Дослідження похибки інтерполяції функцій многочленом Ньютона. Звіт з Інші. Робота № 112055

Дослідження похибки інтерполяції функцій многочленом Ньютона

Інформація про навчальний заклад

ВУЗ:

Національний університет Львівська політехніка

Інститут:

Не вказано

Факультет:

Не вказано

Кафедра:

Не вказано

Інформація про роботу

Рік:

2008

Тип роботи:

Звіт

Предмет:

Інші

Група:

ПМ-31

Завантажити

Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ Національний Університет „Львівська Політехніка” Звіт до лабораторної роботи №4 на тему: „Дослідження похибки інтерполяції функцій многочленом Ньютона” Варіант 28. Завдання: Для функції f(x), заданій на рівномірній сітці в точках а=x0, x1, ..., xn=b на інтервалі [a,b]: знайти аналітичний вираз залишкового члена інтерполяційного многочлена; обчислити його максимальне значення і значення в точках x΄, x΄΄, x΄΄΄; побудувати інтерполяційний многочлен Ньютона через розділені різниці; обчислити похибки інтерполяції у точках і порівняти їх із значеннями залишкового члена. f(x)=1/100*sin(4x). Розв’язання: Проведемо дослідження похибки, яка виникає при заміні функції інтерполяційним многочленом. Нехай функція визначена в вузлі інтерполяції , а – інтерполяційний многочлен. Залишковий член (похибка) інтерполяційного многочлена має вигляд: . Очевидно, що у вузлах інтерполяції цей залишковий член дорівнює нулю. Припустимо, що функція має неперервну похідну на відрізку , тобто . Введемо допоміжну функцію , де , –константа. Зауважимо, що , , . Виберемо сталу з умови , де – точка, в якій оцінюється похибка. Для цього достатньо покласти . При такому виборі функція перетворюється в нуль в -x точках . На основі теореми Ролля її похідна має не менше коренів. Послідовно застосовуючи цю теорему до похідних вищого порядку функції одержимо, що має не менше коренів і.т.д., а функція має принаймні один корінь, тобто , де . Оскільки , то з умови будемо мати: . Отже, співвідношення можна записати у вигляді . (1) Покладаючи , дістанемо оцінку залишкового члена . 1. Використовуючи формулу (1), знаходимо максимальне значення і значення в точках x΄, x΄΄, x΄΄΄. 2. Будуємо таблицю розділених різниць: f(x0) f(x0;x1) f(x0;x1;x2) ..... f(x0;x1;...;xn) f(x1) f(x1;x2) f(x1;x2;x3) ..... ................................................. f(xn) f(xn-1;xn) f(xn-2;xn-1;xn). 3. Записуємо інтерполяційний многочлен Ньютона за схемою Горнера (оскільки розділені різниці вже відомі): Ln(x) = f(x0) + (x – x0)(f(x0;x1) + (x – x1)(f(x0;x1;x2) + ... + (x – xn-1)f(x0;x1;...;xn))...). 4. Обчислюємо значення многочлена в точках інтерполяції. Код програми на мові С++: #include <fstream.h> #include <math.h> const double pi=3.141528; double chlen (double x); int i, j; char m; double ss, s,s1, a [4][5]={{0.0, 0.0}, {pi/12.0, 1.0/100.0*sin(pi/3.0)}, {pi/6.0, 1.0/100.0*sin(2.0*pi/3.0)}, {pi/4.0, 0.0}}; double polinom (double Matrix [4][5], double x); double polinom (double Matrix [4][5], double x) { double roz; roz=Matrix[0][4]; for(int l=4;l>=1;l--) roz=roz*(x-Matrix[l-1][0])+Matrix[0][l]; return roz; } double chlen (double x) { return 256.0/2400.0*sin(4*x)*x*(x-pi/12)*(x-pi/6)*(x-pi/4); } void main () { cout<<"Analitychyj vyraz zalyshkovoho chlena:"<<'\n'; cout<<"R3(x)=256/2400*sin(4x)x(x-pi/12)(x-pi/6)(x-pi/4)"<<'\n'<<'\n'; //cout<<"M4=sup|256/100*sin(4x)|=256/100 "<<'\n'; s=256.0/2400.0*sin(4*pi/8)*pi/4*(pi/4-pi/12)*(pi/4-pi/6)*(pi/4-0); cout<<"Maksymalne znachennja zalyshkovoho chlena = "<<s<<'\n'<<'\n'; /*s=chlen(0.188); cout<<"R3(0.188) = "<<s<<'\n'; s=chlen(0.258); cout<<"R3(0.258) = "<<s<<'\n'; s=chlen(0.691); cout<<"R3(0.691) = "<<s<<'\n'<<'\n';*/ for (j=2;j<=4;j++) // îá÷èñëåííÿ ð³çíèöü for(i=0;i<=4-j;i++) a[i][j]=(a[i+1][j-1]-a[i][j-1])/(a[i+j-1][0]-a[i][0]); cout<<"Interpolacijnyj polinom Newtona:"<<'\n'<<"L[4](x)="<<a[0][1]; // âèâ³ä ²ÌÍ for(i = 0;i<=2;i++) cout<<"+(x-"<<a[i][0]<<")("<<a[0][i+2]; cout<<"))))."<<'\n'<<'\n'; do { cout<<"Vvedit tochku x"<<'\n'; // îá÷èñëåííÿ çíà÷åííÿ ²ÌÍ cin>>ss; // â òî÷êàõ ³íòåðïîëÿö³¿ //cout<<"Znachennja polinoma:"<<'\n'; s=polinom(a,ss); s1=chlen(ss); s=fabs(s-s1); cout<<"Pokhybka interpoljaciji:"<<'\n'; cout<<s<<'\n'; cout<<"She tochku? (y/n)"<<'\n'; cin>>m; } while (m=='y'); } Контрольний приклад: Висновок: під час лабораторної роботи я ознайомився зі способом обчислення похибки інтерполяції функцій методом побудови інтерполяційного многочлена Ньютона. Для реалізації цього методу на ПК використав побудову таблиці розділених різниць, а також схему Горнера. СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М.. Численные методы.-М.:Наука, 1987. Гаврилюк І.П., Макаров В.Л. Методи обчислень. –К.:Вища школа, 1995, ч.1, ч.2. Данилович В., Кутнів М. Чисельні методи.-Львів:Кальварія, 1998. Калиткин Н.Н. Численные методы.-М.:Наука, 1978. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. - М.:Наука, 1989. Трифонов Н.П., Пасхин Е.Н. Практикум работы на ЭВМ.-М.: Наука, 1982.

Звіт Інші

01.01.1970 03:01-

Коментарі

Ви не можете залишити коментар. Для цього, будь ласка, або зареєструйтесь.

Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!

Маєш корисні навчальні матеріали, які припадають пилом на твоєму комп'ютері? Розрахункові, лабораторні, практичні чи контрольні роботи — завантажуй їх прямо зараз і одразу отримуй бали на свій рахунок! Заархівуй всі файли в один .zip (до 100 МБ) або завантажуй кожен файл окремо. Внесок у спільноту – це легкий спосіб допомогти іншим та отримати додаткові можливості на сайті. Твої старі роботи можуть приносити тобі нові нагороди!

поділитись