Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України Національний університет „Львівська політехніка” Розрахункова робота з курсу «Теорія електричних і магнітних кіл» Варіант 15  Варіант 8 Завдання до розрахункової роботи Схема (рис. 1,а) з параметрами елементів R1 = 100 Ом, R2 = 27кОм R3 = 30 кОм, С = 40 мкФ, L = 2 мГн. Вмикається на вхідний сигнал трапецієвидної форми (рис. 1,б) U0=6 В,Um=- 4 В, tс=5 мс. Початкові значення напруг конденсаторів та струмів котушок індуктивностей приймаються такими, що дорівнюють нулю: uC(0-) = 0; іL(0-) = 0. Розрахувати напругу uс(t). // а) б) Рис. 1. Розрахункова схема а), часова діаграма дії б) Характер зміни напруги uс(t) визначає два моменти комутації: перший – в момент часу t=0 та другий – tс. Відповідно вихідна величина повинна мати свої аналітичні вирази між цими точками часу. Тому знаходження вихідної величини проводиться в два етапи: спочатку на часовому інтервалі 0+ ≤ t ≤ tc- з відомими початковими умовами, потім на інтервалі tc+ ≤ t < ∞ з початковими умовами, що визначаються значеннями змінних стану під час другої комутації. Перехідними процесами - в електричних колах називається процеси, які виникають під час переходу від одного усталеного стану до іншого. Такий перехід зумовлюється комутацією , тобто під’єднанням чи від’єднанням від електричного кола того чи іншого елемента. Перехідні процеси виникають як у колах постійного струму так і у колах змінного струму , однак необхідною умовою є наявність у колі реактивних елементів , бо саме реактивні елементи можуть нагромаджувати електричну енергію і тим самим зумовлюють інерційність процесів у колі. Знаходження величини струму uс(t) класичним методом. У нашому колі присутні два реактивні елементи це напруга на конденсаторах , та струм котушки індуктивності. Запишемо р-ня такого кола після комутації , на підставі 2-го закону Кірхгофа : / e(t) = UR1 – UR2 – Uc – UL = 0; Урахувавши, що UR = Ri; a i = C(duc)/(dt) Отримуємо дифрівняння : CR(duc)/(dt) + Uc = e(t). Яка переписується в стандартному вигляді : (duc)/(dt) + 1/RC*(Uc) = e(t)/RC Це рівняння є неоднорідним і тому його розв’язок складається із загального розв’язку однорідного рівняння і часткового розв’язку неоднорідного Uc(t) = Uc(0) + Uc(н) Uc(0) = k1 * eλt де , λ = - 1 / RC Uc(н) = e(t) , k1 – стала інтегрування , тобто Uc(t) = k1 * e-t/RC + e(t). Визначити сталу k1 із початкових умов Uc(0) = U0. Тобто: K1 + e(t) = U0 або k1 = U0 – e(t). Отже, напруга на конденсаторі під час перехідного процесу змінюється за таким законом : Uc(t) = (U0 – e(t)) * et/RC + e(t). Uc(t) = (6 – 0) * et/RC + 0 = 6* et/RC = ; Знаходження величини струму методом інтеграла Дюамеля Визначаємо перехідну характеристику за струмом hi(t) як реакцію кола на дію одиничної напруги е(t) = 1 (t). Загальний розв’язок неоднорідного рівняння знаходимо за формулою
Коефіцієнт К0 визначаємо з усталеного режиму на постійному струмі K0 = 1 / R1 + R2 = 1 / 100 + 27*103 = 0,000032 ~ 0. hi ( 0+ )= K1 + K2 =1/R1 ; λ1K1 + λ2K2 =
. K2 = 1/R1 - K1;
; λ1 K1 + λ2K2 = 0; λ1 K1 + λ2 ( 1/R1 - K1 ) = 0; λ1 K1 + λ2 / R1 – λ2K1 = 0; λ2 / R1 = K1 ( λ2 – λ1 );
; K2 = 1/R1 – K1 = 0,01 – 0,01 = 0. Обчисливши коефіцієнти К1 та К2 , записуємо перехідну характеристику за струмом у вигляді
На інтервалі часу 0+ ≤ t ≤ tc- струм і1(t) визначається за інтегралом Дюамеля як
(9) Знайдемо значення функцій, які складають вираз (9): е ( 0+ ) = U0 =6B; / = 200.
. Після підстановки отримуємо: / = (200/250) * 0,01 + (6 – 200/250)*0,01 * eλ1t = 0,008 + 0,052 * eλ1t Між першою та другою комутаціями il(t) = (8 - 52)*10-3 A. На інтервалі часу tc+ ≤ t < ∞ струм і1(t) визначається за інтегралом Дюамеля як / = (6 – 200/250) * 0,01 * eλ1t + (200/250 – 4 ) * 0,01 eλ1t * eλ1tc = 0,954 eλ1t Отже, струм і1( t ) після другої комутації t ≥ tс+ змінюється за законом Il(t) = 954λ1t * 10-3 = 954 e -250t * ...