МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НУ”ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА” КАФЕДРА АВТОМАТИКИ І ТЕЛЕМЕХАНІКИ ЗВІТ про виконання лабораторної роботи№3 з дисципліни „Алгоритмічні основи криптології” на тему: “Метод Ньютона для розв’язування систем нелінійних рівнянь ” Мета роботи: ознайомитися з найпоширенішим ітераційним методом розв’язування систем нелінійних рівнянь – методом Ньютона. Завдання: написати програму на мові програмування Сі яка б розв’язувала систему нелінійних рівнянь модифікованим методом Ньютона, реалізувати обертання матриць методом Гауса, а обчислення похідних методом кінцевих різниць. Система рівнянь: x[1]-x[1]*x[1]+0.8*x[2]*x[2]+0.1=0 x[2]-2*x[1]*x[2]-0.1=0 Початкові наближення: x[1]=0; x[2]=0; Блок-схема алгоритму.


Повний текст програми. #include<stdio.h> #include<math.h> #define n 2 #define e 0.000001 #define h 10e-9 static float Jc[n+2][n+2],Jcob[n+2][n+2]; Gaus(float a[n+2][n+2]) {int i,k,p,f; float v[n+2][n+2]; float s=0; float b[n+1]; for (f=1;f<=n;f++) {for (i=1;i<=n;i++) {if (f==i) b[i]=1; else b[i]=0; a[i][n+1]=((-1)*b[i]); } for (p=1;p<=(n-1);p++) for (i=p+1;i<=n;i++) for (k=p+1;k<=(n+1);k++) {v[p][k]=((-1)*a[p][k]/a[p][p]); a[i][k]=(a[i][p]*v[p][k])+a[i][k];} Jcob[n][f]=(-1)*a[n][n+1]/a[n][n]; for (i=n-1;i>=1;i--) {for (k=i+1;k<=n;k++) s+=v[i][k]*Jc[n][f]; Jcob[n-1][f]=v[i][n+1]+s; s=0;}} return;} float f(float x1,float x2,int i) { if (i==1) return (x1-(x1*x1)+0.8*(x2*x2)+0.1);else return (x2-(2*x1*x2)-0.1); } main() { int i,j; float x[n+2]; int m; float max; float xp,yp,s1; x[1]=0;x[2]=0; do { xp=x[1]; yp=x[2]; /*Metod kincevyh riznyts*/ for (i=1;i<=n;i++) for (j=1;j<=n;j++) {if (j==1) Jc[i][j]=(f(x[j]+h,x[j+1],i)-f(x[j],x[j+1],i))/h; else Jc[i][j]=(f(x[1],x[j]+h,i)-f(x[1],x[j],i))/h; } Gaus(Jc); for (i=1;i<=n;i++) { s1=0; for (j=1;j<=n;j++) { if (j==1) Jcob[i][j]*=f(x[j],x[j+1],i); else Jcob[i][j]*=f(x[j-1],x[j],i); s1+=Jcob[i][j];} if (i==1) x[i]=xp-s1; else x[i]=yp-s1; } max=fabs((x[1]-xp)/x[1]); іf (fabs((x[2]-yp)/x[2])>max) max=fabs((x[2]-yp)/x[2]); if (max<e) {m=1;break;} else m=0; } while (m!=1); for (i=1;i<=n;i++) printf("\nx[%d]=%2.5f",i,x[i]); printf("\n f1= %2.5f",f(x[1],x[2],1)); printf("\n f2= %2.5f",f(x[1],x[2],2)); } Результати обчислень. x[1]=-0.09634 x[2]=-0.08384 Перевірка: f1= 0.00000 f2= 0.00000 Висновок: Розв’язання систем нелінійних алгебраїчних рівнянь методом Ньютона можна досить легко реалізувати на ЕОМ за допомогою програми в середовищі Сі. Основна перевага модифікованого методу Ньютона полягає в тому, що при використанні цього методу якобіан замінюють правильно підібраною матрицею, яку зберігають сталою протягом деякого числа ітерацій, а потім на певній ітерації її заново обчислюють і присвоюють знайдене значення якобіану. Це дозволяє значно зекономити машинний час виконання програми. Розв’язання таких систем на ЕОМ є дуже актуальним, оскільки цей процес є набагато легшим та короткотривалішим ніж розв’язання систем нелінійних рівнянь вручну.