Міністерство освіти і науки України Національний університет «Львівська політехніка» кафедра САПР
Лабораторна робота №3 з курсу "Чисельні методи в інформатиці" на тему: МЕТОДИ ЧИСЕЛЬНОГО ІНТЕГРУВАННЯ ФУНКЦІЙ Львів-2008 МЕТА РОБОТИ – ознайомлення із методами чисельного інтегрування функцій та їх практичним застосуванням. 2. КОРОТКІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ 2.1. Загальний підхід до обчислення означених інтегралів Якщо для визначеної і неперервної на проміжку

функції f(x) відома первісна F(x), то означений інтеграл
можна обчислити за формулою Ньютона-Лейбніца
, (1) де F'(x) = f(x). Проте в багатьох випадках обчислити означений інтеграл за цією формулою неможливо, оскільки знайти первісну F(x) через елементарні функції, як правило, не вдається. Навіть тоді, коли її можна визначити, вона часто має досить складний і незручний для обчислень вигляд. Крім того, на практиці підінтегральна функція часто задається таблично і в такому разі аналітичні методи просто незастосовні. У цих випадках для обчислення означених інтегралів користуються чисельними методами. Чисельне інтегрування – це обчислення значення означеного інтеграла через ряд значень підінтегральної функції та її похідних. Оскільки знаходження числового значення означеного інтеграла з геометричного погляду можна тлумачити як обчислення площі криволінійної трапеції (її квадратури), то формули для наближеного обчислення означеного інтеграла називаються квадратурними. Найширше застосовуються квадратурні формули, які дають можливість наближено відшукувати значення інтеграла у вигляді лінійної комбінації кількох значень підінтегральної функції:
, (2) де
– коефіцієнти формули (дійсні числа);
– вузли формули. Якщо задано деякий клас функцій і для нього будуємо квадратурну формулу типу (2), то коефіцієнти і вузли формули не повинні залежати від вибору функції f(x) з даного класу функцій. Величина
(3) називається залишковим членом квадратурної формули (похибкою формули). 2.2. Квадратурні формули Ньютона-Котеса Квадратурні формули Ньютона-Котеса будуються шляхом заміни підінтегральної функції інтерполяційним поліномом Лагранжа з рівновіддаленими вузлами. Частковими випадками квадратурних формул Ньютона-Котеса є: формули прямокутників:
; (4)
. (5) Тут (4) – формула "лівих" прямокутників, а (5) – "правих". формула трапецій:
6) формула Сімпсона:
(7) У формулах (4) – (7): h – крок; n – кількість інтервалів розбиття; а і в – відповідно ліва і права межі інтегрування;
– значення функції в i-му вузлі інтерполяції
2.3. Формула Чебишева Формула (3) може бути приведена до вигляду:
(8) заміною змінних
. При виведенні формули Чебишева використовуються такі умови: коефіцієнти
рівні між собою; квадратурна формула (8) є точною для усіх поліномів до степеня n включно. Розміщення вузлів визначається, виходячи з цих умов. Тоді формула (8) буде мати вигляд:
. (9) Для знаходження
використаємо другу умову, згідно з якою формула (9) повинна бути точною для функції вигляду:
. (10) Після підстановки цих функцій у (9), одержимо систему рівнянь:
;
;
. Система рівнянь (11) має розв'язок при n<8 і n=9, і дозволяє знайти значення абсцис
, у формулі Чебишева (9). У довідковій літературі наводяться значення абсцис
у формулі Чебишева. 2.4. Формула Гауса Формула Гауса – це формула найвищої алгебраїчної точності. Для формули (8) найвища точність може бути досягнута для поліномів степеня (2n-1), які визначаються постійними
i
(i=1,2,...,n). Коефіцієнти
визначаються із системи рівнянь, одержаних на основі поліномів Лежандра;
– нулі полінома Лежандра
. Формула
(12)де
– нулі полінома Лежандра називаються формулою Гауса. У літературі наводяться обчислені елементи формули Гауса для
. Оцінка похибки формули Гауса з n вузлами визначається із
, (13) де
– максимальне значення 2n-ї похідної на проміжну
. ЛАБОРАТОРНЕ ЗАВДАННЯ 11 exsin(x)   -3.600000 0.012091  -3.400000 0.008528  -3.200000 0.002379  -3.000000 -0.007026  -2.800000 -0.020371  -2.600000 -0.038288  -2.400000 -0.061277  -2.200000 -0.089584  -2.000000 -0.123060  -1.800000 -0.160976  -1.600000 -0.201810  -1.400000 -0.243009  -1.200000 -0.280725  -1.000000 -0.309560  -0.800000 -0.322329  -0.600000 -0.309882  -0.400000 -0.261035  -0.200000 -0.162657  0.000000 0.000000  0.200000 0.242655  0.400000 0.580944  0.600000 1.028846  0.800000 1.596505  1.000000 2.287355  1.200000 3.094479  1.400000 3.996196  1.600000 4.950920  1.800000 5.891435  2.000000 6.718850  2.200000 7.296691  2.400000 7.445750  2.600000 6.940575  2.800000 5.508762  3.000000 2.834471  3.200000 -1.432065  3.400000 -7.657059  3.600000 -16.195467   Вибираємо 2 проміжки [-3;0] та [0;3.2]. ПРОМІЖОК [ -3;0] Метод лівих прямокутників на відрізку [-3;0] для кількості інтервалів 10,100,1000. 10 -> -0.51429 100 -> -0.52116 1000 -> -0.52114

