Міністерство освіти і науки України Національний університет “Львівська політехніка” Кафедра автоматизованих систем управління / Звіт з лабораторної роботи №6 предмету «Моделювання систем» на тему “ Ідентифікація законів розподілу та оцінювання параметрів вибіркових даних при моделюванні випадкових процесів ”  Львів 2014 Мета Вивчення методів ідентифікації характеристик випадкових величин та процесів при статистичному моделюванні систем. Об’єм роботи: 4 години. Теоретичні положення В тому випадку, коли деякі з елементів системи виявляють стохастичну поведінку, в процесі моделювання виникає проблема оцінки відповідності експериментальних даних деякому теоретичному розподілу. Якщо спостерігається така відповідність, надалі існує можливість побудови моделі вхідних або очікуваних подій на основі теоретичного розподілу. Розв'язок цієї проблеми досягається в декілька етапів: Накопичення вхідних даних. Точкове та інтервальне оцінювання моментів (математичного сподівання, дисперсії, моментів вищого порядку). Побудова гістограми для вхідних даних. Вибір закону розподілу. Оцінка значень параметрів закону розподілу на основі дослідних даних. Перевірка відповідності між експериментальними даними та обраним законом розподілу за вибраним критерієм. 2.1. Точкове оцінювання математичного сподівання та дисперсії Точкові оцінки являють собою числа, отримані шляхом підстановки значень вибірки
у формулу для оцінюваного параметру. Математичне сподівання mx та дисперсію
оцінюють за допомогою співвідношень:
(2.1)
(2.2) Оцінки, отримані в результаті статистичної обробки вибіркових даних, повинні задовільняти наступним вимогам: Оцінка повинна бути незміщеною, тобто математичне сподівання її повинно дорівнювати параметру, який визначається,
, де
-оцінка параметру g . Оцінка повинна бути ефективною, тобто мінімізувати значення середньоквадратичної похибки оцінки,
, де g1 - оцінка, яка розглядається, gi - довільна інша оцінка. Оцінка повинна бути суттєвою, тобто при збільшенні кількості випробувань N значення оцінки повинно бути збіжним до значення оцінюваного параметру
. Наведені оцінки математичного сподівання та дисперсії є суттєвими та незміщеними, а для вибірки з нормальної сукупності
являє собою ефективну оцінку, а
прямує до ефективної при N((, тобто є асимптотично ефективною. Незміщеність оцінки
досягається використанням в знаменнику формули (2.2) величини (=N-1, яка називається числом степенів вільності і обчислюється як різниця між числом наявних експериментальних значень N та кількістю додаткових параметрів, які входять у формулу для оцінки дисперсії і обчислюються як лінійні комбінації тих самих спостережень (параметр
). 2.2. Інтервальне оцінювання математичного сподівання та дисперсії Точкові оцінки параметрів не дозволяють оцінити, наскільки близька оцінка
до відповідного значення теоретичного параметру g. Більш інформативний спосіб полягає в побудові інтервалу, в якому з заданою достовірністю виявиться оцінюваний параметр, тобто в визначенні інтервальної оцінки параметру g. Інтервальною оцінкою параметру g називається інтервал, межі якого l1 та l2 являють собою функції значень вибірки
і який з заданою ймовірністю Р накриває оцінюваний параметр:
(2.3) Інтервал
називається довірчим, а його межі l1 та l2 - випадкові величини - нижня та верхня довірчі межі відповідно. Р називається довірчою ймовірністю, а величина α=1-P - рівнем значимості, який використовується при побудові довірчого інтервалу. Таким чином інтервальна оцінка характеризується шириною довірчого інтервалу L=l2-l1 та довірчою ймовірністю Р, яка характеризує степінь надійності результатів. Процедура отримання інтервальної оцінки полягає в наступному: Записуємо певне ймовірнісне твердження виду
(2.4) де ((() - функція густини ймовірності випадкової величини (. При цьому значення (1 та (2 визначаються за допомогою додаткових умов:
(2.5) Аргумент виразу (2.4) перетворюють таким чином, щоби в результаті параметр, який ...