Міністерство освіти і науки України Національний університет «Львівська політехніка» Чисельні методи Методичні вказівки до виконання лабораторної роботи №1 «Абсолютна та відносна похибка» для студентів базового напряму «Комп’ютерні науки» Затверджено На засіданні кафедри АСУ Протокол №10-2015/2016 Від 10.03.2016 року Львів - 2016 Чисельні методи: Методичні вказівки до виконання лабораторної роботи «Абсолютна та відносна похибка» для студентів базового напряму «Комп’ютерні науки» / Укл.: І.М.Дронюк.- Львів: Видавництво Національного університету «Львівська політехніка», 2016.-15 с. Укладач Дронюк І.М., канд.фіз.-мат. наук, доц. Відповідальний за випуск Шпак З.Я., канд. техн.наук, доц. Рецензент Цмоць І.Г., д-р техн. наук, проф. Мета роботи: вивчити поняття абсолютної та відносної похибки та методи їх оцінювання. Порядок роботи: Створити проект для виконання індивідуального завдання. Оформити звіт для захисту лабораторної роботи за зразком назва роботи мета роботи порядок роботи короткі теоретичні відомості алгоритм розв’язку задачі тексти відповідних модулів проекту аналіз отриманих результатів та висновки Короткі теоретичні відомості Теорема. Якщо додатне наближене число а має п точних десяткових знаків, то відносна похибка δ цього числа задовольняє умову δ ≤

, де ат – перша значуща цифра числа а . Доведення. Нехай а = αm ·10 m +αm - 1 ·10m - 1 + ... + αm – n +1 ·10m – n + 1 є наближеним значенням точного числа А з n точними знаками. Тоді, згідно з означенням числа точних знаків наближеного числа, одержуємо ∆= | А – а |≤
· 10m – n + 1. Звідси -
· 10m – n + 1 ≤ А – а ≤
· 10m – n + 1 . Тому А ≥ а -
· 10m – n + 1 ≥ αm ·10 m -
· 10m – n + 1 або А ≥
· 10m
. Права частина отриманої нерівності досягає найменшого значення при п = 1, тому А ≥
· 10m
≥
· 10m (2аm - 1). Оскільки 2аm - 1 = ат + (ат – 1 ) ≥ аm , то А ≥
аm · 10m. Тепер, згідно з означенням, δ =
, або δ ≤
. Наслідок 1. За граничну відносну похибку наближеного додатного числа а з п точними десятковими знаками можна прийняти δa =
де аm - перша значуща цифра числа а . Наслідок 2. За граничну відносну похибку наближеного додатного числа а з п точними десятковими знаками при п ≥ 2 практично можна прийняти δa =
. Справді, якщо п>2, то числом
у нерівності можна знехтувати. Тоді А ≥
· 10m ·2аm = аm · 10m. Тому δ =
, Приклад 1. Яка гранична відносна похибка наближеного числa а = 3,14 , що замінює точне число А = π? Оскільки п = 3 і ат = 3 , то на підставі наслідку 2 δa =
% . Приклад 2. Зі скількома точними десятковими знаками треба взяти
, щоб відносна похибка була не більша за 0,1% ? Оскільки ат = 4, δ ≤ 0,001, то на підставі наслідку 1 має виконуватися нерівність:
Звідси 10n – 1 ≥ 250 або п ≥ 4 . Для визначення кількості точних знаків наближеного числа а , якщо відома його відносна похибка δ , можемо скористатися наближеною формулою δ =
де ∆ - абсолютна похибка наближеного числа а . Із цієї формули одержуємо, що ∆ = δ |a|. Маючи ∆, на підставі означення легко знайти кількість точних десяткових знаків наближеного числа а . Приклад 3. Число а = 7654 має відносну похибку δ = 0,01. Скільки в ньому точних цифр? Оскільки ∆ = δ a = 76,54 <
· 103 то число а має лише одну точну цифру. Похибки арифметичних операцій 1. Похибкa суми. Теорема 1. Абсолютна похибка алгебраїчної суми декількох наближених чисел не перевищує суми абсолютних похибок цих чисел. Доведення. Нехай x1, x2, …, хп – задані наближені числа. Розглянемо їх алгебраїчну суму и = ± х1 ± х2 ± ... ± хп . Тоді похибка цієї алгебраїчної суми Дм буде складатися з алгебраїчної суми похибок доданків, тобто ∆и = ± ∆х1 ±∆ х2 ± ... ±∆ хп . Звідси |∆и| ≤ |∆х1| + |∆х2| + ... +|∆хп| . Наслідок. За граничну абсолютну похибку алгебраїчної суми декількох наближених чисел можна прийняти суму граничних а...