МЕТОДИ НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦІЙ. Лабораторна робота з Чисельні методи в інформатиці. Робота № 112046

Перехід до торгівельного партнера Binance

МЕТОДИ НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦІЙ

Інформація про навчальний заклад

ВУЗ:

Національний університет Львівська політехніка

Інститут:

Не вказано

Факультет:

Не вказано

Кафедра:

Кафедра САПР

Інформація про роботу

Рік:

2008

Тип роботи:

Лабораторна робота

Предмет:

Чисельні методи в інформатиці

Група:

КН-316

Завантажити

Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):

Міністерство освіти і науки України Національний університет «Львівська політехніка» кафедра САПР Лабораторна робота №2 з курсу "Чисельні методи в інформатиці" на тему: МЕТОДИ НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦІЙ Львів-2008 1. МЕТА РОБОТИ Мета роботи - ознайомлення з методами наближення функцій та їх практичним застосуванням. 2. ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТИНА 2.1. Формулювання задачі наближення функцій Вважають, що на множині дійсних чисел X визначено деяку дійсну функцію , якщо кожному числу x з цієї множини поставлено у відповідність одне дійсне число y з множини Y. На практиці часто трапляються випадки, коли знайти значення y для відповідних x досить важко. Крім того, часто аналітичний вираз функції взагалі невідомий, а відомі лише її значення у скінченній кількості точок. Ці значення можуть бути знайдені в результаті спостережень чи вимірювань в якому-небудь експерименті, або в результаті обчислень. Тому викликає потреба вихідну функцію наближено замінити (апроксимувати) деякою іншою функцією , в певному розумінні близькою до і такою, що простіше обчислюється чи досліджується. Тоді при всіх значеннях аргументу з множини Х вважають Функцію , називають апроксимуючою. Близькість функцій і можна, зокрема, оцінювати в метричних просторах за допомогою відстані . По-різному вводячи відстань, дістають різні конкретні випадки задачі апроксимації. Часто апроксимуючу функцію беруть у вигляді лінійної комбінації функцій деякого класу, які утворюють скінченну чи зчисленну множину , причому будь-яка скінченна система елементів лінійно незалежна. Тобто беруть у вигляді: , (1) де – сталі коефіцієнти. Як функції часто використовують многочлени. Функцію в цьому випадку називають узагальненим многочленом. Надалі розглядатимемо наближення функцій узагальненими многочленами. У цьому випадку задачу апроксимації можна сформулювати так. Задано функцію f(x). Потрібно знайти такий узагальнений многочлен , підібрати його коефіцієнти , щоб відхилення (в деякому розумінні) функції f(x) від на заданій множині Х було найменшим. Нехай у точках з відрізку [а,в] відомі значення функції y=f(x): . Розглянемо один з випадків апроксимації, що називається інтерполяцією. Суть його полягає в тому, що коефіцієнти многочлена (1) добирають так, щоб у точках x(i=0,1,..,n) значення функцій і f(x) збігалися, тобто: (i=0,1,..,n). (2) Точки x(i=0,1,..,n) називаються вузлами інтерполювання, а многочлен – інтерполяційним многочленом. Формулу y=, знайдену для обчислення значень функції y=f(x), називають інтерполяційною. Задача інтерполювання матиме єдиний розв'язок, якщо при будь-якому розміщенні вузлів (серед яких немає таких, що збігаються ) визначник системи (2) не дорівнюватиме нулю. Системи функцій, які задовольняють таку умову, називають системами Чебишова. Очевидно, вимога лінійної незалежності системи є необхідною умовою для того, щоб ця система функцій була системою Чебишова. При інтерполюванні узагальнений многочлен будують за деякою Чебишовською системою функцій. На практиці систему часто беруть у вигляді послідовності невід'ємних степенів змінної x, тобто: (i=0,1,..,n). Тут узагальнені многочлени є звичайними алгебраїчними многочленами. . Інтерполювання в цьому випадку називається поліноміальним, або параболічним. 