Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Прикладна математика
Кафедра:
Кафедра фізики
Інформація про роботу
Рік:
2007
Тип роботи:
Методичні вказівки до лабораторної роботи
Предмет:
Чисельні методи
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ "ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА"
РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧІ ДІРІХЛЕ ДЛЯ РІВНЯННЯ ПУАССОНА МЕТОДОМ СКІНЧЕННИХ РІЗНИЦЬ
Методичні вказівки
до лабораторної роботи з курсу
"Чисельні методи математичної фізики"
для студентів базового напрямку
6.0802 "Прикладна математика"
Затверджено
на засіданні кафедри
прикладної математики
Протокол №4 від 9.11.2006
Львів – 2007
Розв’язування задачі Діріхле для рівняння Пуассона методом скінченних різниць: Методичні вказівки до лабораторної роботи з курсу "Чисельні методи математичної фізики" для студентів базового напрямку 6.0802 "Прикладна математика" / Укл.: Б.Й. Бандирський, М.В. Кутнів. – Львів: Видавництво Національного університету "Львівська політехніка", 2007. – 14 с.
Укладачі Бандирський Б.Й., канд.фіз.-мат.наук, доц.
Кутнів М.В., канд.фіз.-мат.наук, доц.
Відповідальний за випуск Костробій П.П., канд.фіз.-мат.наук, проф.
Рецензент Каленюк П.І., д-р.фіз.-мат.наук, проф.
Теоретична частина
1. Різницева апроксимація задачі Діріхле для рівняння Пуасона
Розглянемо задачу Діріхле для рівняння Пуассона: знайти неперервну в функцію , яка задовольняє рівняння
, (1)
і граничну умову
, (2)
де , а –границя області , –задані функції. Припустимо, що такі, що розв’язок задачі (1), (2) існує єдиний і є достатньо гладкою функцією.
Введемо в прямокутну сітку . Для розв’язування задачі (1), (2) розглянемо різницеву схему
(3)
(4)
де
.
Точки , в яких записується рівняння (3), належать підмножині сітки , яку називають множиною внутрішніх вузлів. Множину точок , в яких задані різницеві граничні умови (4), називають границею сітки . Зауважимо, що кутові точки не беруть участі у цій апроксимації і тому не належать ні до внутрішніх, ні до граничних.
Різницеве рівняння (3) записано на п’ятиточковому шаблоні (рис.1), а тому схему (3) часто називають схемою “хрест”.
Рис.1
Нехай – розв’язок задачі Діріхле (1), (2), а – розв’язок різницевої задачі (3), (4). Розглянемо похибку . Підставляючи в (3), (4), одержимо для різницеву задачу
,
,
де – похибка апроксимації на розв’язку рівняння (1).
Враховуючи формули
,
,
одержимо
Отже, схема (3) має другий порядок апроксимації.
Побудова різницевої схеми і дослідження її властивостей для випадку, коли є об’єднанням скінченного числа прямокутників, проводиться аналогічно.
2. Застосування ітераційних методів для розв’язування
різницевої задачі Діріхле
Визначимо оператор
, (5)
де , – простір сіткових функцій, заданих на , – простір сіткових функцій, заданих на сітці таких, що і рівних нулю на границі сітки . Позначаючи
(6)
, (7)
(8)
запишемо різницеву схему (3), (4) в операторному вигляді
. (9)
Для розв’язування системи рівнянь (9) (або (3), (4)), з оператором (5) і правою частиною (6)–(8) розглянемо двоярусні ітераційні методи, записані у канонічному вигляді
. (10)
Метод Якобі для системи (3), (4) записується у вигляді
(11)
Початкове наближення ( довільна сіткова функція, яка приймає на границі задані значення . В даному випадку метод Якобі збігається з методом простої ітерації за оптимального значення ітераційного параметра. Дійсно метод простої ітерації
для системи (3), (4) у випадку володіє найбільшою швидкість збіжності, якщо де ( найбільше та найменше власні числа оператора (5), тобто
,
.
При цьому значенні параметра метод простої ітерації має вигляд
Останні рівняння збігаються з (11).
Швидкість збіжності методу (11), як методу простої ітерації з оптимальним параметром визначається числом Число ітерацій , необхідних для досягнення заданої точності , дорівнює
При маємо так, що
Отже, метод простої ітерації вимагає ітерацій для досягнення заданої точності.
