ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ. Лабораторна робота з Чисельні методи в інформатиці. Робота № 112051

Перехід до торгівельного партнера Binance

ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ

Інформація про навчальний заклад

ВУЗ:

Національний університет Львівська політехніка

Інститут:

Не вказано

Факультет:

Не вказано

Кафедра:

Кафедра САПР

Інформація про роботу

Рік:

2008

Тип роботи:

Лабораторна робота

Предмет:

Чисельні методи в інформатиці

Група:

КН-316

Завантажити

Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):

Міністерство освіти і науки України Національний університет «Львівська політехніка» кафедра САПР Лабораторна робота №5 з курсу "Чисельні методи в інформатиці" на тему: ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ТРАНСЦЕНДЕНТНИХ РІВНЯНЬ 1. МЕТА РОБОТИ Мета роботи - ознайомлення з чисельними методами розв'язку трансцендентних рівнянь та їх практичним застосуванням. 2. ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТИНА 2.1. Методи розв'язування нелінійних рівнянь Розв'язування нелінійних рівнянь і систем є не тільки важливою самостійною задачею, але і частиною інших задач обчислювальної математики, наприклад, розв'язування нелінійних диференціальних рівнянь або знаходження власних значень матриць. З ними пов'язана побудова різноманітних моделей пристроїв і систем автоматики та інформаційно-вимірювальної техніки. 2.2. Методи бісекції розв'язку трансцендентних рівнянь. 2.2.1. Метод половинного ділення. В цьому методі спочатку обчислюються значення функції в точках, розміщених через рівні інтервали на осі x. Коли і мають протилежні знаки, то знаходять та Якщо знак співпадає із знаком , то в дальшому замість використовується . Якщо ж має знак, протилежний знаку , тобто співпадає зі знаком , то на заміняється це значення. Якщо достатньо близьке до 0, то процес обчислення закінчується. Як умову припинення ітераційного процесу часто найбільш доцільно використовувати умову: (1) де - задана похибка знаходження кореня. Даний метод має малу швидкість збіжності. У порівнянні з початково знайденим інтервалом, в якому знаходиться корінь, його ширина після N ітерацій зменшується в 2N раз: (2) Похибка знайденого рішення знаходиться в межах (3) Ефективність даного методу: (4) де n - кількість обчислень функції. 2.2.2. Метод золотого перерізу Алгоритм даного методу подібний до методу половинного ділен-ня, тільки поділ відрізка здійснюється виходячи із співвідношення золотого січення: (5) Ефективність даного методу є більшою, ніж методу половинного ділення і оцінюється співвідношенням: (6) 2.3. Метод хорд В основі цього методу лежить лінійна інтерполяція по двох значеннях функції, які мають протилежні знаки. При пошуку кореня метод забезпечує більшу збіжність, ніж попередні. Структура алгоритму представлена на рис.2. Визначаються значення функції в точках, розміщених на осі x через рівні інтервали. Це здійснюється до цього часу, поки і не будуть мати різних знаків. Пряма, проведена через ці дві точки, перетинає вісь x при значенні: (7) Далі визначають і порівнюють його з і . В подальшому користуються замість того значення, з яким воно співпадає по знаку. Якщо дуже відрізняється від 0, то вся процедура повторюється спочатку. При можна вважати, що . Це справедливо при вузькому інтервалі і коли похідна змінюється плавно (менше ніж у два рази). Похибка розв'язку оцінюється по формулі: (8) де M1 і m1 - відповідно найбільше і найменше значення модуля похідної на відрізку . 2.4. Метод Ньютона (дотичних) Метод Ньютона дуже широко використовується при побудові ітераційних алгоритмів. Його популярність пояснюється тим, що, на відміну від двох попередніх методів, для визначення інтервалу, в якому знаходиться корінь, не потрібно знаходити значення функції з протилежними знаками. Замість інтерполяції (наближення) по двох значеннях функції в методі Ньютона здійснюється екстраполяція (передбачення) за допомогою дотичної до кривої в даній точці. Структура алгоритму представлена на рис. 3. В основі методу лежить розклад функції в ряд Тейлора: (9) члени, які містять h у другій і більших степенях відкидаються. Використовується співвідношення: . Допускається, що перехід від xn до xn+1 наближує значення функції до нуля. Тоді: (10) Це значення відповідає точці, в якій дотична до кривої перетинає вісь x. Після чого процедура повторюється, причому замість xn використовується xn+1. Обчислення припиняється при досягненні достатньо малого значення . Швидкість збіжності у великій мірі залежить від вдалого вибору початкової точки. Початкове наближення x0 вибирається із умови: (11) Похибка методу визначається порядком відкинутих членів при розкладі в ряд Тейлора і оцінюється як (12) де M2 - найбільше значення модуля другої похідної на відрізку . 