Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Інші
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
1999
Тип роботи:
Методичні вказівки
Предмет:
Електротехніка
Група:
МЕ
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
Україна,
Міністерство освіти
Державний університет
“Львівська політехніка”
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
ТА ЗАВДАННЯ
ДО ЛАБОРАТОРНИХ РОБІТ
з курсу “Моделювання електромеханічних систем”
для студентів спеціальності 6.0922 “Електромеханіка”
Затверджено
на засіданні кафедри
“Електропривід та автоматизація
промислових установок”
Протокол № 9 від 19 квітня 1999 р.
Львів 1999
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ТА ЗАВДАННЯ ДО ЛАБОРАТОРНИХ РО БІТ з курсу “Мо де лювання електромеханічних систем” для студентів спе ціаль ності 6.0922 “Елект ро ме ха ніка”
Укладачі: Костинюк Лев Дмитрович, к.т.н., доцент Мороз Володимир Іванович, к.т.н., доцент Паранчук Ярослав Степанович, к.т.н., доцент Лозинський Андрій Орестович, к.т.н., асистент
Відповідальний за випуск: Лозинський О.Ю., д.т.н., проф., завідувач кафедрою ЕАП.
Рецензенти: Плахтина О.Г., д.т.н., проф. Марущак Я.Ю., к.т.н., доц.
1. МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ ЕЛЕМЕНТІВ ЕЛЕКТРОПРИВОДІВ ПОСТІЙНОГО СТРУМУ
Перехідні процеси в системах електроприводів можна змоделювати за до по мо гою ма тематичної моделі. Для цього необхідно скласти математичну модель у ви гляді, на прик лад, системи диференціальних рівнянь першого порядку в нор маль ній фор мі Коші та роз в’язати їх чисельним методом. Отримані результати у вигляді таб лиць чи графіків пе рехідних про цесів використовуються для аналізу динаміки сис теми. Одним з важли вих етапів моделювання є процедура складання системи ди ференціальних рівнянь, тобто ма тематичної моделі.
1.1. Модель генератора постійного струму
Генератор постійного струму (ГПС) - керований перетворювач (дже рело на пру ги по стійного струму) розглянемо як ланку 1-го поряд ку, якщо знехтуємо індук тив ністю якірного кола. Математична мо дель базується на рівнянні електричної рівноваги (закон Кірхгофа) ко ла збудження та рівнянні .
Рис. 1.1. Генератор постійного струму
Зробимо деякі перетворення:
; .
Позначивши , отримаємо
. (1)
Це є математична модель генератора постійного струму у вигляді одного ди фе рен ціального рів няння, що описує перехідні процеси без навантаження. Роз в’яз ком такого рів нян ня є за лежність eG(t) . Для активного наван та жен ня струм якоря ia обчислюється за ви ра зом .
З урахуванням індуктивності обмотки якоря чи активно-індук тив ного наван та жен ня до диференціального рівняння (1) додається ще одне . Зро бимо деякі перетворення . За пишемо рівняння у нормальній формі Ко ші та з ураху ван ням (1) отри ма ємо таку математичну модель ГПС:
(2)
де - електромагнітна стала часу якірного кола.
Рівняння (1) та система рівнянь (2) дають можливість моделювати динамічні ре жи ми ГПС за зміни Ud та навантаження. Диференціальні рівняння (1) та (2) є рів нян нями аперіодичних ланок. Для апе ріодичної ланки з передавальною функцією дифе ренціальне рівняння має вигляд .
1.2. Математична модель трифазного тиристорного перетворювача
Тиристорний перетворювач напруги (випростувач, інвертор) (ТП), що працює на на вантаження, можна подати трьо ма складовими частинами:
системою імпульсно-фаз ного керування (СІФК), що формує систему імпульсів “за па лю ван ня” тиристорами в залежності від сигналу керування ((Uвх);
сило во го кола тиристорного перетворювача eтп(();
кола навантаження iн(eтп).
Перехідні процеси, що протікають в них, є складними аналого-диск рет но-ана ло го ви ми про цесами зі суттєвими нелінійностями, тому математичне і цифрове мо де лю ван ня та кож є складною процедурою. Моделювати процеси в ТП можна на рівні мит тєвих або усереднених значень ЕРС. Це визначається характером і метою до слід жень. Так, для мо де лей, що відповідають системам електроприводів постійного стру му, тиристорний пе ре тво рювач моделюється як аперіодична лан ка з пере да валь ною функцією , а його диференціальне рів нян ня
,
де ; c – стала часу фільтра СІФК; m – фазність силової схеми; f – частота мережі.
Для трифазної місткової схеми стала часу складає TТП = (0,005...0,01)с.
1.3. Моделювання перехідних процесів двигуна постійного струму незалежного збудження
1.3.1. Моделювання процесів двигуна постійного струму (ДПС) з однозонним регулюванням швидкості
У даному випадку збудження двигуна постійне і номінальне, а швидкість регу лю єть ся напругою якоря. Ви хід ні рівняння, скла дені за умови електричної та механічної рів новаги (рис. 1.2), є такими:
Рис. 1.2. Двигун постійного стру му для ( = (н
де - конструктивний коефіцієнт двигуна;
J - момент інерції якоря двигуна.
Якщо дані для обчислення (н і k відсутні, то сталу C можна визна чи ти за виразом .
У рівнянні (4) зробимо деякі перетворення:
- електромеханічна стала часу дви гуна.
( (6)
Рівняння (3) подамо так:
( .
Останнє рівняння та рівняння (6) складають математичну модель ДПС:
(7)
З урахуванням (5) друге рівняння в (7) можна записати як .
Структурні моделі ДПС для ( = (н показані на рис. 1.3.
а) б)
Рис. 1.3. Структурні схеми моделі ДПС для ( = (н .