0,133773;

0,000058;

0,000019; Метод правих прямокутників на відрізку [-3;0] для кількості інтервалів 10,100,1000. 10 -> -0.51218 100 -> -0.52095 1000 -> -0.52112

0,017174;

0,000345;

0,000019; Метод трапецій на відрізку [-3;0] для кількості інтервалів 10,100,1000. 10 -> -0.51323 100 -> -0.52105 1000 -> -0.52113

0,015159;

0,000153;

0; Метод Сімпсона на відрізку [-3;0] для кількості інтервалів 10,100,1000. 10 -> -0.52104 100 -> -0.52113 1000 -> -0.52113

0,000426;

0;

0; Метод Чебешева на відрізку [-3;0] для степенів полінома 3,5,7. 3 -> -0.53908 5 -> -0.52095 7 -> -0.52111

0,034444;

0,000345;

0,000038; Метод Гауса на відрізку [-3;0] для степенів полінома 2,4,6,8. 2 -> -0.56991 4 -> -0.52109 6 -> -0.52113 8 -> -0.52113 - точне значення

0,093604;

0,000077;

0; ПРОМІЖОК [0;3.2] Метод лівих прямокутників на відрізку [0;3.2] для кількості інтервалів 10,100,1000. 10 -> 12.029 100 -> 12.050 1000 -> 12.031

0;

0,001746;

0,000017; Метод правих прямокутників на відрізку [0;3.2] для кількості інтервалів 10,100,1000. 10 -> 11.571 100 -> 12.004 1000 -> 12.027

0,038074;

0,002078;

0,000017; Метод трапецій на відрізку [0;3.2] для кількості інтервалів 10,100,1000. 10 -> 11.800 100 -> 12.027 1000 -> 12.029

0,019037;

0,000017;

0; Метод Сімпсона на відрізку [0;3.2] для кількості інтервалів 10,100,1000. 10 -> 12.026 100 -> 12.029 1000 -> 12.029

0,000249;

0;

0; Метод Чебишева на відрізку [0;3.2] для степенів полінома 3,5,7. 3 -> 12.582 5 -> 12.024 7 -> 12.029

0,045972;

0,000416;

0; Метод Гауса на відрізку [0;3.2] для степенів полінома 2,4,6,8. 2 -> 13.532 4 -> 12.028 6 -> 12.029 8 -> 12.029 – точне значення

0,124948;

0,000083

0; Висновок На цій лабораторній роботі я ознайомився із методами чисельного інтегрування функцій та їх практичним застосуванням.