МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ «ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА» Кафедра ЕОМ
ЗВІТ з лабораторної роботи №3 з дисципліни: «ЦОС» на тему: «ВИЗНАЧЕННЯ І ДОСЛІДЖЕННЯ СПЕКТРАЛЬНИХ ХАРАКТЕРИСТИК СИГНАЛІВ»  Мета роботи: Визначити спектр заданого сигналу засобами системи SCILAB. Дослідити властивості сигналу, провівши фільтрацію в частотній області. ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ Для знаходження частотних характеристик сигналу в практиці ЦОС використовується Дискретне Перетворення Фур’є (ДПФ), а для відтворення сигналу за його спектром – Обернене Дискретне Перетворення Фур’є (ОДПФ). Прямим та оберненим дискретним перетворенням Фур’є (ДПФ) називають пару взаємооднозначних лінійних перетворень виду (1), (2) Пряме (ДПФ):

(1) Обернене (ОДПФ):

(2) де:
,
- послідовність відліків в часовій області;
,
- дискретні коефіцієнти Фур’є - один період послідовності в частотній області;
- номер відліку послідовності
, що відповідає частоті
;
, Т – тривалість сигналу;
- повертаючий множник ,
. При цьому величина
називається роздільною здатністю за частотою. Пряме дискретне перетворення Фур’є (1) призначено для виконання Фур’є - аналізу, тобто визначає спектральні компоненти (складові)
сигналу
. Обернене перетворення Фур’є (2) забезпечує Фур’є - синтез сигналу
за заданим набором спектральних компонент
. У загальному випадку послідовності
і
- комплексні. Якщо ж
- дійсна послідовність, то
є комплексно спряженою:
,
. Для дійсних сигналів спектральні компоненти з номерами
відповідають від’ємним частотам і не мають фізичного змісту. Швидким перетворенням Фур’є (ШПФ) називають групу алгоритмів, що суттєво зменшують обчислювальні затрати при обчисленні прямого чи оберненого перетворень у порівнянні з безпосереднім способом, що ґрунтується на формулах (1) чи (2). Серед відомих алгоритмів ШПФ найпростішу структуру має алгоритм Кулі - Тьюкі за основою два (ШПФ2). Його основна ідея полягає в рекурсивному (при
) зведенні
-точкових (
) перетворень до двох
-точкових. При часовому проріджені з цією метою застосовується формула розкладу:
(3) де
,
,
. Якщо обчислюється
- точкове перетворення комплексної послідовності, то кількість операцій комплексного множення
і додавання
в алгоритмі ШПФ рівні:
,
. У порівнянні з безпосереднім способом обчислення перетворень (1) чи (2), який потребує
комплексних множень і
комплексних додавань, обчислювальні затрати суттєво скорочуються - приблизно в
раз (наприклад, при
- в сотні раз). Крім ноpмуючого постійного множника
, в оберненому ДПФ маємо комплексно-спряжені повертаючі множники
. Для розробки алгоритму швидкого оберненого ДПФ використовуємо рівність
=
, що отримується з (2) в результаті операції комплексного спряження. Інакше кажучи, для обчислення оберненого ДПФ послідовності
за допомогою алгоритму прямого ШПФ достатньо: знайти комплексно спряжену послідовність
; обчислити її пряме ДПФ -
; виконати операції комплексного спряження і множення на нормуючий множник отриманої послідовності:
* . Фур’є- образ
називають комплексним спектром або просто спектром дискретного сигналу. Комплексну функцію
можна виразити через її модуль і аргумент (як і довільне комплексне число):
, де:
називають амплітудним спектром
називають фазовим спектром. Фільтрація сигналів. Математично процес фільтрації полягає у перетворенні спектру сигналу у відповідності з заданою функцією, що визначає спектральну характеристику фільтра. Залежно від призначення фільтру, а отже і загального виду його частотної характеристики, виділяють такі основні, найбільш розповсюджені, типи фільтрів частотної селекції (вибіркові фільтри): НЧ- фільтри (low-passfilters) – фільтр низьких частот – пропускає всі частоти нижче заданої; ВЧ- фільтри (high-passfilters) – фільтр високих частот пропускає всі частоти вище заданої; смугові фільтри (band-passfilters) – пропускають лише визначену смугу частот; режекторні фільтри (band-rejectfilters) – пригашають визначену...