Значення індуктивності обмотки якоря двигуна можна обчислити за виразом , де k - емпіричний коефіцієнт (k=0,6 для незкомпенсованих і k=0,15 для зкомпенсованих машин).
Розв’язування системи (7) дає залежності ia(t) та ((t), які можна обчислити для змі ни Ua , Ra та Mc , і змоделювати динамічні режими пуску двигуна (реостатного чи для різних Ua), зміни навантаження (Mc чи Ic), різних способів гальмування, реверсу тощо.
Як бачимо, ДПС описаний ланкою 2-го порядку, і динамічні режи ми моде лю ють ся дво ма диференціальними рівняннями 1-го порядку, причому, перше - апе ріо дич ної лан ки, а друге - інтегральної.
1.3.2. Моделювання процесів у ДПС для регулювання напругою якоря і збудженням
Це так назване двозонне регулювання (рис. 1.4).
Приймемо такі допущення: реак ці єю якоря нехтуємо, а індуктив ність якірного ко ла незмінна. У великих машинах (100 кВт і вище) відчутна дія вихрових струмів, які ви никають у масивних частинах магніт ної системи під час зміни магнітного потоку ( і про тидіють змі ні потоку полюсів. На бли жено їх дію розглядають як дію додаткової ко рот козамкненої обмотки, яка роз міщена на полюсах.
Запишемо систему диференціальних і алгебричних рівнянь меха ніч ної, елект рич ної та магнітної рівноваги, що описують динаміку ДПС:
; (8)
; (9)
; (10)
; (11)
; (12)
. (13)
Рис. 1.4. Схема ДПС для двозонно го регулювання
Рис. 1.5. Графік намагнічування ДПС
Рівняння (8) і (9) описують динаміку електромагнітних і електромеханічних про це сів двигуна і роз гля нуті вище. Рівняння (10) - (13) описують процеси кола збуд жен ня. У наведених вище рівняннях ви користані такі позначення:
( - корисний магнітний потік одного полюса;
p - кількість пар полюсів;
Wd - кількість витків одного полюса обмотки збудження;
( = 1+(0,5 ... 0,7)((-1) - коефіцієнт, який залежить від коефіцієнта роз сію ван ня магніт ного потоку;
( = 1,12 ... 1,18 - коефіцієнт розсіювання, тоді ( = 1,02 ... 1,12 - це озна чає, що є до дат ко ве потокозчеплення з потоком, що замикається через повітря, тому ( > 1 ;
F - сила намагнічування;
залежність ((F) нелінійна (рис. 1.5), тому в системі рівнянь вона подана виразом (13).
Чисельні методи розв’язування диференціальних рівнянь у багатьох ви падках мо жуть бу ти застосовані тільки для лінійних рівнянь, тому сис тему диференціальних рів нянь, яка розглядається, необхідно лінеари зу вати, тобто прийняти лінійною якщо не в ці лому, то хоча б у задано му проміжку. Таким проміжком є робоча, майже лінійна час ти на кри вої намагнічування двигуна. Якщо це і не зовсім так, то ми приймаємо таке до пу щення. У такому випадку нелінійну залежність прий ма ємо як лінійну , де . Значення (н ви значаємо з графіка на магні чу вання або як (н=C/K.
Після низки структурних та аналітичних перетворень отри ма ємо структурну (рис. 1.6) та математичну моделі ДПС для двозонного регулювання швид кості.
Рис. 1.6. Структурна схема ДПС незалежного збудження для дво зон но го ре гу лю вання швидкості з врахуванням дії вихрових струмів
(14)
Для нешихтованих електричних машин постійного струму можна прийняти Tk = 0,2Td . Значення електромагнітної сталої часу обмотки збудження обчислюється за вира зом , де Rd - опір кола збудження двигуна.
Якщо знехтувати дією вихрових струмів, то моделі суттєво спрощуються. Прийме мо Tk =0 і з системи (14) отримаємо математичну модель:
(15)
Цій математичній моделі відповідає структурна схема, яка показана на рис. 1.7.
Рис. 1.7. Структурна схема моделі ДПС незалежного збудження з дво зон ним ре гу лю ванням швидкості без врахування дії вихрових струмів
1.4. Моделювання динамічних режимів асинхронних двигунів
Теоретичною основою для побудови математичної моделі асинхронних дви гу нів (АД) є диференціальні рівняння електричної та механічної рівноваги, пере тво рен ня елект ромагнітної енергії в електричну. Якщо за вихідну систему взяти сис те му рівнянь Кірх гофа для миттєвих значень напруг трифазних обмоток статора і ро то ра, потім пе ре йти від рівнянь миттєвих значень до рівнянь результуючих векторів три фазної ма ши ни і звести рівняння до одних координат, які обертаються з час то тою поля статора ма шини з однією парою полюсів, то отримаємо таку ма те ма тич ну модель:
Тут маємо:
вектори потокозчеплень обмоток;
результуючі вектори миттєвих значень напруг і струмів статора і координат ротора, зведених до параметрів статора;
вектор електромагнітного моменту.
Для отримання зручнішої в користуванні структурної та математичної моделі не об хідно перейти від векторної форми до скалярної, а також зробити деякі до пу щен ня. Після перетворень, які тут не наведені, отримаємо таку передавальну функ цію АД:
, де
фіктивний пусковий момент, який визначається в результаті лі неаризації робочої частини механічної характеристики двигуна;
K1=Lm /L1
коефіцієнт взаємоіндукції фаз статора і ротора;
U1(
фазна статорна напруга;
(1
колова частота напруги мережі (статора);
Te =1/(1sкр
електромагнітна стала часу;
sкр
критичне ковзання.