2.5. Метод січних Один із недоліків методу Ньютона - необхідність знаходження похідної . Якщо знаходження утруднене, то можна використати деяке наближення, що складає основу методу січних. Замінивши в методі Ньютона в рівнянні (10) на: (13) Одержимо (14) Структура алгоритму має цей же самий вигляд, що і для методу Ньютона (при іншій ітераційній формулі). Метод січних представляє собою комбінацію методів інтерполяції і екстраполяції. В інтерполяцій-ній частині він еквівалентний методу хорд, а в екстраполяційній - методу Ньютона. Як і в методі Ньютона, обчислення закінчуються при досягненні необхідної точності послідовних значень x або коли близьке до 0. 2.6. Метод простої ітерації Для використання даного методу рівняння представляється у вигляді: (15) Відповідна ітераційна формула має вигляд: (16) Структура алгоритму даного методу має також такий же вигляд, що і для методу Ньютона (при іншій ітераційній формулі). Цей метод простий, але не завжди забезпечує збіжність. Тому для програми, яка використовує цей алгоритм необхідний контроль збіжності і припинення обчислень, якщо збіжність не забезпечується. Похибка методу: (17) де q - максимальне значення першої похідної функції на відрізку , якщо q<1, то ітераційний процес збігається незалежно від вибору початкового значення . Лабораторне завдання (Варіант №11). Графік функції: Точні значення х при у=0: Х1= -0.30656 Х2= 0.45880 Х3= 1.5412 Х4= 2.3066; Функція приймає значення 0 на проміжках [-0.5 , 0], [0.2 , 0.6], [1.3 , 1.6] та [2 , 2.5] 1.Проміжок [-0.5 , 0] Метод половинного ділення: EPS= .10000 X= -0.31250 Кількість ітерацій - 3 0.01937 EPS= .10000E-01 X= -0.30469 Кількість ітерацій - 6 0.00609 Метод золотого перерізу: EPS= .10000 X= -0.23609 Кількість ітерацій - 3 0.22967 EPS= .10000E-01 X= -0.30246 Кількість ітерацій - 8 0.01337 Метод Нютона: X0= -1.0000 EPS= .10000 X= -0.33123 Кількість ітерацій - 3 0.93816 EPS= .10000E-1 X=-0.30657 Кількість ітерацій - 5 0.00003 Метод хорд: EPS= .10000 X= -0.29992 Кількість ітерацій - 4 0.02165 EPS= .10000E-01 X= -0.30584 Кількість ітерацій - 6 0.00234 2.Проміжок [0.2 , 0.6] Метод половинного ділення: EPS= .10000 X= 0.50000 Кількість ітерацій - 2 0.08980 EPS= .10000E-01 X= .45625 Кількість ітерацій - 6 0.00555 Метод золотого перерізу: EPS= .10000 X= 0 .54163 Кількість ітерацій - 2 0.18053 EPS= .10000E-01 X= 0.45571 Кількість ітерацій - 7 0.00673 Метод Нютона: Х0=0.3 EPS= .10000 X= .45879 Кількість ітерацій - 2 0.00002 EPS= .10000E-01 X= .45879 Кількість ітерацій - 2 0.00002 Метод хорд: EPS= .10000 X= .45722 Кількість ітерацій - 1 0.00344 EPS= .10000E-01 X= .45722 Кількість ітерацій - 1 0.00344 3.Проміжок [1.3 , 1.6] Метод половинного ділення: EPS= .10000 X= 1.5250 Кількість ітерацій - 2 0.01051 EPS= .10000E-01 Кількість ітерацій - 5 0.00441 X= 1.5344 Метод золотого перерізу: EPS= .10000 X= 1.5562 Кількість ітерацій - 2 0.00973 EPS= .10000E-01 X= 1.5395 Кількість ітерацій - 5 0.00110 Метод Нютона: X0=1.2 EPS= .10000 X= 1.5414 Кількість ітерацій - 3 0.00013 EPS= .10000E-01 X= 1.5412 Кількість ітерацій - 4 0.00000 Метод хорд: EPS= .10000 X= 1.5352 Кількість ітерацій - 1 0.00389 EPS= .10000E-01 X= 1.5412 Кількість ітерацій - 2 0.00000 4. Проміжок [2 , 2.5] Метод половинного ділення: EPS= .10000 X= 2.3125 Кількість ітерацій - 3 0.00255 EPS= .10000E-01 X= 2.3047 Кількість ітерацій - 6 0.00082 Метод золотого перерізу: EPS= .10000 X= 2.2639 Кількість ітерацій - 3 0.01851 EPS= .10000E-01 X= 2.3024 Кількість ітерацій - 5 0.00182 Метод Нютона: X0= 2.1000 EPS= .10000 X= 2.3224 Кількість ітерацій - 3 0.00685 EPS= .10000E-01 X= 2.3066 Кількість ітерацій - 5 0.00000 Метод хорд: EPS= .10000 X= 2.2999 Кількість ітерацій - 4 0.00290 EPS= .10000E-01 X= 2.3058 Кількість ітерацій - 6 0.00034 Висновок На даній лабораторній роботі, ми ознайомились з чисельними методами розв'язку трансцендентних рівнянь та їх практичним застосуванням.

Лабораторна робота Чисельні методи в інформатиці

01.01.1970 03:01-

Коментарі

Ви не можете залишити коментар. Для цього, будь ласка, або зареєструйтесь.

Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!

Маєш корисні навчальні матеріали, які припадають пилом на твоєму комп'ютері? Розрахункові, лабораторні, практичні чи контрольні роботи — завантажуй їх прямо зараз і одразу отримуй бали на свій рахунок! Заархівуй всі файли в один .zip (до 100 МБ) або завантажуй кожен файл окремо. Внесок у спільноту – це легкий спосіб допомогти іншим та отримати додаткові можливості на сайті. Твої старі роботи можуть приносити тобі нові нагороди!

поділитись