2.2. Інтерполяційний многочлен Лагранжа Нехай у точках x(i=0,1,..,n) , з відрізка [а,в] задано значення функції y=f(x) : y=f(x). Треба побудувати такий поліном (степеня, не вищого за n), який у вузлах набуває тих самих значень, що й функція y=f(x), тобто: (i=0,1,..,n). (3) Щоб дістати інтерполяційний многочлен в явному вигляді, не обов'язково розв'язувати систему лінійних рівнянь, його можна побудувати безпосередньо так, щоб задовольнялась умова (3). Многочлен шукається у вигляді лінійної комбінації деяких многочленів степеня n, причому коефіцієнтами цієї лінійної комбінації будуть задані значення функції y=f(x) у вузлах, тобто: , (4) де (i=0,1,..,n) – поки що невідомі многочлени степеня n. З умови (3) випливає, що многочлени мають задовольняти умову: . Тоді: . (5) Інтерполяційний многочлен, записаний у вигляді (5), називається інтерполяційним многочленом Лагранжа. Многочлени називаються коефіцієнтами Лагранжа. Величина: , (6) яка характеризує близькість полінома L(x) до функції f(x) у деякій точці x відрізка [а,в] називається залишковим членом інтерполяційної формули , який визначає величину похибки. Оцінка для записується у вигляді: , (7) де . Якщо вузли рівновіддалені, тобто i=1,2,..,n, то оцінка для залишкового члена набирає вигляду: (8) де . Таким чином, для випадку рівновіддалених вузлів . З оцінки (7) видно, що величина похибки многочлена Лагранжа залежить від того, як вибрано вузли інтерполювання (вони визначають функцію . Оцінити при довільному розміщенні вузлів інтерполювання досить складно. Коли вузли рівновіддалені, то поблизу центрального вузла інтерполяційні екстремуми функції невеликі, поблизу крайніх вузлів дещо більші, а якщо x виходить за крайні вузли, то швидко зростає. Знаходження значень y=f(x), якщо значення аргументу x лежить між крайніми вузлами, називають інтерполюванням, а якщо лежить поза крайніми вузлами – то екстраполюванням. З попереднього випливає, що при екстраполяції далеко за крайні вузли похибка може бути досить великою. Оскільки значення часто задаються наближено, то навіть і тоді, коли всі проміжні обчислення виконуються точно, результат дістаємо з похибкою. Це неусувна похибка. Неусувна похибка формули Лагранжа не перевищує величини: , (9) де – максимальне значення абсолютних похибок величин y=f(x) (i=0,1,2,...,n). Остання похибка при (відповідно ) порівняно мала і дуже повільно зростає із збільшенням n. У процесі обчислень виникає також похибка при заокругленні проміжних результатів. Практично цю похибку можна зробити значно меншою порівняно із неусувною (похибкою обмеження), якщо проміжні обчислення проводити з більшою кількістю цифр, ніж це вимагається для табличних значень f(x). При оцінці похибки результату слід враховувати і похибку остаточного заокруглення. Повна похибка інтерполювання дорівнює сумі всіх перелічених вище похибок. 2.3. Скінченні різниці. Інтерполяційні многочлени Ньютона Нехай – значення деякої функції y=f(x), що відповідають рівновіддаленим значенням аргументу . Величина називається скінченною різницею першого порядку функції f(x)в точці (з кроком h) і позначається або , тобто . Скінченна різниця другого порядку в точці xi визначається рівностями: . Скінченна різниця n-го порядку функції y=f(x) в точці визначається рекурентною формулою: , де Скінченні різниці зручно розміщувати у вигляді таблиці: Така таблиця називається діагональною таблицею різниць. Всі різниці будемо записувати цілими числами в одиницях молодшого розряду значень функції у вузлах інтерполювання. Можна записати формулу: , (10) де – біномні коефіцієнти. Остання формула виражає скінченні різниці через значення функції у вузлових точках. Нехай для функції y=f(x) задано її значення для значень аргументу, які утворюють арифметичну прогресію (i=0,1,...,n), де h – крок таблиці. Треба побудувати многочлен степінь якого був би не більшим за n, а значення його у вузлах інтерполювання збігалися б із значенням функції y=f(x); тобто: (i=0,1,2,...,n). (11) Многочлен визначається у вигляді: (12) Коефіцієнти у (12) визначають так, щоб виконувались умови (11). Після деяких перетворень і застосування раніше введених означень скінченних різниць отримують співвідношення: (13) Формула (13) називається першою інтерполяційною формулою Ньютона. Доведено, що існує лише один інтерполяційний многочлен n-го степеня, значення якого у вузлах інтерполяції дорівнюють значенням функції . Тому інтерполяційний поліном (13) збігатиметься з інтерполяційним многочленом Лагранжа, побудованим для цього випадку. Ці многочлени тільки записані в різних формах. Формулу Ньютона (13) можна подати в зручнішому для користування вигляді. Для цього вводять нову безрозмірну змінну t за формулою , або . Тоді формула (13) набирає вигляду: (14) Цей вигляд першої інтерполяційної формули Ньютона називають формулою Ньютона для інтерполювання вперед. Таку назву вона отримала тому, що в ній використовуються значення функції, дані у вузлах, які містяться вправо від (вперед, вниз по стовпчику). Для інтерполювання в кінці таблиці користуються іншою формулою вигляду: (15) Це є друга інтерполяційна формула Ньютона для інтерполювання назад. У ній використовуються скінченні різниці, розміщені в діагональній таблиці різниць по діагоналі знизу вгору. Оскільки інтерполяційні формули Лагранжа і Ньютона – різні форми запису інтерполяційного многочлена, то оцінки залишкових членів формул Ньютона будуть такими, як і для формули Лагранжа, побудованої за такими самими даними. Тому у повну похибку результату, знайденого за формулами Ньютона, крім похибки методу, входитиме неусувна похибка, а також похибка округлення. Формулу Ньютона, як і формулу Лагранжа, можна використати і для екстраполювання, тобто для обчислення значення функції в точках, які лежать за межами таблиці. Очевидно, що перша інтерполяційна формула Ньютона застосовується для інтерполювання вперед (t>0) і екстраполювання назад (t<0), а друга – для інтерполювання назад (t<0) та екстраполювання вперед (t>0). ЛАБОРАТОРНЕ ЗАВДАННЯ Для заданого варіанту обчислити значення функції в 5 різних точках для двох різних інтервалів по методу Лагранжа та Ньютона. Дослідити вплив степені полінома (n1=1,2,3 n2=5,6,7 n3=8,9,10) на точність одержаних результатів 11 ln(x2) 1) ● Вибираємо 1 відрізок: 0.2…0.8. Обчислення проводиться в точках: 0.1; 0.3; 0.5; 0.7; 0.9. Початкові дані: X( 1)= .20000 Y( 1)= -3.2189 X( 2)= .40000 Y( 2)= -1.8326 X( 3)= .60000 Y( 3)= -1.0217 У точці X= 0.10000 одержано L= -4.1278 Точне значне LT= -4.6052 У точці X= 0.30000 одержано L= -2.4538 Точне значне LT= -2.4079 δ=0.01906 У точці X= 0.50000 одержано L= -1.3552 Точне значне LT= -1.3863 δ=0.02244 У точці X= 0.70000 одержано L= -0.83195 Точне значне LT= -0.71335 δ=0.16626 У точці X= 0.90000 одержано L= -0.48406 Точне значне LT= -0.21072 δ=7.90995 Початкові дані: X( 1)= .20000 Y( 1)= -3.2189 X( 2)= .25000 Y( 2)= -2.7726 X( 3)= .40000 Y( 3)= -1.8326 X( 4)= .55000 Y( 4)= -1.1957 X( 5)= .65000 Y( 5)= -.86157 X( 6)= .80000 Y( 6)= -.44629 У точці X= 0.10000 одержано L= -4.4746 Точне значне LT= -4.6052 δ=0.02836 У точці X= 0.30000 одержано L= -2.4064 Точне значне LT= -2.4079 δ=0.00062 У точці X= 0.50000 одержано L= -1.3871 Точне значне LT= -1.3863 δ=0.26730 У точці X= 0.70000 одержано L= -0.71509 Точне значне LT= -0.71335 δ=0.00244 У точці X= 0.90000 одержано L= -.15624 Точне значне LT= -0.21072 δ=0.632 Початкові дані: X( 1)= .20000 Y( 1)= -3.2189 X( 2)= .25000 Y( 2)= -2.7726 X( 3)= .35000 Y( 3)= -2.0996 X( 4)= .40000 Y( 4)= -1.8326 X( 5)= .45000 Y( 5)= -1.5970 X( 6)= .55000 Y( 6)= -1.1957 X( 7)= .60000 Y( 7)= -1.0217 X( 8)= .65000 Y( 8)= -.86157 X( 9)= .80000 Y( 9)= -.44629 У точці X= 0.10000 одержано L= -4.5605 