Якщо s = ((0 – ()/(0 , а (0 = (1/p – синхронна колова частота обертання ротора двигуна з p парами полюсів, то за умови лінійності маємо:
Подамо згідно цих виразів структурну схему моделі АД у межах лінійної ділянки його ме ханіч ної характеристики (рис. 1.8).
Рис. 1.8. Лінеаризована модель АД
Для робочої лінійної ділянки механічної характеристики можна використати і таке рів няння, що пов’язує момент і швидкість АД
.
Тут - модуль жорсткості лінеаризованої статичної характеристики.
Використання формули обмежується значеннями моменту -0,8Mкр ( M ( 0,8Mкр.
Значення Mкр і sкр обчислюються за формулами
; . Згідно цих виразів маємо таку структурну (рис. 1.9) і математичну моделі АД:
(16)
Якщо прийняти R1 =0, що допустимо для двигунів потужністю понад 50 кВт, то для , маємо
Рис. 1.9. Структурна модель асинхронного двигуна
. Тоді структурна (рис. 1.10) і матема тич на моделі матимуть вигляд:
(17)
Рис. 1.10. Спрощена структурна модель АД
1.5. Математична модель системи Г-Д з паралельною корекцією
Для розімкненої системи Г-Д (рис. 1.11) математична мо дель подається уже відо ми ми нам диференціальними рівняннями моделей генератора постійного стру му і дви гу на постійного струму:
Тут
R(a = RaG +RaM ;
L(a = LaG +LaM ;
Ta = L(a / R(a .
Рис. 1.11. Система Г-Д
Системи електроприводів у більшості випадків є замкненими, з різно ма ніт ни ми зво ротніми зв’язками, як, наприклад, система зі структурною схемою рис.1.12.
Рис. 1.12. Структурна схема замкненої системи Г-Д.
До складу наведеної системи (18) входять відомі вже динамічні ланки: ТП, ге не ра тор і двигун постійного струму. Єдине рівняння, що раніше не розглядалось, це ал геб рич не рівняння напруги uвх на вході тиристорного пере тво рю ва ча, що ви зна ча ється струк турою зворотніх зв’язків. Записати його є простою процедурою й по яс нень не потребує:
(18)
,
де .
1.6. Моделювання динамічних режимів у системах електроприводу з підпорядкованим регулюванням параметрів (СПР)
Структурна схема одноразово інтегрувальної СПР швидкості двигуна пос тій но го стру му наведена на рис. 1.13. Інтегрування здійснює ПІ-регулятор струму РС, який, як і інші динамічні ланки, поданий передавальною функцією. Щоб перейти до ма тематичної моделі, варто зробити деяке структурне перетворення РС. Тому його передавальну функ цію подамо так:
. (19)
Рис. 1.13. Структурна схема СПР швидкості ДПС з одноразовим інтегруванням
Цьому виразові відповідає паралельне з’єднання двох ланок: пропорційної та інтеграль ної, що зображено на рис. 1.14. Значення параметрів системи регулюван ня об чис лю ють ся за такими виразами: Tiс=2TтпKтпKЗС /R(a ; Kрс=Ta /Tiс ; Kрш = TемC Kзс /4TтпKзшR(a ; Kзс = Uдсmax /Iamax ; Kзш = Uдшmax /(max .
Рис. 1.14. Структурна схема матема тич ної мо делі ПІ-регуля то ра стру му
Значення Uдсmax , Uдшmax – максимальні зна чення вихідних напруг відповідно да вача стру му і швидкості, приймається залежно від типу уніфікованої блочної системи ре гу ля торів (УБСР) і може бути 20 В чи 10 В. Значення на пруги завдання Uз спів ви мір не зі зна чен ням Uдшmax і залежить від усталеного значення (.
Математична модель такої системи - система диференціальних рівнянь пер шо го по ряд ку, що записані в нормальній формі Коші, має вигляд:
(20)
До складу системи рівнянь (20) поряд з диференціальними входить одне ал геб рич не рівняння, за яким обчислюється значення вихідної напруги регулятора швид кос ті uрш. Введення такого виразу потрібне для знаходження uрш і обмеження його мак си маль ного значення на рівні у цифровій моделі так, як це від бу вається в реаль ній СПР, що реалізована на елементній базі УБСР.
Структурна модель дворазово інтегрувальної СПР електроприводу постій но го стру му показана на рис. 1.15 з урахуванням перетворення (19) регуляторів швид кос ті та струму. Математична модель подана системою рівнянь (21):
(21)
Значення параметрів регуляторів об чис люються за такими виразами:
Tiс =2Tтп Kтп Kзс / R(a ; Kрс =Ta / Tiс ; Kрш = 8Tтп / Tiш ;
Tіш = 32Tтп2 Kзш R(a / Tем Kзс C ; Tзі = 8Tтп .
Рис. 1.15. Структурна схема дворазово інтегрувальної СПР
2. ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ, ЩО ОПИСУЮТЬ МОДЕЛІ ЕЛЕКТРОПРИВОДІВ
Важливою частиною процесу моделювання динаміки електро при во дів є вибір чи сель ного методу і підходу до розв’язування системи зви чайних диференціальних рів нянь, що її описують. Невдалий вибір чи сель ного методу в кращому випадку призведе до збіль шен ня часу роз ра хунку, а в гіршому – до неправильного чи не стій ко го роз в’язку. Слід від зна чити, що практично нема універсальних ме тодів: той чи ін ший ме тод має свою область ра ціо нального засто сування, де він швидко і з до пустимою похибкою роз в’я зує диферен ці альне рівняння чи систему диференціальних рівнянь, у всіх інших випадках зрос тає як час роз в’я зу ван ня, так і похибка отри ма ного розв’язку, аж до появи чис ло вої не стій кості.
