета роботи – вивчити методи наближення нелінійних характеристик елементів систем керування поліноміальними функціями, а саме: поліномами Лагранжа, Тейлора та кубічними сплайнами; навчитися записувати програми у вигляді універсальних процедур для апроксимації нелінійних характеристик. ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ На практиці досить часто нелінійні характеристики елементів систем керування визначаються емпіричним шляхом, а тому задаються в табличному вигляді. Це означає, що нелінійні характеристики задаються лише декількома дискретними значеннями аргументу і функції. В подальших розрахунках, при аналізі режимів роботи цих елементів, нам необхідно мати їх неперервні характеристики. Для цього треба підібрати аналітичну функцію, яка б відображала емпіричну залежність. Найбільш зручною на практиці функцією є алгебричний поліном. Щоб його задати необхідно визначити певне число його коефіцієнтів. Широке застосування поліномів обмовлене тим, що від нього легко взяти похідну, обчислити інтеграл і т.д. Розглянемо кілька методів інтерполяції функції алгебричними поліномами. 1.1. Різницеві схеми Існує багато різницевих схем методів інтерполяції функцій. Найбільшого поширення набув метод Ньютона-Грегорі для інтерполювання “вперед”. Інтерполяційний поліном в цьому випадку має вигляд  EMBED Equation.3 
  EMBED Equation.3 
. (1) Наклавши умову збігу в дискретних точках значень функції та поліному запишемо систему рівнянь з якої визначимо коефіцієнти поліному  EMBED Equation.3 
. (2) Підставивши (1) в (2), отримаємо  EMBED Equation.3 
 (3) Як бачимо це є система  EMBED Equation.3 
 лінійних алгебричних рівнянь з трикутною матрицею. Розв’язуючи дану систему можна визначити коефіцієнти  EMBED Equation.3 
 ...  EMBED Equation.3 
. Нехай дискретні значення функції  EMBED Equation.3 
 отримані емпіричним шляхом є рівновіддаленими по вісі абсцис, тобто  EMBED Equation.3 
, (4) де  EMBED Equation.3 
 - крок табуляції. Розв’язок системи рівнянь (3) зводиться до різницевих виразів для коефіцієнтів інтерполяції  EMBED Equation.3 
 (5) Інтерполяційний поліном (1) з урахуванням отриманих залежностей (5) набуде вигляду  EMBED Equation.3 
  EMBED Equation.3 
 (6) Формула (6) називається першою інтерполяційною формулою Ньютона. Вона використовує праві різниці. При застосуванні лівих різниць можна отримати другу інтерполяційну формулу Ньютона. Використання центральних різниць для отримання інтерполяційних формул приводить до формул Гауса, Стірлінга та Бесселя. 1.2. Кубічний сплайн У випадку коли ми хочемо вик...