Точне значне LT= -4.6052 δ=0.00971 У точці X= 0.30000 одержано L= -2.4079 Точне значне LT= -2.4079 δ=0.00000 У точці X= 0.50000 одержано L= -1.3863 Точне значне LT= -1.3863 δ=0.00000 У точці X= 0.70000 одержано L= -0.71324 Точне значне LT= -0.71335 δ=0.00015 У точці X= 0.90000 одержано L= -0.23958 Точне значне LT= -0.21072 δ=0.13696Графік значень δ при n=3,6,9 y точці X= 0.10000 : Графік значень δ при n=3,6,9 y точці X= 0.30000 : Графік значень δ при n=3,6,9 y точці X= 0.50000 : Графік значень δ при n=3,6,9 y точці X= 0.70000 : Графік значень δ при n=3,6,9 y точці X= 0.90000 : ● Вибираємо 2 відрізок: 9.5..10.1. Обчислення проводиться в точках: 9.4; 9.6; 9.8; 10.0; 10.2. Початкові дані: X( 1)= 9.5000 Y( 1)= 4.5026 X( 2)= 9.7500 Y( 2)= 4.5545 X( 3)= 10.100 Y( 3)= 4.6251 У точці X= 9.4000 одержано L= 4.4814 Точне значне LT= 4.4814 δ=0 У точці X= 9.6000 одержано L= 4.5235 Точне значне LT= 4.5235 δ=0 У точці X= 9.8000 одержано L= 4.5648 Точне значне LT= 4.5648 δ=0 У точці X= 10.000 одержано L= 4.6052 Точне значне LT= 4.6052 δ=0 У точці X= 10.2000 одержано L= 4.6448 Точне значне LT= 4.6448 δ=0 Початкові дані: X( 1)= 9.5000 Y( 1)= 4.5026 X( 2)= 9.6500 Y( 2)= 4.5339 X( 3)= 9.7500 Y( 3)= 4.5545 X( 4)= 9.8500 Y( 4)= 4.5749 X( 5)= 9.9500 Y( 5)= 4.5951 X( 6)= 10.100 Y( 6)= 4.6251 У точці X= 9.4000 одержано L= 4.4814 Точне значне LT= 4.4814 δ=0 У точці X= 9.6000 одержано L= 4.5235 Точне значне LT= 4.5235 δ=0 У точці X= 9.8000 одержано L= 4.5648 Точне значне LT= 4.5648 δ=0 У точці X= 10.000 одержано L= 4.6052 Точне значне LT= 4.6052 δ=0 У точці X= 10.2000 одержано L= 4.6448 Точне значне LT= 4.6448 δ=0 Початкові дані: X( 1)= 9.5000 Y( 1)= 4.5026 X( 2)= 9.5500 Y( 2)= 4.5131 X( 3)= 9.6500 Y( 3)= 4.5339 X( 4)= 9.7000 Y( 4)= 4.5443 X( 5)= 9.7500 Y( 5)= 4.5545 X( 6)= 9.8500 Y( 6)= 4.5749 X( 7)= 9.9500 Y( 7)= 4.5951 X( 8)= 10.050 Y( 8)= 4.6151 X( 9)= 10.100 Y( 9)= 4.6251 У точці X= 9.4000 одержано L= 4.4814 Точне значне LT= 4.4814 δ=0 У точці X= 9.6000 одержано L= 4.5235 Точне значне LT= 4.5235 δ=0 У точці X= 9.8000 одержано L= 4.5648 Точне значне LT= 4.5648 δ=0 У точці X= 10.000 одержано L= 4.6052 Точне значне LT= 4.6052 δ=0 У точці X= 10.2000 одержано L= 4.6448 Точне значне LT= 4.6448 δ=0 2) Вибираємо 1 відрізок: 0.2…0.8. Обчислення проводиться в точках: 0.1; 0.3; 0.5; 0.7; 0.9. Початкові дані: X( 1)= .20000 Y( 1)= -3.2189 X( 2)= .48000 Y( 2)= -1.4679 X( 3)= .76000 Y( 3)= -.54887 ( H= .28000 ) У ТОЧЦІ X= .10000 ОДЕРЖАНО: ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= -4.0458 ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= -4.0458 ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= -4.6052 δ=0.12147 У ТОЧЦІ X= .30000 ОДЕРЖАНО: ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= -2.4980 ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= -2.4980 ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= -2.4079 δ=0.03741 У ТОЧЦІ X= .50000 ОДЕРЖАНО: ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= -1.3747 ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= -1.3747 ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= -1.3863 δ=0.00836 У ТОЧЦІ X= .70000 ОДЕРЖАНО: ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= -.67579 ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= -.67579 ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= -.71335 δ=0.05265 У ТОЧЦІ X= .90000 ОДЕРЖАНО: ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= -.40129 ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= -.40129 ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= -.21072 δ=0.90437 Початкові дані: X( 1)= .20000 Y( 1)= -3.2189 X( 2)= .32000 Y( 2)= -2.2789 X( 3)= .44000 Y( 3)= -1.6420 X( 4)= .56000 Y( 4)= -1.1596 X( 5)= .68000 Y( 5)= -.77132 X( 6)= .80000 Y( 6)= -.44629 ( H= .12000 ) У ТОЧЦІ X= .10000 ОДЕРЖАНО: ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= -4.4405 ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= -4.4405 ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= -4.6052 δ=0.03576 У ТОЧЦІ X= .30000 ОДЕРЖАНО: ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= -2.4087 ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= -2.4087 ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= -2.4079 δ=0.00033 У ТОЧЦІ X= .50000 ОДЕРЖАНО: ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= -1.3866 ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= -1.3866 ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= -1.3863 δ=0.00022 У ТОЧЦІ X= .70000 ОДЕРЖАНО: ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= -.71369 ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= -.71369 ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= -.71335 δ=0.00048 У ТОЧЦІ X= .90000 ОДЕРЖАНО: ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= -.18337 ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= -.18337 ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= -.21072 δ=0.12979 Початкові дані: X( 1)= .20000 Y( 1)= -3.2189 X( 2)= .27000 Y( 2)= -2.6187 X( 3)= .34000 Y( 3)= -2.1576 X( 4)= .41000 Y( 4)= -1.7832 X( 5)= .48000 Y( 5)= -1.4679 X( 6)= .55000 Y( 6)= -1.1957 X( 7)= .62000 Y( 7)= -.95607 X( 8)= .69000 Y( 8)= -.74213 X( 9)= .76000 Y( 9)= -.54887 ( H= .70000E-01) У ТОЧЦІ X= .10000 ОДЕРЖАНО: ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= -4.5563 ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= -4.5563 ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= -4.6052 δ=0.01061 У ТОЧЦІ X= .30000 ОДЕРЖАНО: ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= -2.4079 ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= -2.4079 ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= -2.4079 δ=0 У ТОЧЦІ X= .50000 ОДЕРЖАНО: ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= -1.3863 ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= -1.3863 ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= -1.3863 δ=0 У ТОЧЦІ X= .70000 ОДЕРЖАНО: ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= -.71334 ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= -.71334 ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= -.71335 δ=0.00001 У ТОЧЦІ X= .90000 ОДЕРЖАНО: ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= -.23522 ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= -.23522 ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= -.21072 δ=0.12103 Графік значень δ при n=3,6,9 y точці X= 0.10000 : Графік значень δ при n=3,6,9 y точці X= 0.30000 : Графік значень δ при n=3,6,9 y точці X= 0.50000 : Графік значень δ при n=3,6,9 y точці X= 0.70000 : Графік значень δ при n=3,6,9 y точці X= 0.1000 : ● Вибираємо 2 відрізок: 9.5..10.1. Обчислення проводиться в точках: 9.4; 9.6; 9.8; 10.0; 10.2. ПОЧАТКОВІ ДАНІ : X( 1)= 9.5000 Y( 1)= 4.5026 X( 2)= 9.7900 Y( 2)= 4.5627 X( 3)= 10.080 Y( 3)= 4.6211 ( H= .29000 ) У ТОЧЦІ X= 9.4000 ОДЕРЖАНО: ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= 4.4814 ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= 4.4814 ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= 4.4814 У ТОЧЦІ X= 9.6000 ОДЕРЖАНО: ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= 4.5235 ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= 4.5235 ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= 4.5235 У ТОЧЦІ X= 9.8000 ОДЕРЖАНО: ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= 4.5648 ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= 4.5648 ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= 4.5648 У ТОЧЦІ X= 10.000 ОДЕРЖАНО: ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= 4.6052 ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= 4.6052 ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= 4.6052 У ТОЧЦІ X= 10.200 ОДЕРЖАНО: ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= 4.6448 ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= 4.6448 ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= 4.6448 ПОЧАТКОВІ ДАНІ : X( 1)= 9.5000 Y( 1)= 4.5026 X( 2)= 9.6200 Y( 2)= 4.5277 X( 3)= 9.7400 Y( 3)= 4.5525 X( 4)= 9.8600 Y( 4)= 4.5770 X( 5)= 9.9800 Y( 5)= 4.6012 X( 6)= 10.100 Y( 6)= 4.6251 ( H= .12000 ) У ТОЧЦІ X= 9.4000 ОДЕРЖАНО: ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= 4.4814 ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= 4.4814 ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= 4.4814 У ТОЧЦІ X= 9.6000 ОДЕРЖАНО: ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= 4.5235 ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= 4.5235 ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= 4.5235 У ТОЧЦІ X= 9.8000 ОДЕРЖАНО: ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= 4.5648 ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= 4.5648 ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= 4.5648 У ТОЧЦІ X= 10.000 ОДЕРЖАНО: ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= 4.6052 ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= 4.6052 ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= 4.6052 У ТОЧЦІ X= 10.200 ОДЕРЖАНО: ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= 4.6448 ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= 4.6448 ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= 4.6448 ПОЧАТКОВІ ДАНІ : X( 1)= 9.5000 Y( 1)= 4.5026 X( 2)= 9.5700 Y( 2)= 4.5173 X( 3)= 9.6400 Y( 3)= 4.5318 X( 4)= 9.7100 Y( 4)= 4.5463 X( 5)= 9.7800 Y( 5)= 4.5607 X( 6)= 9.8500 Y( 6)= 4.5749 X( 7)= 9.9200 Y( 7)= 4.5891 X( 8)= 9.9900 Y( 8)= 4.6032 X( 9)= 10.060 Y( 9)= 4.6171 ( H= .70000E-01) У ТОЧЦІ X= 9.4000 ОДЕРЖАНО: ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= 4.4814 ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= 4.4814 ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= 4.4814 У ТОЧЦІ X= 9.6000 ОДЕРЖАНО: ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= 4.5235 ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= 4.5235 ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= 4.5235 У ТОЧЦІ X= 9.8000 ОДЕРЖАНО: ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= 4.5648 ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= 4.5648 ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= 4.5648 У ТОЧЦІ X= 10.000 ОДЕРЖАНО: ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= 4.6052 ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= 4.6052 ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= 4.6052 У ТОЧЦІ X= 10.200 ОДЕРЖАНО: ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= 4.6446 ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= 4.6446 ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= 4.6448 Висновок Під час виконання лабораторної роботи було ознайомлено з методами наближення функцій та їх практичним застосуванням. Було обчислено значення ф-ції в 5 різних точках по методу Лагранжа і Ньютона і знайдено відносні похибки отриманих результатів. З результатів розрахунків та графіків можна зробити висновок, що збільшення кількості вузлів приводить до зменшення похибок обчислень.

Лабораторна робота Чисельні методи в інформатиці

01.01.1970 03:01-

Коментарі

Ви не можете залишити коментар. Для цього, будь ласка, або зареєструйтесь.

Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!

Маєш корисні навчальні матеріали, які припадають пилом на твоєму комп'ютері? Розрахункові, лабораторні, практичні чи контрольні роботи — завантажуй їх прямо зараз і одразу отримуй бали на свій рахунок! Заархівуй всі файли в один .zip (до 100 МБ) або завантажуй кожен файл окремо. Внесок у спільноту – це легкий спосіб допомогти іншим та отримати додаткові можливості на сайті. Твої старі роботи можуть приносити тобі нові нагороди!

поділитись