Якоюсь мірою цю ситуацію можна порівняти з вико рис тан ням ви мі рю валь них при ладів: не можна міряти на п ру гу в схе мі з опе ра цій ними під си лювачами вольт мет ром елект ро маг нітної систе ми з межею виміру 300 В і нон сенсом 200 кВт високо чут ли вим електронним вольт мет ром.
Вибір чисельного методу розв’язування диференціальних рівнянь за лежить ще й від досвіду та особистих уподобань дослідника, хоча й іс нують деякі практичні реко мен дації, що визначають цей вибір.
У процесу розв’язування диференціальних рівнянь є два підходи (див. табл. нижче):
1. Запис системи диференціальних рівнянь, що описують мо дель, у нормальній фор мі Коші
2. Опис моделі системою різ ни це вих рів нянь
Переваги
Недоліки
Переваги
Недоліки
Математична при род ність отри ма ного за пи су.
Можливість ви ко рис тання стан дарт них (ві до мих) про це дур роз в’ я зу ван ня (у т.ч. з ав то ма тич ним вибо ром кро ку).
Простота змі ни чи сель ного мето ду і конт ро лю ло каль ної точ нос ті на кож но му кроці.
Далеко не кож ну сис тему прос то за пи сати в нор мальній фор мі Коші (на прик лад, САР з гнуч ки ми зво рот німи зв’яз ка ми). Необ хід ні в цьо му ви падку пе ре тво рен ня мо жуть збіль ши ти як час під го тов ки задачі до роз в’язування, так і його трива лість.
Можливість от ри ман ня швид ко діючої мо делю ю чої прог ра ми.
У випадку зас то су вання Z-пе ре т во рення є мож ли вість от ри мання точ ного роз в’яз ку для будь-яко го (!) кро ку.
Складність от ри ман ня різни це вих рів нянь, осо б ли во у ви пад ку ви ко рис тан ня інтеграто рів висо кого по ряд ку.
Складність ре а лі за ції проце ду ри ав то ма тич но го ви бо ру кро ку роз в’я зу ван ня.
Складність змі ни чи сельного ме тоду (не об хід но знову скла дати різ ницеві рів нян ня).
Складання різницевих рівнянь теж може здійснюватися двома способами (див. табл.):
1. Використання числових інтег ра то рів
2. Z-перетворення
Переваги
Недоліки
Переваги
Недоліки
Можна підіб ра ти чи сельний ме тод за потре бою.
Необхідність ста ран но го вибору кро ку, особ ли во для яв них формул ін тег ру вання.
Складність фор му ван ня різнице во го рів нян ня для фор мул ви со ких по ряд ків.
Складність оцін ки по хибки на кроці та ре а лізації алго рит му зі змін ним кро ком.
Існує можли вість отри мання точ ного роз в’яз ку для відо мих збу рень з будь-яким кроком.
Досить проста про цедура отри ман ня різ ни це вих рів нянь для ві до мих диск рет них пе ре да валь них функцій.
Не кожен об’єкт мож на подати од ні єю диск рет ною пе ре да вальною функ цією, а роз бит тя на бло ки зни жує точ ність.
Складно оцінити по хиб ку на кроці.
Підготовка моде лю ю чої програми час то ви магає по пе ред ньої ана лі тич ної проробки.
2.1. Розв’язування диференціальних рівнянь у нормальній формі Коші
Рівняння стану, що описують модельовану систему, часто за пи су ють у нор маль ній формі Коші, тобто у лівій частині системи за пи су ють ся похідні координат, у правій - вирази для їх обчислень:
де
x1, ... , xm
- зовнішні збурення;
y1, ... , yn
- координати системи;
t
- незалежна змінна (час).
Існуючі чисельні методи призначені для розв’язування диференціальних рівнянь са ме в такій формі, і їх можна поділити на два типи:
однокрокові методи, в яких не враховується інформація з попе ред ніх кроків;
багатокрокові методи, в яких використовується інформація з попе ред ніх кро ків.
Кожен з цих типів має своїх прихильників і противників, які під крес лю ють пе реваги одних і недоліки інших, але ще раз відзначи мо: кожна задача має свій ра ціо нальний метод, причому виграш у часі розрахунку інколи може складати 5-10 разів.
Однокрокові методи
Найвідомішими представниками цього типу методів є методи Ейлера (звичайний, вдос коналений і модифікований), а також дещо досконаліші за них методи Рун ге-Кутта, з яких наведемо формули лише для методів 2-го та 4-го порядків [Б.7]:
Кожен метод апроксимує розв’язок з певним порядком точності, який має узгод жу ва тись з розкладом у ряд Тейлора. Порядок ме тоду p визначається за лиш ковим чле ном цьо го розкладу.
p=2 ,
де
p=4 ,
де
До речі, метод 4-го порядку є найуживанішим і саме він відомий як "метод Рунге-Кутта".
Популярність методу Рунге-Кутта 4-го порядку дуже велика: він при датний до роз в’я зування широкого кола задач, має досить велику точність і просто прог ра му єть ся. Не долік методу – відсутність оцінки похибки на кожному кроці. Для усунення цьо го не доліку розроблено ряд інших формул інтегрування звичайних диференціальних рівнянь на ос нові формул Кутта, серед яких найвідоміші формули Мерсона і Фель бер га. Ці фор му ли, крім значення змінної в наступній точці yi+1 , дають ще й оцін ку локальної похибки (i+1 . Нижче подаються деякі з них [Б.7]:
Формула Мерсона порядку 4(5):
,
де
Формула Фельберга порядку 2(3):
,
де
Формула Фельберга порядку 2(3)В (як показали дослідження, це один з най ефек тив ніших методів для роз в’я зування задач моделю ван ня елект ро приводів):
,
де
У даному методі коефіцієнт k4 на наступному кроці мо же бути використаний як k1.
Формула Фельберга порядку 4(5):
;
,
де
Багатокрокові методи
Багатокрокові методи на відміну від формул типу Рунге-Кутта вико рис то ву ють ін фор мацію з попередніх кроків, що робить їх еко ном ні шими в обчисленнях. Най ві до мі ши ми серед них є формули Адам са [Б.2, Б.9]:
явні (для знаходження значення змінної потрібно мати її поперед нє значення та зна чен ня похідних у попередніх точках);
неявні (потребують значення похідної в шуканій точці).
Нижче подано формули 1-5-го порядку з виразами для оцінки по хиб ок.
Формули Адамса належать до методів, що можуть викорис то ву ва тись на ве ли ких про міжках інтегрування, зокрема для розв’я зу ван ня осцилюючих за дач. Най ширше за сто сування отримало по єд нан ня явної формули з не яв ною:
Явні формули Адамса (Адамса - Башфорта)
p=1
;
p=2
;
p=3
;
p=4
;
p=5
;
p=6
;
Неявні формули Адамса (Адамса - Мултона)
p=1
;
p=2
;
p=3
;
p=4
;
p=5
;
p=6
;
прогноз за допомогою явної формули;
корекція за допомого неявної формули.
Приклад: Використаємо формули Адамса 3-го порядку для розв’язування дифе рен ці аль но го рів няння .
Знаходимо для ti+1 прогнозоване значення змінної: .
Знаходимо прогнозоване значення похідної в i+1 точці: .
Коректуємо значення змінної: .
Знаходимо похибку на кроці:
,
де
yi+1
точний розв’язок на i+1-му кроці;
локальна похибка прогнозу;
локальна похибка корекції.
Співвідношення між похибками прогнозу і корекції відоме:
; , тоді звідки
визначаємо .
Тоді .
5) Коректуємо значення похідної для наступних кроків: .
Неявні формули Адамса мають вищі точність і стійкість, а в поєднанні з яв ними дозволяють отримати відносно нескладну об чис лю вальну процедуру з оцін кою похибки на кроці.
Під час розв’язування задач моделювання інколи виникає ситу а ція, ко ли спів від но шен ня між найменшою та найбільшою сталими ча су пе ре вищує 2-3 порядки (та кі задачі на зиваються жорсткими). Зви чай ні чисельні методи не зовсім при сто со ва ні до роз в’я зу ван ня таких за дач, ос кіль ки вимагають малого кроку з умови стій кос ті навіть для глад ко го рішення. Для жорстких задач розроблено ряд чисельних ме то дів, з яких най ві до мі ши ми є формули Гіра (Gear) чи, як їх ще на зи вають, фор мули диференціювання назад (ФДН). Нижче наведено ці фор мули (прогноз і корекція) для порядків p = 1 … 5 [Б.9].
p=1
p=2
p=3
p=4
p=5
У методі Гіра прогноз використовується лише для задання почат ко вого зна чен ня ітераційній процедурі корекції. Грунтовніше про цей ме тод можна прочитати в [Б.9].
Вибір кроку
Вибір величини фіксованого кроку розв’язування є досить прос тою задачею:
для методів невисокого порядку розмір кроку береться при близ но 10% від най мен шої сталої часу системи;
для методів вищих порядків (наприклад, Рунге-Кутта 4-го по рядку) крок можна збіль ши ти до 20% - 50% від найменшої сталої часу.
Уточнення величини кроку можна зробити шляхом його збільшення і зменшення вдві чі: як що процес стає нестійким чи вигляд процесу по чи нає змінюватись (на прик лад, зрос тає коливність), крок зменшують.
Перехід до автоматичного вибору кроку дозволяє прискорити про цес роз в’я зу ван ня, тому що на гладких ділянках крок розв’язку ав томатично збільшується. Про цедура ав томатичного вибору кроку ін тегрування системи звичайних диференціальних рівнянь особ ливо прос то реалізується для методів на основі формул Рунге-Кутта (на при клад, фор мул Фельберга). Для багатокрокових методів (наприклад, на основі формул Адамса) про цедура зміни кроку вимагає ін тер по ля ції попередніх то чок, оскільки вважається, що во ни рівновіддалені. Тому програми на основі ба га то крокових методів значно складніші.
Нове значення кроку розраховується за формулою: ,
де
K=0,8(0,9
– коефіцієнт гарантії;
(0
– задана похибка на кроці;
(i
– оцінка відносної похибки на кроці;
p
– порядок методу.
Оцінка відносної похибки обраховується за формулою ,
де (i - оцінка похибки методу;
yi - значення змінної на кроці.
Зміна кроку обмежується величиною .
Після “забракованого” кроку (якщо довелось повторити розраху нок з мен шим зна ченням кроку) на наступному кроці рекомендується його величину не збіль шувати: . Прочитати про алгоритми ви бо ру кроку інтегрування звичайних диферен ці аль них рівнянь можна в [Б.7, Б.9].
2.2. Моделювання електроприводів різницевими рівняннями
Використання цифрових інтеграторів
Під час складання різницевих рівнянь за цим способом викорис то вуються фор му ли багатокрокових цифрових інтеграторів. Слід від зна чити, що вико рис тан ня неявних ме тодів не тільки не ускладнює за дачу, а й призводить до отримання різ ницевих рів нянь з вищими стій кіс тю та точністю порівняно з використанням яв них методів.
Приклад.
Аперіодична ланка описується диференціальним рівнянням 1-го по ряд ку або ,
де
T
стала часу ланки;
k
коефіцієнт підсилення ланки;
x
вхідний сигнал.
Для формування різницевого рівняння використовується фор му ла Гі ра 3-го по ряд ку . Підставимо з диференціального рівняння вираз для по хід ної y' у формулу методу , після чого пе ре носимо yi+1 в ліву частину ,
звідки .
За отриманим різницевим рівнянням складається програма, як при клад показано фрагмент програми мовою Quick Basic (QBasic).
Y = 0 ‘ Задання початкових умов
Yold1 = 0 ‘ Задання початкових умов
Yold2 = 0 ‘ Задання початкових умов
DO ‘ Початок циклу
X = ( ... вираз для розрахунку вхідного сигналу ... )
Ynew = (18*Y - 9*Yold1 + 2*Yold2 + 6*h/T*k*X) / (11+6*h/T)
( ... Оператори виводу результатів ... )
‘ Готуємось до нового кроку
t = t + h
Yold2 = Yold1
Yold1 = Y
Y = Ynew
LOOP UNTIL t > Tmax ‘ Кінець циклу
Використання Z-перетворення
Формування різницевих рівнянь за допомогою Z-перетворення є ефективним чи сель но-аналітичним методом, що забезпечує високу точ ність і швидкість мо де лю вання і отри мав широке розповсюдження закордоном. Недоліком даного спо со бу є необхідність пев ної ана лі тич ної роботи у процесі формування різницевих рів нянь, відсутність прос тої оцін ки похибки на кроці та проблеми з точністю для склад ні ших систем, які для зна ход жен ня дискретних передавальних функцій не об хідно роз бивати на ланки, передавальні функ ції яких від по ві да ють таб лич ним.
Таблиці найпоширеніших передавальних функцій неперервних сис тем, від по від них їм дискретних і моделюючі різницеві рівняння міс тяться у [Б.5]. Повніші таб ли ці від по від ності між неперервними (за Лапласом) передавальними функціями і диск ретними (Z-пе ретво рен ня) подано у [Б.3, Б.6], там же міститься грунтовна тео рія Z-пе ре тво рен ня та його використання.
У випадку, коли нема відповідної дискретної передавальної функ ції, радять засто со ву вати дискретні апроксимації оператора Лапласа [Б.3, Б.5, Б.6] (див. таблицю нижче).
Точне Z-перетворення
Z-форма
p-1
p-2
p-3
p-4
Практичне використання таких підстановок розглядається у [Б.5, Б.10], ре ко мен до ваний крок , де Tmin - найменша стала ча су системи.
Нехай, ми маємо якусь неперервну передавальну функцію W(p), від якої ана лі тич но чи за допомогою якоїсь підстановки перейдемо до дискретної W(z). За отриманою диск ретною передавальною функцією від Z не склад но побу ду ва ти різ ницеве рівняння, за допомогою якого можна знайти розв’язок
для .
Для моменту часу ti знаходимо ;
після чого ділимо почленно на zn .
Враховуючи теорему зміщення отримаємо , звідки
.
Наприклад,
, тоді для моменту часу ti матимемо
; ділимо почленно на z2;
( ;
звідки .
Приклад 1
Знайти перехідну функцію (реакцію на одиничний стрибок) апе рі о дичної ланки зі ста лою часу T=0.8 c. Зображення перехідної функції . За таб ли цею Z-перетворення знаходимо від по від ну дискретну передавальну функцію ,
звід ки , потім ділимо почленно на z2 або , звідси .
Враховуючи, що x=1, знаходимо різницеве рівняння для роз ра хун ку пере хід ної функції .
Нижче подано фрагмент програми для розрахунку заданої пере хід ної функції.
CONST Ta = 0.8 ‘ Стала часу ланки
CONST h = 0.05 ‘ Крок розв’язку
CONST Tmax = 2 ‘ Час розв’язку
Yi = 0 ‘ Нульові
Yi1 = 0 ‘ початкові
Yi2 = 0 ‘ умови
Et = EXP(-h/Ta) ‘ Допоміжна змінна
FOR t = 0 TO Tmax STEP h
Yi = Yi1 + (Yi1 - Yi2) * Et + (1 - Et)
PRINT “t=“; t, “Y=“; Yi
Yi2 = Yi1 ‘ Підготовка до
Yi1 = Yi ‘ наступного кроку
NEXT t
Приклад 2
Скласти математичну і цифрову моделі двигуна постійного стру му неза леж но го збуд ження зі сталим потоком збудження для до слід жен ня його динамічних режи мів для змінної напруги на якорі (ана ло гіч но до лабораторної роботи № 2) з вико рис танням Z-пе ретворення. Мо делі двигуна постійного струму відповідає відома струк тура і від по відна система диференціальних рівнянь:
або
Виконуючи підстановку , отримаємо:
Після відповідних алгебричних перетворень з урахуванням теореми зміщення для Z-перетворення перейдемо до системи різницевих рівнянь:
Під час розрахунку значення (i+1 ще невідоме, тому його замі ни мо зна чен ням (i (це не зовсім точно, але з урахуванням того, що швидкість змінюється по віль ніше за струм, є допустимим). Тоді оста точ но система різницевих рівнянь за пи шеть ся у ви гляді:
Нижче пропонується варіант програми розв’язування даної сис те ми мо вою QBasic для конкретного двигуна.
'----------------------------------------------------------
' Програма розрахунку пуску двигуна постійного струму
' для стрибкоподібної зміни напруги на якорі.
'----------------------------------------------------------
CONST Tmax = 5 ' Максимальний час розрахунку
CONST Xmin = 0 ' Ліва межа графіка
CONST Xmax = Tmax ' Права межа графіка
CONST Ymin = 0 ' Нижня межа графіка
CONST Ymax = 200 ' Верхня межа графіка
CONST h = .01 ' Крок розв'язку
CONST Uanom = 220 ' Номінальна напруга на якорі
CONST C = 2.5 ' Стала двигуна
CONST Ra = .21 ' Сумарний опiр якiрного кола
CONST Ta = .05 ' Стала часу якiрного кола
CONST J = 2.9 ' Сумарний момент iнерцiї привода
CONST Ic = 20! ' Статичний струм якоря
Ia = 0 '
Ia.old = 0 ' "Обнулення" змінних
w = 0 '
FOR t = 0 TO Tmax STEP h
' Використовується п/п виводу графіка
CALL Graphic(9, t, Ia) ' Вивiд графiка струму якоря
CALL Graphic(10, t, 2 * w) ' Вивiд графiка швидкостi
' === Формування напруги на якорі ===
Ua = .25 * Uanom
IF t > 1.25 THEN Ua = .5 * Uanom
IF t > 2.5 THEN Ua = .75 * Uanom
IF t > 3.75 THEN Ua = Uanom
' === Модель якірного кола ===
Ia.old = Ia
Ia = (Ia*(2*Ta - h) + 2*h*(Ua - C*w)/Ra)/(2*Ta + h)
' === Опис механiчної частини приводу. Розрахунок швидкостi ===
w = w + C * h * (Ia + Ia.old - 2 * Ic) / J / 2
NEXT t
END
3. ЛАБОРАТОРНИЙ ПРАКТИКУМ
ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 1
Моделювання динамічних режимів генератора постійного струму
Мета роботи: Навчитись складати математичні та цифрові моделі ге не ратора пос тій но го струму для досліджень різних ди на мічних режимів.
ПРОГРАМА РОБОТИ
Скласти математичні моделі генератора постійного струму згідно ва рі анту зав дан ня для режиму неробочого ходу, активного та активно-ін дуктивного наван та ження і фор сування збудження.
На основі отриманих в п. 1 математичних моделей скласти цифрові моделі (прог ра ми) з використанням методів:
Ейлера (явний метод Адамса 1-го порядку);
метод трапецій (неявний метод Адамса 2-го порядку).
ПРИМІТКА
Для першого методу використати запис диференціального рів нян ня у нор маль ній формі Коші, для другого - у вигляді різ ни це вих рівнянь.
Для контролю вивести графік аналітичного розв’язку.
За допомогою отриманих цифрових моделей дослідити вказані ниж че режими.
Для режиму неробочого ходу генератора отримати залежності ви хід ної ЕРС eG(t) для стрибкоподібної зміни напруги збуджен ня Ud згідно рис. 3.1 і за да них по чат кових умов eG0 (табл. 3.1) різними чисельними методами та різ ни ми кроками ін тегрування, а також за аналітичним розв'язком.
Рис. 3.1. Графік зміни напруги збудження генератора
Дослідити режими зміни навантаження опором Rн : отримати залежності струму яко ря ia(t) і напруги генератора uG(t) з врахуванням індуктивності якірного ко ла La = LaG та без неї (La = 0) для зміни опору навантаження за гра фіком рис. 3.2.
За результатами моделювання побудувати статичну харак те рис ти ку ге не ра тора uG(ia).
Рис. 3.2. Залежність зміни опору навантаження Rн генератора від часу
Дослідити процес зміни напруги генератора uG(t) для режиму фор сованого збуд ження з коефіцієнтом форсування Kф і но мі наль ного навантаження Rн = Rном за умови шунтування додат ко во го опо ру Rдод в колі обмотки збудження ге не ра то ра (ОЗГ) (рис. 3.3) з вра хуван ням індуктивності якірного кола La = LaG .
Рис. 3.3. Схема для форсування збудження генератора постійного струму
У звіті за виконану роботу подати:
тему, мету та програму роботи;
вихідні дані за варіантом завдання;
математичні моделі досліджуваних процесів, інтегральну функцію аналітичного роз в’язку;
тексти програм для розрахунку динамічних режимів;
отримані результати;
розгорнуті, обґрунтовані висновки про точність створених цифро вих моделей та влас тивості використаних чисельних методів.
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
Генератор серії П вибирається за номером свого варіанту за таблицею з додатку 1.
Для режиму неробочого ходу математичною моделлю генератора постійного стру му є диференціальне рівняння 1-го порядку:
, де
KG = UGн / Udн – коефіцієнт підсилення за напругою;
TG = LG / Rd( – електромагнітна стала часу ОЗГ;
Ud – напруга збудження генератора;
Rd( = Rd + Rдод – опір кола збудження генератора;
Rd – опір обмотки збудження генератора.
Для режиму активного навантаження (LaG=0) математичною мо дел лю є два рів нян ня - диференціальне і алгебричне:
; . Друге рівняння дозволяє обчислюва ти зна чен ня ia та моделювати режими зміни навантаження. Для режиму активно-ін дук тив но го на ван таження математична мо дель описується системою з двох диферен ціальних рів нянь пер шого по ряд ку:
або
де Ra = RaG + Rн , La = LaG + Lн , Ta = La / Ra .
У другому випадку для отримання вищої точності в мо де лі генератора залежність eG(id) ап рок си мується кривою арктангенса: , де A, B - ко е фіцієнти ап рок си ма ції; id - струм збуджен ня. Коефіцієнти апрок си мації для першого на бли жен ня виби ра ють ся наступним чином
A=EGн , тоді , звідки .
Індуктивність ОЗГ Ld та індуктивність якоря LaG розраховується за фор мулами:
і ,
де
p
число пар полюсів;
Wp
число витків ОЗГ на полюс;
(
магнітний потік ОЗГ;
F
ампервитки ОЗГ;
k
емпіричний коефіцієнт, k=0,6 для некомпенсова них ма шин, k=0,15 для компенсованих машин;
(н
номінальна частота обертання генератора.
Додатковий опір у схемі рис. 3.3 вибирається з умови забезпечен ня номі наль ного стру му збудження після закінчення форсування.
Таблиця 3.1
Група
Ud1
Ud2
Ud3
eG(0)
Kф
1 (I ч.)
0,2Udн
0,8Udн
-0,7Udн
0
2,5
1 (II ч.)
0.4Udн
Udн
-0,5Udн
0,1UGн
3
2 (I ч.)
0,3Udн
0,9Udн
-0,5Udн
-0,1UGн
3,5
2 (II ч.)
0,5Udн
Udн
-0,8Udн
0,25UGн
2,8
Приклад:
Розрахувати перехідний процес пуску генератора постійного стру му з форсу ван ням напруги збудження з урахуванням індуктив нос ті якірного кола. Для роз в’язку ви ко рис тати різницеві рівняння на основі неявного методу Ейлера: .
Виведемо різницеві рівняння для струмів збудження та якоря. ; підставляючи у формулу методу отримаємо , звідки . Тоді і ,
де Rd( = Rd для режиму форсування і Rd( = Rd + R1 після закінчен ня форсування;
TG = Ld / Rd( .
Приклад програми
'-------------------------------------------------------------
' Розрахунок перехiдного процесу форсування збудження генератора
' з використанням різницевого рівняння за неявним методом
' Ейлера.
'-------------------------------------------------------------
CONST Kg = 2.09 ' Коефіцієнт підсилення генератора
CONST Ld = 5.5 ' Індуктивність ОЗГ
CONST Rdg = 4.5 ' Опір ОЗГ
CONST Rdod = 9! ' Додатковий опір кола збудження
CONST Udnom = 220 ' Номінальна напруга збудження
CONST Ugnom = 460 ' Номінальна напруга якоря
CONST Rag = .15 ' Опір якоря генератора
CONST Rn = 4.1 ' Опір навантаження
CONST Ta = .1 ' Стала часу якірного кола
CONST Kf = 3 ' Коефіцієнт форсування
CONST h = .002 ' Крок розв'язку
CONST Tmin = 0 ' Початковий час розрахунку
CONST Tmax = 2.5 ' Максимальний час розрахунку
' ==========================================
' Підготовка до виводу графіка
' ==========================================
CONST Xmin = Tmin ' Ліва межа графiка
CONST Xmax = Tmax ' Права межа графiка
CONST Ymin = 0 ' Hижня межа графiка
CONST Ymax = 500 ' Верхня межа графiка
' ==========================================
' Основний цикл пограми
' ==========================================
t = Tmin ' Початковий час
Id = 0 ' Початкова умова (струм збудження)
FOR t = Tmin TO Tmax STEP h
CALL Graphic(4, t, Ia) ' Вивід графіка струму якоря
CALL Graphic(3, t, Ug) ' Вивід графіка напруги генератора
' Визначаємо значення опору в колі збудження
IF Ug < Ugnom THEN Rd = Rdg ELSE Rd = Rdg + Rdod
Tg = Ld / Rd ' Стала часу ОЗГ
' Розв'язок різницевого рівняння для струму збудження
Id = (Id + h / Tg * Kf * Udnom / Rd) / (1 + h / Tg)
Ud = Id * Rdg ' Значення напруги збудження
' Розв'язок різницевого рівняння для струму якоря
Ia = (Ia + h / Ta * Kg * Ud / (Rag + Rn)) / (1 + h / Ta)
Ug = Ud * Kg - Ia * Rag ' Значення напруги на якорі
NEXT t
END
ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 2
Моделювання динамічних режимів двигуна постійного струму незалежного збудження
Мета роботи: Навчитись складати математичні та цифрові моделі дви гу нів постійного струму незалежного збудження та виконувати на них дослідження ди на мічних режимів.
ПРОГРАМА РОБОТИ
Скласти математичні моделі двигуна постійного струму згідно ва рі анту завдання (табл. 3.2) для режимів пуску та гальмування.
На основі отриманих в п. 1 математичних моделей скласти цифрову мо дель (прог ра му) для дослідження режиму пуску двигуна для стриб коподібної зміни напруги на яко рі двигуна згідно рис. 3.4. Провести обчислення залежностей ia(t) та ((t) для мо менту наван та жен ня MC=0,8Mном з нульовими по чатковими умовами (ia(0)=0, ((0)=0) нехтуючи (La=0) та враховуючи (La=Laном) індуктивність яко ря двигуна.
Рис. 3.4. Графік зміни напруги на якорі двигуна (до п. 2).
Розрахувати пускову діаграму і згідно отриманих в п. 1 матема тич них моделей склас ти цифрову мо дель для дослідження ре жиму реостатного пуску двигуна. Розра хува ти за лежності ia(t) та ((t) для ну льових по чат ко вих умов (ia(0) = 0, ((0) = 0) і мо мен ту на ван та жен ня Mс = 0,5Mн з ін дук тив ністю яко ря дви гуна (La = Laн) та без неї (La = 0). Ви значити величи ну усталеної швид кос ті на природній ха рактеристиці (с для Mс = 1,5Mн і Mс = 0,5Mн. Пуск двигу на ви конати у функції ча су чи швидкості згідно сво го варіанту (табл. 3.2).
Розрахувати характеристику гальмування (динамічного чи про ти вми канням - згідно ва ріанту) для умови Ia ( 2Iaном і згідно отри ма них в п. 1 матема тич них моделей склас ти цифрову мо дель для до слід ження цього ре жиму. Розрахувати залежності ia(t) та ((t) з індуктивністю яко ря дви гуна (La = Laн) та без неї (La = 0), моменту (ак тивного чи реактивного - згідно ва рі ан ту) на ван таження Mc = 0,5Mн . Початкові умови – точка з координатами (Ic , (c), де Ic = 0,5Iaн .
У звіті за виконану роботу подати:
тему, мету та...
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора