РІШЕННЯ ОДНОІНДЕКСНОЇ ЗАДАЧІ ЛІНІЙНОГО ПРОГРАМУВАННЯ НА ПРИКЛАДІ ОПТИМІЗАЦІЇ ЗАКУПІВЕЛЬ. Контрольна робота з Моделювання. Робота № 100621

Перехід до торгівельного партнера Binance

РІШЕННЯ ОДНОІНДЕКСНОЇ ЗАДАЧІ ЛІНІЙНОГО ПРОГРАМУВАННЯ НА ПРИКЛАДІ ОПТИМІЗАЦІЇ ЗАКУПІВЕЛЬ

Інформація про навчальний заклад

ВУЗ:

Національний університет Львівська політехніка

Інститут:

Навчально-науковий інститут економіки і менеджменту

Факультет:

СІ

Кафедра:

кафедра зовнішньоекономічної та митної діяльності

Інформація про роботу

Рік:

2021

Тип роботи:

Контрольна робота

Предмет:

Моделювання

Група:

МЕ-45

Завантажити

Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ “ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА” Навчально-науковий інститут економіки і менеджменту Кафедра зовнішньоекономічної та митної діяльності / КОНТРОЛЬНА РОБОТА з дисципліни: «Методи моделювання зовнішньоекономічної діяльності» на тему: «РІШЕННЯ ОДНОІНДЕКСНОЇ ЗАДАЧІ ЛІНІЙНОГО ПРОГРАМУВАННЯ НА ПРИКЛАДІ ОПТИМІЗАЦІЇ ЗАКУПІВЕЛЬ» Варіант №5 Мета роботи – набуття студентами практичних навичок рішення одноіндексних задач лінійного програмування (ЛП) графічним методом, засобами Microsoft Excel, на прикладі оптимізації закупівель. Аналіз отриманого оптимального рішення на чутливість за звітами надбудови «Пошук рішення» Microsoft Excel. Економічна інтерпретація отриманих результатів. 1. Постановка та формалізація задачі оптимізації закупівель Задача. Підприємство може виготовляти п’ять різних видів продукції A, B, C, D, E. Для виготовлення кожного із видів продукції використовується одна та ж сировина, що може закупатись у двох постачальників 1, 2. Із 1 т сировини постачальника 1 можна приготувати 0,3 т продукції А, 0,2 т продукції B, 0,1 т продукції C, 0,2 т продукції D, 0,1 т продукції E. Із 1 т сировини постачальника 2 можна приготувати 0,2 т продукції А, 0,15 т продукції B, 0,1 т продукції C, 0,15 т продукції D, 0,3 т продукції E. На ринку за квартал може бути реалізовано не більше 4 т продукції А, 2,5 т – продукції B, 1 т – продукції C, 1,75 т – продукції D, 2,8 т – продукції Е. Відносний прибуток, що дає одна тонна сировини постачальника 1 складає 12,3 тис. грн., а постачальника 2 – 4,5 тис. грн Необхідно скласти оптимальний за прибутком план закупівель сировини у двох постачальників на квартал. Для зручності подальшої формалізації оптимізаційної задачі вихідні дані зведемо до табл. 1. Таблиця 1 Вихідні дані задачі оптимізації закупівель Постачальники Види продукції Відносний А В С D E прибуток 1 0,3 0,2 0,1 0,2 0,1 12,3 2 0,2 0,15 0,1 0,15 0,3 4,5 max обсяги реалізації 4 2,5 1 1,75 2,8 Визначення економічного змісту та кількості керованих змінних (КЗ). Перед нами стоїть задача скласти оптимальний за прибутком план закупівель сировини у двох постачальників. Оскільки постачальників у нас два, маємо дві КЗ – x1 та x2 , економічним сенсом яких буде обсяг закупівель на квартал у першого та другого постачальників відповідно. Формалізація критерію оптимальності у вигляді цільової функції (ЦФ). Оскільки необхідно знайти оптимальний за прибутком план закупівель – критерієм оптимальності буде прибуток підприємства. Відносний прибуток, що дає одна тонна сировини постачальника 1 складає 12,3 тис. грн, а постачальника 2 – 4,5 тис. грн. Тоді прибуток, що дає вся сировина постачальника 1 складає (12,3 · x1) тис. грн, а постачальника 2 – (4,5 ·x2 ) тис. грн. ЦФ буде являти собою суму прибутків від закупівель сировини у першого та другого постачальників, причому прибуток максимізується: f (x1, x2 ) = 12,3· x1 + 4,5· x2 max. (1) Формалізація обмежень. У нашому випадку область допустимих значень КЗ буде визначатися максимально можливими обсягами реалізації продукції A, B, C, D, E підприємства на ринку. У лівій частині обмеження буде знаходитися кількість виробленої продукції певного виду у відповідності із оптимальними закупівлями сировини у постачальників. Так із сировини x1, придбаної у 1-го постачальника, підприємство виготовить (0,3· x1) т продукції А, із сировини x2 , придбаної у 2-го постачальника, – (0,2· x2 ) т. У правій частині обмеження буде максимально можлива кількість реалізації продукції А на ринку: 0,3· x1 + 0,2· x2 ≤ 4 (2) Аналогічним чином формалізуємо обмеження з продукції B, C, D, E: 0,2· x1 + 0,15· x2 ≤ 2,5 (3) 0,1· x1 + 0,1· x2 ≤ 1 (4) 0,2· x1 + 0,15· x2 ≤ 1,75 (5) 0,1· x1 + 0,3· x2 ≤ 2,8 (6) Окрім того, необхідно зауважити, що обсяги закупівель не можуть набувати від’ємні значення, тобто: x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 (7) Внаслідок формалізації ЦФ та обмежень можемо записати оптимізаційну модель задачі оптимізації з прибутку закупівель сировини у двох постачальників на квартал: f (x1, x2 ) =12,3· x1 + 4,5· x2 max. 0,3· x1 + 0,2· x2 ≤ 4 0,2· x1 + 0,15· x2 ≤ 2,5 0,1· x1 + 0,1· x2 ≤ 1 (8) 0,2· x1 + 0,15· x2 ≤ 1,75 0,1· x1 + 0,3· x2 ≤ 2,8 x1 ≥0; x2 ≥ 0. Оптимізаційна модель містить лінійну ЦФ та виключно лінійні обмеження, тобто це задача ЛП. Перейдемо до розв’язання задачі. 2. Розв’язання задачі оптимізації закупівель графічним методом Графічний метод може бути застосований лише для оптимізаційних задач із кількістю КЗ не більше двох. Розв’язання задач із кількістю КЗ більше двох вкрай ускладнене і може забезпечити знаходження не оптимального, а певного субоптимального рішення за двома КЗ. На сьогоднішній час графічний метод рішення оптимізаційних задач втратив свою актуальність через широке розповсюдження комп’ютерної техніки. Тим не менш, він дозволяє зрозуміти основні поняття і принципи ЛП та лежить в основі більш складних аналітичних методів розв’язання цих задач, наприклад симплекс-методу. Тому, вивчення методів рішення оптимізаційних задач ЛП доцільно розпочинати саме з нього. Оскільки дана оптимізаційна задача містить лише дві КЗ, вона може бути вирішена графічним методом. Для цього в координатах x1 та x2 накреслимо прямі (рис. 1), що задаються рівняннями, які відповідають обмеженням за максимально можливими обсягами реалізації продукції A, B, C, D, E: 0,3· x1 + 0,2· x2 = 4 0,2· x1 + 0,15· x2 = 2,5 0,1· x1 + 0,1· x2 = 1 (9) 0,2· x1 + 0,15· x2 = 1,75 0,1· x1 + 0,3· x2 = 2,8 / Рис. 1 «Розв’язок рівнянь» / Рис. 2 «Обмеження та область допустимих значень КЗ» Отримані прямі будуть окреслювати напівплощини, що відповідають обмеженням (2) – (6), причому напівплощини включають самі лінії, оскільки в нерівностях використані знаки «≤». У результаті отримаємо багатокутник (рис. 2), який обмежує область допустимих значень КЗ нашої оптимізаційної задачі. КЗ можуть приймати будь-які значення із області допустимих значень, однак екстремальне значення ЦФ буде досягатися в одній із вершин багатокутника. Позначимо вершини багатокутника римськими цифрами I, II, III, IV, V та графічно знайдемо координати цих точок. Очевидно, в точці I буде досягатись мінімум ЦФ. FІ (0;0) = 12,3*0+4,5*0 = 0 Для вершин багатокутника визначимо значення ЦФ, шляхом підстановки в неї значень координат точок II, III, IV, V (рис. 3): F II (0;9,3) = 12,3*0+4,5*9,3 = 41,85 FIII(1;9) = 12,3*1+4,5*9 = 52,8 FIV (5;5) = 12,3*5+4,5*5 = 84 FV (8,75; 0) = 12,3*8,75+4,5*0 = 107,63 / Рис. 3 «Пошук координат точок ІІІ та ІV» Максимальне значення ЦФ досягається у точці III Отже як бачимо максимальне значення ЦФ досягається у точці V із координатами (8,75; 0). Отже, оптимальні за прибутком квартальні закупівлі сировини у 1-го постачальника будуть складати x1 = 8,75 т, а у другого – x2 = 0 т. При таких обсягах закупівель сировини прибуток буде максимальним для заданих обмежень, та складатиме 107,63 тис. грн. Точка V безпосередньо визначається обмеженнями за максимальною реалізацією продукції D, отже, ці обмеження (5) будуть зв’язуючими. Економічний сенс зв’язаності обмежень буде тут полягати в повному використанні потенціалу з реалізації продукції D підприємством: 0,2· 8,75 + 0,15· 0 = 1,75 Для подальшого збільшення значення ЦФ, тобто прибутку підприємства, доцільно збільшувати маркетинговими засобами попит на продукцію D аж поки обмеження за іншими видами продукції не стануть зв’язуючими. Інші обмеження будуть незв’язуючими, оскільки прямі, що їм відповідають, безпосередньо не визначають точку оптимуму. Економічним сенсом незв’язаності обмеження в умовах нашої задачі буде частково невикористаний потенціал ринку з реалізації продукції А, В, С, E. Розглянемо це на прикладі продукції виду А. Ліва частина обмеження (2) показує кількість виробленої продукції при реалізації оптимальної програми закупівель сировини: 0,3· x1 + 0,2· x2 = 4 0,3*8,75 + 0,3*0 = 2,63 (17) У той же час права частина обмеження (ПЧО) показує максимальні можливості з реалізації продукції та становить 4 т. Отже, невикористаний потенціал ринку з реалізації продукції А становить 1,37 т. Аналогічні розрахунки можна провести і за іншими видами продукції. Незв’язуюче обмеження (6) з максимальної реалізації продукції Е буде називатися надлишковим, оскільки воно безпосередньо не визначає області допустимих значень КЗ. Для повноти розв’язання задачі ЛП графічним методом зобразимо графік ЦФ, що проходить через точку V оптимального розв’язання (рис. 4). Визначати розташування лінії ЦФ на площині буде додаткова точка, координати якої знайдемо за формулою: 12,3*х1 + 4,5*х2 = 107,63 Якщо х1=0 , то х2 = 107,63/4,5 = 23,92 Якщо х2=0 , то Х1 = 107,63/12,3 = 8,75 / Рис. 4 «Результат розв’язання задачі ЛП графічним методом» У результаті проведеної роботи графічним методом знайдено оптимальний за прибутком план закупівель сировини підприємством у двох постачальників. Однак коло оптимізаційних задач, що може бути вирішено графічним методом, обмежене задачами із кількістю КЗ не більше двох. Також наш час графічний метод утратив свою актуальність через наявність значної кількості комп’ютерних програм для розв’язання оптимізаційних задач. 3. Розв’язання одноіндексних задач ЛП за допомогою надбудови «Пошук розв’язку» Microsoft Excel Для початку складемо таблицю параметрів оптимізаційної моделі та розрахункову таблицю (див. рис. 5).

Контрольна робота Моделювання

stepan13

13.10.2023 23:10-

Коментарі

Ви не можете залишити коментар. Для цього, будь ласка, або зареєструйтесь.

Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!

Маєш корисні навчальні матеріали, які припадають пилом на твоєму комп'ютері? Розрахункові, лабораторні, практичні чи контрольні роботи — завантажуй їх прямо зараз і одразу отримуй бали на свій рахунок! Заархівуй всі файли в один .zip (до 100 МБ) або завантажуй кожен файл окремо. Внесок у спільноту – це легкий спосіб допомогти іншим та отримати додаткові можливості на сайті. Твої старі роботи можуть приносити тобі нові нагороди!

поділитись