Розглянемо метод Зейделя розв’язування системи (3), (4):
Реалізація методу Зейделя зводиться до такого ітераційного процесу:
(12)
Вкажемо послідовність проведення обчислень ітераційним методом (12). Спочатку, використовуючи відомі граничні значення і , знаходять за формулою (12). Якщо відоме, то можна знайти і т.д. Отже, невідомі обчислюють у порядку зміни індексів:
Метод Зейделя збігається дещо швидше, ніж метод простої ітерації, однак число ітерацій, необхідних для досягнення заданої точності, при , як і у методі Якобі є величиною порядку .
Метод верхньої релаксації визначається рівняннями:
.
Спосіб знаходження на новій ітерації такий самий, як і у методі Зейделя. Оптимальне значення параметра знаходять за формулою (див., напр.,[5]).
,
де
.
Можна показати, що при необхідне число ітерацій дорівнює:
.
У випадку явної схеми (10) з чебишевським набором параметрів
(13)
Якщо вибрати , згідно (13), то для похибки буде справджуватися оцінка:
,
де
.
Систему (3), (4) можна розв’язати за допомогою чебишевського ітераційного методу. Обчислення доцільно організувати так: спочатку за відомими наближеннями знаходиться нев’язка
а потім обчислюються значення за формулою
,
при цьому покладемо
,
.
Кількість ітерацій, необхідних для досягнення заданої точності визначається за формулою:
.
Зокрема для , і малих маємо
.
Отже, число ітерацій , необхідних для одержання заданої точності , є величиною .
Послідовність виконання лабораторної роботи
1. Записати постановку задачі (конкретний варіант).
На площині дано прямокутник (варіанти з 1 по 10, див. додаток 1), на якому необхідно знайти розв’язок задачі
,
,
.
На площині дано область складену з 3-х прямокутників (рис. 2):
Рис. 2
; ; (варіанти з 10 по 20, див. додаток 2), на якій необхідно знайти розв’язок задачі
,
,
,
.
Використовуючи точний розв’язок задачі знайти функції .
2. Для варіантів 1-10 за допомогою заміни незалежних змінних звести, одержану задачу до вигляду (1), (2) (тобто до задачі Діріхле у прямокутнику ).
3. Записати постановку відповідної різницевої задачі Діріхле.
4. Провести аналіз порядку апроксимації задачі різницевою схемою. Розробити алгоритм роз’язку задачі (3), (4) ітераційними методами Якобі та Зейделя.
5. Оцінити число вузлів сітки за обома напрямками, необхідне для роз’язування задачі з заданою точністю .
6. Розв’язати на ЕОМ задану задачу. Порівняти наближений розв’язок з точним у різницевій нормі . Порівняти зроблену кількість ітерацій обома ітераційними методами методами.
Зміст звіту
1. Постановка задачі (конкретний варіант) та її зведення до вигляду (1), (2).
2. Постановка різницевої задачі.
3. Ітераційні методи розв’язування сіткових рівнянь.
4. Оцінка числа вузлів сітки за обома напрямками, необхідних для розв’язування задачі з заданою точністю.
5. Результати розв’язування задачі: величина похибки та кількість ітерацій зроблених кожним методом.
6. Текст програми.
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. – М.:Наука, 1987.
Гаврилюк І.П., Макаров В.Л. Методи обчислень. – К.:Вища школа, 1995, ч.1, ч.2.
Данилович В., Кутнів М. Чисельні методи. – Львів: Кальварія, 1998.
Калиткин Н.Н. Численные методы. – М.:Наука, 1978.
Самарский А.А. Введение в численные методы. – М.:Наука, 1982.
Самарский А.А. Теория разностных схем.– М.:Наука, 1989.
Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. – М.:Наука, 1986.
Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. – М.: Наука, 1978.
Варіанти завдань
Додаток 1
№
1
0;1;0;1
2
-1;1;-1;1
3
-1;1;-1;1
4
1;2;2;3
5
0;2;0;1
6
0;1;0;2
7
0;2;0;1
8
0;3;0;1
9
1;2;1;2
10
-1;0;0;1
Додаток 2
№
11
2;2;1;1
12
3;3;1;1
13
2;2;1;1
14
3;3;1;1
15
2;2;1,5;1
16
3;3;2;2
17
3;3;1;2
18
4;4;1;2
19
1;1;0,5;0,5
20
1;1;0,5;0,5
НАВЧАЛЬНЕ ВИДАННЯ
РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧІ ДІРІХЛЕ ДЛЯ РІВНЯННЯ ПУАССОНА
МЕТОДОМ СКІНЧЕННИХ РІЗНИЦЬ
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
до лабораторної роботи з курсу
"Чисельні методи математичної фізики"
для студентів базового напрямку
6.08.02 "Прикладна математика"
Укладачі Бандирський Богдан Йосипович
Кутнів Мирослав Володимрович
Редактор
Компютерне верстання
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора