МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ “ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА” / Лабораторна робота №5 Тема: «НАБЛИЖЕНЕ ОБЧИСЛЕННЯ ІНТЕГРАЛІВ ЗА ДОПОМОГОЮ КВАДРАТУРНИХ ФОРМУЛ НЬЮТОНА-КОТЕСА» Завдання: 1. Одержати варіант завдання. 2. Вивчити теоретичну частину. 3. Використовуючи будь-яку з відомих Вам мов програмування, написати та відлагодити програму наближеного обчислення означеного інтеграла за допомогою квадратурних формул НьютонаКотеса з заданою точностю
. 4. Для відлагодження програми потрібно вибрати таку підінтегральну функцію і межі інтегрування, щоб інтеграл обчислювався точно, наприклад
. Якщо точність
досягнута, то вивести на друк величину похибки
. Варіант №15. Метод Сімпсона. № варіанта 


 15. 


  Короткі теоретичні відомості Нехай потрібно обчислити інтеграл
(1) де
— задана інтегровна на
вагова функція,
— задана достатньо гладка на
функція. Для наближеного обчислення (1) будемо розглядати формули вигляду
(2) які називаються квадратурними формулами. Числа
називають вузлами квадратурної формули, а числа
— коефіцієнтами, або ваговими коефіцієнтами. Величина
називається залишковим членом, або похибкою квадратурної формули. Якщо функцію
на
замінити інтерполяційним поліномом Лагранжа
то одержимо квадратурну формулу інтерполяційного типу. У цьому випадку
. (3) Якщо у квадратурній формулі (2) з ваговими коефіцієнтами (3) для інтегралів (1) з
вузли рівновіддалені, тобто

то така формула називається квадратурною формулою Ньютона–Котеса. У формулах Ньютона–Котеса крок
. Тоді квадратурна формула (2), (3) буде мати вигляд
де
Поклавши
, маємо складену формулу Сімпсона (парабол)


,
для формули Сімпсона маємо оцінку похибки
. Алгоритм наближеного обчислення інтеграла для квадратурної формули Сімпсона. 1. Ввожу значення
. 2.
. 3. Обчислюю величину кроку
=(b-a)/2N та вузли квадратурної формули
=a+2ih. 4. Обчислюю наближене значення інтеграла:
, 5. Приймаю
. 6. Обчислюю наближене значення
за тією ж формулою. 7. Якщо
то присвоюю
і перехожу до пункту 5. 8. Уточнюю наближене значення інтеграла за формулою
. 9. Вивожу
. Результати отримані за допомогою пакету програм Maple 12. > / / / / / / / /// Код програми: #include <iostream.h> #include <math.h> //using namespace std; int N = 8; double a = 0, b = 1, e = 0.0000001, h = (b - a) / (2 * N), X[100], Ics, Ics2; double F(double); void Simpson(); void main() { Simpson(); cout<<"Iteraciji zakin4eno... Velu4uba pohubku = "<<fabs(Ics - Ics2)<<endl; Ics = Ics2 + (Ics2 - Ics)/15; cout<<"N = "<<N<<"\nh = "<<h<<"\nIh = "<<2 * Ics<<endl; } double F(double x) { double func = pow(x, 3) / (pow(x, 8) + 1); return func; } void Simpson() { for(int i = 0; i < N + 1; i++) X[i] = a + 2 * i * h; double S = F(X[0]); for(i = 1; i < N; i++) if(i % 2 == 1) S += 4 * F(X[i]); else S += 2 * F(X[i]); S += F(X[N]); Ics = S * h / 3; Ics2 = Ics; do { Ics = Ics2; N = 2 * N; h = h / 2; for(int i = 0; i < N + 1; i++) X[i] = a + 2 * i * h; S = F(X[0]); for(i = 1; i < N; i++) if(i % 2 == 1) S += 4 * F(X[i]); else S += 2 * F(X[i]); S += F(X[N]); Ics2 = S * (h / 3); } while(fabs(Ics - Ics2)/15 > e); } Результат виконання програми: / Висновок: В процесі виконання даної лабораторної роботи я наближено обчислив інтеграл за допомогою квадратурних формул Ньютона-Котеса, а саме формули Сімпсона. Значення обчислене за допомогою цієї формули майже співпало із значенням отриманим за допомогою пакету програм Maple 12.