Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Матричні ігри та їх розв’язування в середовищі EXCEL і MATHCAD
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
ІКНІ
Факультет:
КН
Кафедра:
Автоматизовані Системи Управління
Інформація про роботу
Рік:
2024
Тип роботи:
Лабораторна робота
Предмет:
Математичні методи дослідження операцій
Варіант:
11
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
<<ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА>>
Інститут ІКНІ
Кафедра автоматизовані системи управління
ЗВІТ
Лабораторна робота №14
З курсу “ Математичні методи дослідження операцій ”
Лабораторна робота №14
Матричні ігри та їх розв’язування в середовищі EXCEL і MATHCAD
Мета роботи: набуття навиків побудови математичної моделі задачі конфліктної ситуації між двома гравцями та застосування симплекс методу для знаходження її розв’язку в середовищах Excel і MathCad.
Короткі теоретичні відомості.
Матричні ігри визначені як трійки
Г = <x, y, H> (1)
де x і y – множини, елементи яких називаються чистими стратегіями 1-го і 2-го гравців; H – функція від двох змінних x і y, яка визначає виграш 1-го гравця і називається функцією виграшу. Пара (x, y) – ситуація в чистих стратегіях.
Враховуючи те, що кількість можливих дій (стратегій) кожного з гравців скінченна і рівна відповідно m і n, функцію виграшу представляють у вигляді матриці:
H = || hi,j ||, i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n. (2)
Будь-яку скінченну, антагоністичну гру можна задати дійсною матрицею (матрицею виграшів), тому вона й отримала назву матрична. Вибір 1-им гравцем стратегії i – це вибір рядка i, а вибір 2-им, стратегії j – вибір стовпця j. Виграш 1-го гравця при цьому дається елементом матриці, що стоїть на перетині i-го рядка та j-го стовпця.
Матрична гра двох гравців з нульовою сумою(антагоністична гра) полягає в тому, що кожен із гравців робить один хід: І гравець вибирає свою і-ту стратегію (і = 1,2,...m), ІІ – свою j-ту стратегію (j = 1, 2, ..., n), після чого перший гравець дістає виграш за рахунок другого гравця (якщо< 0, то це означає, що І платить ІІ ). На цьому гра завершується.
Розв’язок матричної гри шукаємо як розв’язок системи
лінійних нерівностей
H(X*, y) ( v при y ( y, (3)
H(x, Y*) ( v при x ( x, (4)
і лінійних рівнянь
X = ((1, (2, ..., (m), (i ( 0, , (5)
Y = ((1, (2, ..., (n), (j ( 0, , (6)
де X*, Y* – оптимальні стратегії гравців 1-го і 2-го; v – ціна матричної гри; m, n – кількість чистих стратегій 1-го і 2-го гравців; (i і (j – ймовірності застосування гравцями своїх чистих стратегій i – 1-им і j – 2-им гравцем.
Перевіркою виконання рівності
(7)
встановлюємо тип оптимальних стратегій, які застосовуються гравцями. Якщо рівність виконується, то гравці застосовують свої чисті оптимальні стратегії, а якщо ні, то хоча б у одного з них стратегії будуть змішаними.
Позначимо
. (8)
Означення. Число (, знайдене за формулою (8), називається нижньою чистою ціною гри і показує, який мінімальний виграш може гарантувати собі перший гравець, застосовуючи свої чисті стратегії при будь-яких можливих діях другого гравця.
Другий гравець при оптимальній поведінці повинен за рахунок своїх стратегій досягти максимального зменшення виграшу першого гравця. Тому для другого гравця знаходиться, тобто максимальний виграш першого гравця при умові, що другий гравець застосує свою j – ту чисту стратегію, далі другий гравець знаходить таку свою j = j1 стратегію, при якій перший гравець отримує мінімальний виграш, тобто другий гравець знаходить
. (9)
Означення. Число (, яке знайдене за формулою (9), називається чистою верхньою ціною гри і показує, який максимальний виграш за рахунок своїх стратегій може гарантувати собі перший гравець. Іншими словами, застосовуючи свої чисті стратегії, перший гравець може забезпечити собі виграш, не менший за (, а другий гравець за рахунок застосування своїх чистих стратегій може не допускати більший, ніж ( виграш першого гравця.
