Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції. Курсова робота з Інформатика. Робота № 110486

Перехід до торгівельного партнера Binance

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції

Інформація про навчальний заклад

ВУЗ:

Інші

Інститут:

Не вказано

Факультет:

Не вказано

Кафедра:

Не вказано

Інформація про роботу

Рік:

1998

Тип роботи:

Курсова робота

Предмет:

Інформатика

Завантажити

Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРА(НИ УЖГОРОДСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ІНСТИТУТ ІЕП ФАКУЛЬТЕТ ІНФОРМАТИКИ КАФЕДРА ФІЗИКО – МАТЕМАТИЧНИХ ДИСЦИПЛІН КУРСОВА РОБОТА Тема: Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції. Студента 2-го курсу Ресенчука Станіслава. Науковий керівник доцент Лавер О. Г. УЖГОРОД – 1998 р. Зміст Вступ. Формули прямокутників і трапеції. Параболічне інтерполювання. Дроблення проміжку. Залишковий член формули прямокутників. Залишковий член формули трапеції. Залишковий член формули Сімпсона. Додаток 1. Додаток 2. Висновки. Література. Вступ. Багато задач науки і техніки приводять до проблеми обчислення інтегралів, але не всі інтеграли піддаються обчисленню. В даній роботі разглядається питання наближеного обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції. Зокрема, виводяться формули наближеного обчислення прямокутників, формула трапецій а також формула Сімпсона. Формули прямокутників і трапеції. Нехай треба обчислити значення визначеного інтегралу , де є деяка задана на проміжку неперервна функція. Існує багато прикладів обчислення подібних інтегралів, або за допомогою первісної, якщо вона виражається в скінченому вигляді, або ж – минуючи первісну – за допомогою різних прийомів, як правило, штучних. Потрібно відмітити, однак, що всім цим вичерпується вузький клас інтегралів; за його межами зазвичай вдаються до різних методів наближеного обчислення. В даній роботі можна ознайомитися з основними із цих методів, в яких наближені формули для інтегралів складаються по деякому числу значень підінтегральної функції, обчислених для ряду (зазвичай рівновіддалених) значень незалежної змінної. Перші формули, які сюди відносяться, простіші всього отримуються із геометричних міркувань. Витлумачуючи визначений інтеграл як площу деякої фігури, яка обмежена кривою , ми і ставимо перед собою задачу знаходження цієї площі. Перш за все, вдруге використовуючи ту думку, яка привела нас до самого поняття про визначений інтеграл, можна розбити усю фігуру (мал. 1) на смуги, скажемо однієї і той же ширини , а потім кожну смугу наближено замінити прямокутником, за висоту якого прийнята будь-яка із його ординат. Це приводе нас до формули , де . Тут шукана площа криволінійної фігури замінюється площею деякої ступінчатої фігури, яка складається із прямокутників (або ж, можна сказати, що визначений інтеграл замінюється інтегральною сумою). Ця наближена формула і називається формулою прямокутників. Мал. 1 На практиці зазвичай беруть якщо відповідну середню ординату позначити через , то формула перепишеться у вигляді . (1) Надалі, кажучи про формулу прямокутників, ми будемо мати на увазі якраз цю формулу. Геометричні міркування природно приводять і до другої, наближеної формули, що часто використовується. Замінивши дану криву вписаною в неї ламаною, з вершинами у точках , де . Тоді наша криволінійна фігура заміниться іншою, яка складається із ряду трапецій (рис2.). Якщо, як і раніш рахувати, що проміжок розбитий на рівні частини, то площі цих трапецій будуть . Мал. 2 Додаючи, прийдемо до нової наближеної формули . (2) Це так звана формула трапецій. Можна показати, що при зростанні до нескінченності похибка формули прямокутників і формули трапецій нескінченно зменшується. Таким чином, при достатньо великому обидві ці формули відтворюють шукане значення з довільним рівнем точності. Параболічне інтерполювання. Для наближеного обчислення інтеграла можно спробувати замінити функцію близьким до неї многочленом (3) і покласти Можна сказати, що тут – при обрахуванні площі – дана крива замінюється на параболу - го порядку (3), в зв’язку з чим цей процес отримав назву параболічного інтерполювання. Сам вибір інтерполюючуго многочлена частіше всього виконують наступним чином. У проміжку беруть значень незалежної змінної і підбирають многочлен так, щоб при усіх взятих значеннях його значення співпадало зі значенням функції . Цією умовою, як ми знаємо, многочлен визначається однозначно, і його вираз дається інтерполяційною формулою Лагранжа: При інтерполюванні виходить лінійний, відносно значень вираз, коефіцієнти якого вже не залежать від цих значень. Вирахувавши коефіцієнти раз і назавжди, можна їх використовувати для будь-якої функції в даному проміжку . В найпростішому випадку, при , функція просто замінюється сталою , де – будь-яка точка у проміжку , скажемо, середня: . Тоді наближено (4) Геометрично – площа криволінійної фігури замінюється тут площею прямокутника з висотою, яка рівна середній її ординаті. При функція замінюється лінійною функцією , яка має однакові з нею значення при и . Якщо взяти , , то (5) і, як легко обчислити, Таким чином, тут ми наближено вважаємо На цей раз площа криволінійної фігури замінюється площею трапеції: замість кривої береться хорда, яка сполучає її кінці. Менш тривіальний результат отримаємо взявши . Якщо покласти , , , то інтерполяційний многочлен буде мати вигляд (7) За допомогою легкого обчислення вираховуємо і, аналогічно , . Таким чином, приходимо до наближеної формули . Тут площа фігури під даною кривою замінюється площею фігури, яка обмежена звичайною параболою (з вертикальною віссю), що проходить через крайні і середню точки кривої. Збільшуючи степінь інтерполяційного многочлена, тобто проводячи параболу (3) через все більше число даної кривої, можно розраховувати отримати більшу точність. Але більш практичним виявляється інший шлях, якій грунтується на поєднанні ідеї параболічного інтерполювання із ідеєю дроблення. Дроблення проміжку. При обчисленні інтегралу можна зробити так. Розіб’ємо спочатку проміжок на деяке число, , рівних проміжків , в зв’язку з чим, шуканий інтеграл постане у вигляді суми (9) Тепер же до кожного із цих проміжків застосуємо параболічне інтерполювання, тобто станемо обчислювати інтеграли (9) по одній із наближених формул – (4), (6), (8). Легко збагнути, що виходячи із формул (4) або (6), ми таким шляхом знов отримаємо вже відомі нам формули прямокутників і трапецій, (1) і (2). Застосуємо тепер до інтегралів (9) формулу (8), при цьому для стислості положимо, як і вище, , , . Ми отримаємо , , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Зрештою, додаючи почленно ці рівності, прийдемо до формули (10) Вона носить назву формули Сімпсона (Th. Simpson); цією формулою користуються для наближеного обчислення інтегралів частіш, аніж формулами прямокутників і трапецій, бо вона – при тих же затратах – дає зазвичай більш точний результат. Залишковий член формули прямокутників. Почнемо з формули (4). Припустимо, що у проміжку функція має неперервні похідні перших двох порядків. Тоді, розкладаючи (по формулі Тейлора) за степенями двочлена аж до його квадрату, будемо мати для всіх значень в , де міститься між та і залежить від . Якщо проінтегрувати цю рівність у проміжку від до , то другий член зправа зникне, бо (11) Таким чином, отримаємо , так, що залишковий член формули (4), який поновлює її точність має вигляд . Позначивши через і , відповідно найменше та найбільше значення неперервної функції у проміжку і користуючись тим, що другий множник підінтегрального виразу не змінює знака, за узагальненою теоремою про середнє можемо написати , де міститься між точками и . По відомій властивості неперервної функції, знайдеться в така точка , що , і остаточно . (12) Якщо зараз розділити проміжок на рівних частин, то для кожного часткового проміжку будемо мати точную формулу . Додавши ці рівенства (при ) почленно отримаємо при звичайних скорочених позначеннях , де вираз і є залишковий член формули прямокутників (1). Так як вираз також знаходиться між і , то і він представляє одне із значень функції . Тому остаточно маємо (13). При зростанні цей додатковий член спадає приблизно як . Залишковий член формули трапеції. Займемось тепер формулою (6) при попередніх здогадках відносно функції . Скориставшись інтерполяційною формулою Лагранжа із залишковим членом можемо написати . Інтегруючи цю формули від до , знайдемо , так що залишковий член формули (6) буде . Розмірковуючи, як і вище, і користуючись тим, що другий множник підінтегральної функції і тут не змінює знака, знайдемо . Нарешті, для випадку ділення проміжку на рівних частин (14). Таким є залишковий член формули трапецій (2). При зростанні він також зменшується приблизно як . Ми бачимо, що застосування формули трапецій приводить до похибки того ж порядку, що і для формули прямокутників. Залишковий член формули Сімпсона. Звернемося, нарешті до формули (8). Можна було б, аналогічно тому, як це було зроблено тільки що, знов скористатись формулою Лагранжа з залишковим членом і покласти (15). Але ми стикаємося тут з таким станом речей, а саме, проінтегрувавши рівність (15), ми не змогли б спростити інтегральний вираз для додаткового члену за допомогою теореми про середнє, бо вираз в підінтегральній функції вже змінює знак на проміжку . Тому ми зробимо інакше. Вираз , яким би не було число , в точках , , приймає одні і тіж значення, що і функція . Легко підібрати число так, щоб і похідна цього виразу при співпадала з похідною . Таким чином, при цьому значенні ми маємо не що інше, як інтерполяційний многчлен Ерміта, який відповідає простим вузлам , і двократному вузлу . Скориставшись формулою Ерміта з залишковим членом – в припущенні існування для функції похідних до четвертого порядку включно – отримаємо: . Тепер проінтегрувавши цю рівність від до ; ми знайдемо, що так як . Якщо припустити похідну неперервною, то, як і в попередніх випадках, залишковий член формули (8) , користуючись тим, що другий множник в підінтергальному виразі не змінює знака, можна підставити в такому вигляді: . Якщо проміжок розділити на рівних частин, то – для формули Сімпсона (10) – отримаємо залишковий член у вигляді (16). При зростанні цей вираз зменшується приблизно як ; таким чином, формула Симпсона дійсно більш вигідна, ніж попередні дві формули. Додаток 1. Текст программи для автоматичного обчислення інтегралів на мові програмування QBASIC: 'Тут описуються сталі e = 2.718281828459045# pi = 3.141592653589793# 'Тут задається від під інтегральної функції DEF fny# (x#) = e(x# (2 DEF fncoef# (i#) = (i# MOD 2) * 2 + 2 DEF fnxi# (i#) = a# + i# * h# DEF fnxis# (i#) = a# + i# * h# / 2 DEF fnxic# (i#) = a# + i# * h# + h# / 2 DEF fnxir# (i#) = a# + i# * h# + h# / 2 CLS 'Тут вводяться межі інтегрування та 'кількість проміжків INPUT «Введіть нижню межу інтегрування » a# INPUT «Введіть верхню межу інтегрування » b# INPUT «Введіть кількість проміжків » n# 'Тут обчислюється крок h# = (b# - a#) / n# 'Тут обчислюється наближене значення 'інтеграла за методом Сімпсона integ# = 0 FOR i# = 1 TO ((2 * n#) - 1) integ# = integ# + fncoef#(i#) * fny#(fnxis#(i#)) NEXT integ# = integ# + fny#(a#) + fny#(b#) integ# = integ# * (h# / 6) PRINT "Simpson = "; integ# 'Тут обчислюється наближене значення 'інтеграла за методом трапецій integ# = 0 FOR i# = 1 TO (n# - 1) integ# = integ# + fny#(fnxi#(i#)) NEXT integ# = integ# + (fny#(a#) + fny#(b#)) / 2 integ# = integ# * h# PRINT (Trapeze = (; integ# 'Тут обчислюється наближене значення 'інтеграла за методом лівих прямокутників integ# = 0 FOR i# = 0 TO (n# - 1) integ# = integ# + fny#(fnxi#(i#)) NEXT integ# = integ# * h# PRINT "L Rectangle = "; integ# 'Тут обчислюється наближене значення 'інтеграла за методом центральних прямокутників integ# = 0 FOR i# = 0 TO n# integ# = integ# + fny#(fnxic#(i#)) NEXT integ# = integ# * h# PRINT "C Rectangle = "; integ# 'Тут обчислюється наближене значення 'інтеграла за методом правих прямокутників integ# = 0 FOR i# = 1 TO n# integ# = integ# + fny#(fnxir#(i#)) NEXT integ# = integ# * h# PRINT "R Rectangle = "; integ# Додаток 2. Далі подані результати роботи програми, яка викладена в додатку 1. 1) в межах від 0 до n=1000 Метод Сімпсона -8.742278155181581D-08 Метод трапецій -8.742270585611512D-08 Метод лівих прямокутників 3.141505318306509D-03 Метод центральних прямокутників -3.14167628761223D-03 Метод правих прямокутників -6.283265152840917D-03 2) в межах від 0 до n=1000 Метод Сімпсона 2.000000000000067 Метод трапецій 1.999998355065565 Метод лівих прямокутників 1.999998355202888 Метод центральних прямокутників 1.999995887392223 Метод правих прямокутників 1.999990952591778 3) в межах від 0 до 1 n=1 n=10 n=100 n=1000 n=10000 М-д Сімпсона ,33333333333 ,3333333333333 ,3333333333333 ,3333333333 ,3333333333333 М-д трапецій ,5 ,335 ,33335 ,3333334999999 ,3333333349999 М-д лів. прямокутників 0 ,2850000000000001 ,32835 ,3328334999999 ,3332833349999 М-д центр. прямокутників 2,5 ,44275 ,34342525 ,33433425025 ,3334333425002 М-д правих прсмокутників 2,25 ,4425000000000001 ,3434249999999 ,33433425 ,3334333424999 4) в межах від 0 до 1 n=1000 Метод Сімпсона .7468241385662959 Метод трапецій .7468240772530558 Метод лівих прямокутників .7471401375268841 Метод центральних прямокутників .7471916808878213 Метод правих прямокутників .7461916811378212 5) в межах від 0 до n=1000 Метод Сімпсона .8323745796964475 Метод трапецій .8323723082182791 Метод лівих прямокутників .8325874590746988 Метод центральних прямокутників .8319367429487694 Метод правих прямокутників .8319318081462942 Висновки. У даній роботі було розглянуто методи наближених обчислень визначених інтегралів, були виведені формули обчислень, формули додаткових членів. Результати, які наведені в додатку 2 наочно показують, що найбільш вигідним є використання формули Сімпсона. Література. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление для ВТУЗов. Т. 1 М.: 1968. Воробьева Г. Н., Данилова А. Н. Практикум по численным методам. М.: 1979. Математический практикум. М.: 1960.

Курсова робота Інформатика

01.01.1970 03:01-

Коментарі

Ви не можете залишити коментар. Для цього, будь ласка, або зареєструйтесь.

Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!

Маєш корисні навчальні матеріали, які припадають пилом на твоєму комп'ютері? Розрахункові, лабораторні, практичні чи контрольні роботи — завантажуй їх прямо зараз і одразу отримуй бали на свій рахунок! Заархівуй всі файли в один .zip (до 100 МБ) або завантажуй кожен файл окремо. Внесок у спільноту – це легкий спосіб допомогти іншим та отримати додаткові можливості на сайті. Твої старі роботи можуть приносити тобі нові нагороди!

поділитись