Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Обчислення спектральних характеристик сигналу
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Кафедра електронних обчислювальних машин
Інформація про роботу
Рік:
2006
Тип роботи:
Звіт про виконання лабораторної роботи
Предмет:
Обробка сигналів
Група:
КІ-44
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
Міністерство освіти і науки України
Національний університет „Львівська політехніка”
Кафедра електронних
обчислювальних машин
Звіт
про виконання лабораторної роботи № 4
з курсу „ Обробка сигналів ”
Тема:
Обчислення спектральних характеристик сигналу
Мета роботи: Дослідити дискретне перетворення Фур'є (ДПФ) і алгоритм швидкого перетворення Фур'є (ШПФ) за основою два як засіб ефективного обчислення спектральних характеристик періодичних і неперіодичних сигналів, а також фільтрації і апроксимації сигналів.
Завдання
Варіант
Форма сигналу
Зауваження до завдання
9
A ,с - довільні додатні константи (обрано A=6; c=9).
Решта параметрів визначаються за співвідношеннями:
B = 0.5 * A; d = с / 2;
e = с / 4; f = с;
g = 2 * с; h = 4 * с.
Порядок виконання роботи
Теоретичні відомості
Прямим та оберненим дискретним перетворенням Фур'є (ДПФ) називають пару взаємно однозначних лінійних перетворень виду (1), (2)
(пряме) (1)
(обернене) (2)
де ,.
Пряме дискретне перетворення Фур'є (1) призначено для виконання Фур’є-аналізу, тобто визначає спектральні компоненти (складові) сигналу . Обернене перетворення Фур'є (2) забезпечує Фур’є-синтез сигналу за заданим набором спектральних компонент . У загальному випадку послідовності і - комплексні. Якщо ж - дійсна послідовність, то є комплексно спряженою: , , . Для дійсних сигналів спектральні компоненти з номерами відповідають від’ємним частотам і не мають фізичного змісту.
Швидким перетворенням Фур'є (ШПФ) називають групу алгоритмів, що суттєво зменшують обчислювальні затрати при обчисленні прямого чи оберненого перетворень у порівнянні з безпосереднім способом, що ґрунтується на формулах (1) чи (2). Серед відомих алгоритмів ШПФ найпростішу структуру має алгоритм Кулі-Тьюкі за основою два (ШПФ2). Його основна ідея полягає в рекурсивному (при ) зведенні -точкових () перетворень до двох -точкових. При часовому проріджені з цією метою застосовується формула розкладу (3)
(3)
де , , . Якщо обчислюється -точкове перетворення комплексної послідовності, то кількість операцій комплексного множення і додавання в алгоритмі ШПФ рівні:, . У порівнянні з безпосереднім способом обчислення перетворень (1) чи (2), який потребує комплексних множень і комплексних додавань, обчислювальні затрати суттєво скорочуються - приблизно в раз (наприклад, при - в сотні раз).
Крім ноpмуючого постійного множника , в оберненому ДПФ маємо комплексно-спряжені повертаючі множники. Для уникнення розробки алгоритму швидкого оберненого ДПФ використовуємо рівність = , що отримується з (2) в результаті операції комплексного спряження. Інакше кажучи, для обчислення оберненого ДПФ послідовності за допомогою алгоритму прямого ШПФ достатньо: знайти комплексно спряжену послідовність ; обчислити її пряме ДПФ - ; виконати операції комплексного спряження і множення на нормуючий множник отриманої послідовності: * .
Спектральний аналіз неперіодичних сигналів. Для неперіодичного сигналу спектральне представлення описується парою інтегральних перетворень
, (пряме), (4)
, (обернене).(5)
При цьому має місце рівність Парсеваля (6),
. (6)
Нехай для і і одночасно для . Покладемо , , . Тоді для наближеного обчислення у виразі (4), використовуючи формулу чисельного інтегрування прямокутників, отримуємо вираз (7)
, . (7)
Таким чином, для обчислення спектру неперіодичного сигналу (з кроком у смузі () ) можна скористатися формулою ДПФ і, як наслідок, алгоритмами ШПФ. Для підвищення роздільної здатності (зменшення в раз) потрібно фактично чи формально (для фінітних сигналів, що рівні нулю при ) збільшити (в раз), доповнивши послідовність нульовими відліками: при і при . Для розширення смуги аналізу в раз зменшуємо (збільшуємо в раз ).
Спектральний аналіз періодичних сигналів. Нехай - періодичний сигнал з періодом , тобто для довільних і , має місце рівність: . Якщо сигнал описується неперервною або кусочно-неперервною функцією, то його можна подати у вигляді ряду Фур'є
, (8) , (9)
де - основна гармоніка.
Коефіцієнти називають частотним спектром, - амплітудним спектром, - фазовим спектром періодичного сигналу . Нехай , . Співставлення виразів (1) і (9) засвідчує, що пряме ДПФ наближено (за формулою чисельного інтегрування прямокутників) коефіцієнти розкладу сигналу в ряд Фур'є: , .
Рівність Парсеваля тут має вигляд: .
При збільшенні , зменшенні , похибка (методу) такого задання зменшується. Подібне має місце і при оберненому перетворенні, тобто наближенні сигналу відрізком ряду Фур'є, коли обмежуються границі сумування в (8).
Фільтрація сигналів. Математично процес фільтрації полягає у перетворенні спектру сигналу у відповідності з заданою функцією, що визначає спектральну характеристику фільтра. Приклади найпростіших фільтрів: 1) ідеальний фільтр нижніх частот, котрий гасить (обнулює) спектральні компоненти для ; 2) смуговий фільтр, котрий гасить компоненти, що розташовані поза деякою смугою. При цьому навіть наближене зберігання енергетичних залежностей за рівністю Парсеваля тут не вимагається.
Апроксимація сигналів. Апроксимація сигналів на основі перетворення Фур'є є частковим випадком фільтрації і полягає у селекції тільки частини коефіцієнтів ряду Фур'є (спектральних компонент), у котрих зосереджена необхідна (для забезпечення заданої точності апроксимації) частина енергії сигналу.
Текст програми:
clc; clear all; close all
A=6; c=9; f=c;
T=2*f;
m=10; N=2^m; p=N/8;
k1=N/2-p; k2=N/2+p;
dt=T/N;
t=-c:dt:f-dt;
t11=[t(1:N/2)]; t12=[t(N/2+1:N)];
k=A/c; x11=k*t11+A;
l=-A/f; x12=l*t12+A;
x=[x11 x12]; %Задання вхідного сигналу
Sx=fft(x, length(x))/N; %Знаходження прямого перетворення Фур'є
subplot(3, 1, 1), plot(t, x), title('Input data');
subplot(3, 1, 2), plot(1:N, real(Sx)), title('Real part series Fourier');
subplot(3, 1, 3), plot(1:N, imag(Sx)), title('Imag part series Fourier');
figure(2)
Sx1=[Sx(1:k1), zeros(1, k2-k1), Sx(k2+1:N)]; %Прорідження спектру
subplot(4, 1, 1), plot(1:N, real(Sx)),title('Real part series Fourier');
subplot(4, 1, 2), plot(1:N, real(Sx1)),title('Real part modif series Fourier');
subplot(4, 1, 3), plot(1:N, imag(Sx)),title('Imag part series Fourier');
subplot(4, 1, 4), plot(1:N, imag(Sx1)),title('Imag part modif series Fourier');
x1= N*ifft(Sx, length(Sx)); %Знаходження оберненого перетворення Фур'є
xm1= N*ifft(Sx1, length(Sx1));
dif=x-xm1;
figure(3)
subplot(4, 1, 1), plot(t, x), title('Input data');
subplot(4, 1, 2), plot(t, real(x1)), title('Real part output signal');
subplot(4, 1, 3), plot(t, real(xm1)), title('Real part modif output signal');
subplot(4, 1, 4), plot(t, real(dif)), title('Different Real part');
Графік вхідної послідовності xa (n Dt) для 128 точок
Спільний графік спектральної послідовності X(k)=ДПФN {x(n)} та модифікованої спектральної послідовності Xm(k)
Результати Фур’є-синтезу сигналу за вихідною і модифікованою спектральними послідовностями (у табличному вигляді) та їх графіки
Висновки: виконуючи дану лабораторну роботу я дослідив дискретне перетворення Фур’є (ДПФ) і алгоритм швидкого перетворення Фур’є (ШПФ) як засіб ефективного обчислення спектральних характеристик періодичних і неперіодичних сигналів, а також фільтрації та апроксимації сигналів.
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора