ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ 4-5. НЕПЕРЕРВНО-СТОХАСТИЧНІ МОДЕЛІ (Q-СХЕМИ). 6.1. Основні поняття Q – схем. Застосування цього підходу розгланемо на прикладі використання математичних схем систем масового обслуговування. Для всіх цих моделей характерним є випадковий процес їх функціонування. Розглянемо одноканальну систему масового обслуговування (рис.6.1).
Рис. 6.1. Одноканальна система масового обслуговування. де Yi-вихідний потік, ui-час обслуговування заявки, wi-час очікування обслуговування заявкою, (i- кількість заявок, які поступають в одиницю часу, ni- кількість заявок в системі, ni=li+(i, де (і- коефіцієнт завантаження, li- кількість заявок в черзі. Потік подій називається однорідним, якщо він характеризується тільки моментами наступлення цих подій, {tn} 0=t1<t2<...<tn і ніяк не характеризує самі події. Однорідний потік подій може також задаватися проміжками часу між послідовними подіями {(n}, (1=t1-t0, (2=t2-t1, ..., (n=tn-tn-1. Потік неоднорідних подій - це послідовність, яка характеризується двома параметрами {tn,fn}, tn- моменти часу наступлення події, fn- набір ознак цієї події. Потік подій називається потоком з обмеженою післядією, якщо сумісна функція густини інтервалів (i може бути представлена наступним чином: f(z1,z2,...,zn)=f(z1)f(z2)...f(zn). Потік подій називається ординарним, якщо lim[((t0,t)/t]=0 при t→0, де функція ((t0,t) - ймовірність появи двох і більше подій на проміжку часу t. Нехай заданий цілочисельний вектор k=(k1,k2,...,kn), і вектор t=(t1,t2,...,tn). Визначимо pk(t0,t) як ймовірність появи k1 подій на проміжку часу від t0 до t1 , k2 подій на проміжку часу від t1 до t2 і т.д. Якщо ця функція не залежить від t0, а визначається тільки векторами t і k, то потік називається стаціонарним. Для стаціонарного потоку справедливим є співвідношення f(z2)=f(z3)=...=f(zn), де n>1.
, де m-середнє значення проміжку часу між моментами наступлення подій. f(z) - функція густини закону розподілу проміжків часу. m=1/(, де ( - інтенсивність вхідного потоку. Для стаціонарного потоку з обмеженою післядією має місце формула Пальма:
- функція розподілу інтервалу τ1. Вона дозволяє знайти розподіл (1, якщо відомий розподіл для всіх інших інтервалів починаючи з другого. Для рівномірного закону розподілу:

Математичне сподівання:
Розподіл інтервалів часу (і:
M(τ1)=b/3 - математичне сподівання τ1. Якщо ймовірність pk(t0,t) поступлення k заявок в інтервалі часу (t0,t0+t) не залежить від чередування подій до моменту t0, тобто, якщо умовна ймовірність pk(t0,t) , яка обчислена при будь-якому припущенні послідовності подій до моменту t0 дорівнює безумовній ймовірності тої ж події, то потік називається потоком без післядії. Єдиним стаціонарним ординарним потоком без післядії є найпростіший потік або потік Пуасона, для якого функція розподілу кількості подій на проміжку часу t дорвнює: pk(t0,t)=(((t)k / k!)*e-( t, f(z)=(*e-( t, f(z1)=(*e-( t. 6.2. Q - схема типу M|M|1 (за класифікацією Кендела). Ця система може бути описана процесом розмноження і загибелі з постійними інтенсивностями народження ( і загибелі (. Процес представляє процес розмноження і загибелі, якщо він є однорідним ланйюгом маркова x(t) з множиною станів {0,1,...}, якщо події розмноження і загибелі є незалежними подіями і якщо виконуються наступні умови: В1: P[за проміжок часу (t відбудеться народження 1 заявки при умові, що в популяції к заявок]=( (t+О((t). D1: P[за проміжок часу (t відбудеться загибель 1 заявки при умові, що в популяції к заявок]=( (t+О((t). B2: P[за проміжок часу (t не відбудеться народження жодної заявки при умові, що в популяції к заявок]=1-( (t+О((t). D2: P[за за проміжок часу (t не відбудеться загибелі жодної заявки при умові, що в популяції к заявок]=1-( (t+О((t). Згідно з цим припущенням кратні народження, кратні загибелі і одночасні народження і загибелі на протязі малого проміжку часу заборонені в тому відношенні, що ймовірність таких кратних подій має порядок О((t). Будемо шукати ймовірність того, що об’єм популяції в момен...