Міністерство науки і освіти України Національний університет “Львівська політехніка” кафедра прикладної математики Звіт Лабораторна робота № 4 з курсу "Чисельні методи" на тему: " Дослідження похибки інтерполяції функції многочленом Ньютона" Лабораторна робота №4 Тема. Дослідження похибки інтерполяції функції многочленом Ньютона. Мета. Оволодіти методами чисельного розв’язування нелінійних рівнянь та дослідження оцінки залишкового члена інтерполяційного многочлена, а також набути практичних навиків у їх реалізації на ЕОМ. Постановка задачі: Для функції
, заданої на рівномірній сітці в точках
на інтервалі
: знайти аналітичний вираз залишкового члена інтерполяційного многочлена; обчислити його максимальне значення і значення в точках
; побудувати інтерполяційний многочлен Ньютона через розділені різниці; обчислити похибки інтерполяції у точках
і порівняти їх із значеннями залишкового члена. Функція
, значення
4, а=0, в=2. Опис алгоритму оцінки залишкового члена інтерполяційного многочлена Проведемо дослідження похибки, яка виникає при заміні функції інтерполяційним многочленом. Нехай функція
визначена в
вузлі інтерполяції
, а
- інтерполяційний многочлен. Залишковий член (похибка) інтерполяційного многочлена має вигляд:
. Очевидно, що у вузлахінтерполяції цей залишковий член дорівнює нулю. Припустимо, що функція
має
неперервну похідну на відрізку
, тобто
. Похибку інтерполяції можна подати у вигляді
, де
і залежить від x. Звідси випливає оцінка
, де
,
. Знайдемо аналітичний вираз залишкового члена інтерполяційного многочленна та обчислимо його максимальне значення і значення в точках
за допомогою пакету прикладних програм Maple:
Побудуємо інтерполяційний многочлен Ньютона через розділені різниці та обчислимо похибки інтерполяції у точках
і порівняємо їх із значеннями залишкового члена. Наведемо текст програми, на мові С++, яка реалізує перераховані вище завдання: #include "stdafx.h" #include <stdio.h> #include <conio.h> #include <iostream> #include <fstream> #include <math.h> using namespace std; int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[]) {int i, j, n, k=0; double x[10], xx[10], F[10], in[10], FR[10], a, b, h, x1, F1[10], P; a=0; b=2; n=4; h=(b-a)/n; i=0; x1=a; cout<<"Vchidni dani:\nx f(x)\n"; while (x1<=b) { F1[i]=3*exp(0.5*x1); cout<<x1<<" "<<F1[i]<<"\n"; x[i]=x1; F[i]=F1[i]; i++; x1=a+i*h; } double sav1; FR[0]=F[0]; for(j=1; j<=n; j++) { for(i=j; i<=n; i++) FR[i]=(F[i]-F[i-1])/(x[i]-x[i-j]); for(i=j; i<=n; i++) F[i]=FR[i]; } cout<<"\n\n"; xx[0]=0.114; xx[1]=0.357; xx[2]=0.802; for(j=0; j<3; j++) { for(i=n-1, sav1=FR[n]; i>=0; i--) sav1 = sav1*(xx[j]-x[i])+FR[i]; cout<<"L("<<xx[j]<<") = "<<sav1; x1=3*exp(0.5*xx[j]); cout<<"\n f = "<<x1<<"";//Znachennja mnogochlena cout<<"\n L-f = "<<x1-sav1<<"\n\n";//Pohubka } cout<<"\n\n"; return 0; } Результат виконання:
Висновок: На цій лабораторній роботі я оволодів методами чисельного розв’язування нелінійних рівнянь та дослідження оцінки залишкового члена інтерполяційного многочлена, а також набути практичних навиків у їх реалізації на ЕОМ.