Означення. Якщо для гри з матрицею А нижня і верхня чисті ціни гри співпадають, тобто ( = (, то кажуть, що ця гра має оптимальні чисті стратегії і чисту ціну гри: υ = ( = (.
Означення. Сідлова точка – це пара чистих стратегій (i0, j0) відповідно першого та другого гравця, при яких виконується нерівність
aioj ( aiojo ( aioj, (10)
де i, j – будь-які чисті стратегії відповідно першого і другого гравців; (i0, j0) – стратегії, які утворюють сідлову точку.
2. Порядок роботи:
Записати матрицю гри таблицею Еxcel та, використовуючи функції Еxcel мах та міn , перевірити наявність чистих оптимальних стратегій гравців.
Використовуючи поняття домінуючих стратегій, зменшити розмірність задачі.
Розв’язати матричну гру для гравця А графічним методом.
Розв’язати матричну гру для гравця В симплекс методом.
Знайти оптимальні змішані стратегії гравця А та гравця В та ціну гри. Проінтерпретувати знайдені результати.
Оформити звіт для захисту лабораторної роботи за зразком
назва роботи;
мета роботи;
порядок роботи;
короткі теоретичні відомості;
алгоритм розв’язування задачі;
малюнки відповідних таблиць;
аналіз отриманих результатів та висновки.
2.1 Індивідуальне завдання
11. 32 23 25 27 29 30
30 28 26 24 22 10
20 18 16 14 12 10
3. Виконання завдань
3.1 Матриця гри таблицею Excel
/
3.2 Використовуючи поняття домінуючих стратегій, зменшити розмірність задачі.
32 23 25 27 29 30
30 28 26 24 22 10
20 18 16 14 12 10
Розглянувши перший рядок, знайдемо в ньому мінімальний елемент 23 в першому стовпчику. Перевіримо, чи він не є максимальним у цьому стовпці. Бачимо, що ні.
Отже, він не є сідловим елементом і розв’язку в чистих стратегіях тут нема.
Аналогічно, проаналізувавши другий і третій рядки матриці (елементи 10 у п’ятому і 10 у п’ятому стовпці), теж не є сідловими точками.
Оскільки всі елементи третього рядка є меншими за відповідні елементи першого рядка, то матриця набуде наступного вигляду
32 23 25 27 29 30
30 28 26 24 22 10
3.3 Розв’язуємо матричну гру для гравця А графічним методом (MathCad).
Для цього, виходячи з даних матриці А, одержимо наступні залежності:
M1(x) = 32x + 30 M2(x) = 23x+28 M3(x) = 25x + 26
M4(x) = 27x+24 M5(x) = 29x+22 M6(x) = 30x+10
/
3.4 Розв’язати матричну гру для гравця В симплекс методом
/
/
3.5 Знайти оптимальні змішані стратегії гравця А та гравця В та ціну гри. Проінтерпретувати знайдені результати
Гравець B:
Маємо рішення: x1 =0, x2 = 0.0328, x3 = 0, x4= 0, x5= 0, x6= 0.0082; Значення цільової функції F = 0.041 (5/122)
Оскільки F = 1/v, то v = 122/5
Знайдемо ймовірності використання чистих стратегій для гравця B:
(qi = xi * v);
q1 = 0,
q2 = (0.0328)*(122/5) = 0.80032,
q3 = 0,
q4 = 0,
q5 = 0,
q6 = (0.0082)*( 122/5) = 0,20008;
B(0;0.8;0;0;0;0.2)
Гравець A:
Маємо рішення : y1 = 0,2, y2 = 0,2; Значення цільової функції F = 0.041
Оскільки F = 1/v, то v = 122/5
Знайдемо ймовірності використання чистих стратегій для гравця B:
(qi = yi * v);
q1 = 122/5*0.2= 4.88,
q2 = 122/5*0.2 = 4.88,
A(4.88, 4.88)
Висновок
В результаті виконання даної лабораторної роботи я набув навиків побудови математичної моделі задачі конфліктної ситуації між двома гравцями та навчився застосовувати симплекс метод для знаходження її розв’язку в середовищах Excel і MathCad.
26.05.2021 22:05-
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора