МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
<<ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА>>
Інститут ІКНІ
Кафедра автоматизовані системи управління
ЗВІТ
Лабораторна робота №5
З курсу “Чисельні методи”
«Метод ітерацій»
Лабораторна робота № 5
Розв’язування системи нелінійних рівнянь методом простої ітерації (методом Ньютона)
Мета роботи: вивчити і засвоїти метод Ньютона.
Порядок роботи:
Попереднє опрацювання теоретичного матеріалу.
Отримання допуску до виконання лабораторної роботи.
Опрацювання типового навчального завдання (прикладів).
Створення проекту для виконання індивідуального завдання.
Оформити звіт для захисту лабораторної роботи за зразком:
назва роботи;
мета роботи;
короткі теоретичні відомості;
алгоритм розв’язування задачі;
тексти відповідних модулів проекту;
аналіз отриманих результатів та висновки.
Захист лабораторної роботи.
1.Короткі теоретичні відомості
1.1 Метод Ньютона для системи двох рівнянь.
Нехай потрібно знайти розв’язок системи двох нелінійних рівнянь
F(x,y)=0
(1)
G(x,y)=0
де F,G:Rn→Rn
Послідовні наближення обчислюємо за формулами
xn+1=xn-
(2)
n=0,1,2…
Якобіан
повинен бути відмінним від нуля. Початкове наближення x0,y0 визначають наближено (графічно). Але зауважимо, що метод ефективний лише при достатній близькості початкового наближення в (2) до розв’язку системи (1).
1.2 Метод простої ітерації для системи двох нелінійних рівнянь.
Нехай потрібно з заданою точністю ε знайти дійсні корені системи двох нелінійних рівнянь.
F1(x,y)=0
(3)
F2(x,y)=0
Кількість і наближення коренів системи (3) знаходимо графічно. Нехай система має тільки ізольовані дійсні корені. При використанні методу ітерацій систему (3) зводимо до еквівалентної системи наступного вигляду:
(4)
де , – так звані інтегруючі функції. На основі системи (4) будуємо ітерації
(5)
Згідно з теоремою [3, с. 79] для збіжності процесу (5) до кореня системи (4) необхідно, щоб виконувалася умова на неперервнодиференційовні функції ,
(6)
Оцінка похибки n-го наближення дається формулою
(7)
де M=max{q1,q2}
Збіжність методу ітерацій є доброю, якщо М<1/2, при цьому М/(1-М)<1.
Побудуємо ітеруючі функції для системи (4)
(8)
Коефіцієнти α,β,γ,δ знаходимо з системи
(9)
За такого підбору параметрів α,β,γ,δ умова (6) виконується, якщо часткові похідні функцій , змінюється мало в околі точки
Приклад.. Нехай маємо систему
Записуємо еквівалентну систему
В квадраті будуть виконуватися умови
0<φ1<1, 0<φ2<1
Тоді умови (6) матимуть вигляд
1.3 Метод Ньютона для системи n рівнянь.
Нехай задано систему
(10)
Систему (10) можна записати в компактному вигляді (векторна форма запису)
(11)
де , .
Для розв’язування (11) користуємося методом послідовних наближень Ньютона. Розв’язок системи представимо у вигляді
p=0,1,2…. (12)
Вводимо матрицю Якобі для системи функцій
Якщо ця матриця не особлива, то Тоді поправку обчислюємо за формулою
p=0,1,2… (13) де -обернена матриця Якобі.
Отже, послідовні наближення знаходять за формулою
p=0,1,2… (14)
За нульове наближення можна взяти наближене значення вектор-кореня. Для отримання кожного наближення потрібно знаходити обернену матрицю .
Умови збіжності методу Ньютона досліджені Л.В.Канторовичем та А.М.Островським.
1.4 Метод ітерацій для системи n рівнянь.
Нехай
(15)
де дійсні, визначені в околі ω ізольованого кореня системи (15). Запишемо її в векторній формі
де (16)
Для знаходження вектор-кореня системи (16) можна використати метод ітерацій
p=0,1,2… (17)
Для цього систему n лінійних рівнянь загального вигляду (11) як і в (16) запишемо в еквівалентному вигляді
де – ітеруюча вектор-функція, що має вигляд
...
