Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Інші
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Комп'ютерні науки
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
1999
Тип роботи:
Інші
Предмет:
Системи автоматизованого проектування ЗВТ
Група:
К
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ
ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ "ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА"
МЕТОДИ ЧИСЕЛЬНОГО ІНТЕГРУВАННЯ ФУНКЦІЙ
І Н С Т Р У К Ц І Я
до лабораторної роботи N 3
з курсу " Чисельні методи в інформатиці "
для студентів базового напрямку 6.0804
"Комп'ютерні науки"
Затверджено
на засіданні кафедри
систем автоматизованого
проектування
Протокол N 14 від 03.04.97 р.
Львів 1999
МЕТОДИ ЧИСЕЛЬНОГО ІНТЕГРУВАННЯ ФУНКЦІЙ. Інструкція до лабораторної роботи N 3 з дисципліни " Чисельні методи в інформатиці " для студентів базового напрямку 6.0804 "Комп'ютерні науки" / Укл. Мотика І.І., Каркульовський В.І., Чура І.І. – Вид-во Державного університету "Львівська політехніка", 1999. – 8 с.
Укладачі Мотика І.І., канд. техн. наук, доц.
Каркульовський В.І., канд. техн.наук, доц.
Чура І.І., канд. техн. наук, доц.
Відповідальний за випуск Ткаченко С.П., канд. техн. наук, доц.
Рецензенти Федасюк Д.В., канд. техн. наук, доц.
Близнюк М.Б., канд. техн. наук, доц.
МЕТА РОБОТИ – ознайомлення із методами чисельного інтегру вання функцій та їх практичним застосуванням.
2. КОРОТКІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ
2.1. Загальний підхід до обчислення означених інтегралів
Якщо для визначеної і неперервної на проміжку функції f(x) ві дома первісна F(x), то означений інтеграл можна обчислити за фор мулою Ньютона-Лейбніца
, (1)
де F'(x) = f(x).
Проте в багатьох випадках обчислити означений інтеграл за цією фор мулою неможливо, оскільки знайти первісну F(x) через елементарні функції, як правило, не вдається. Навіть тоді, коли її можна визначити, вона часто має досить складний і незручний для обчислень вигляд. Крім того, на практиці підінтегральна функція часто задається таблично і в такому разі аналітичні методи просто незастосовні. У цих випадках для обчислення означених інте гралів користуються чисельними методами.
Чисельне інтегрування – це обчислення значення означеного інтеграла через ряд значень підінтегральної функції та її похідних. Оскільки знаходжен ня числового значення означеного інтеграла з геометричного погляду можна тлумачити як обчислення площі криволінійної трапеції (її квадратури), то формули для наближеного обчислення означеного інтеграла називаються квадратурними.
Найширше застосовуються квадратурні формули, які дають можли вість наближено відшукувати значення інтеграла у вигляді лінійної комбінації кількох значень підінтегральної функції:
, (2)
де – коефіцієнти формули (дійсні числа); – вузли формули.
Якщо задано деякий клас функцій і для нього будуємо квадратурну формулу типу (2), то коефіцієнти і вузли формули не повинні залежати від вибору функції f(x) з даного класу функцій.
Величина
(3)
називається залишковим членом квадратурної формули (похибкою формули).
2.2. Квадратурні формули Ньютона-Котеса
Квадратурні формули Ньютона-Котеса будуються шляхом заміни під інтегральної функції інтерполяційним поліномом Лагранжа з рівновіддалени ми вузлами. Частковими випадками квадратурних формул Ньютона-Котеса є:
формули прямокутників:
; (4)
. (5)
Тут (4) – формула "лівих" прямокутників, а (5) – "правих".
формула трапецій:
6)
формула Сімпсона:
(7)
У формулах (4) – (7): h – крок; n – кількість інтервалів розбиття; а і в – відповідно ліва і права межі інтегрування; – значення функції в i-му вузлі інтерполяції
2.3. Формула Чебишева
Формула (3) може бути приведена до вигляду:
(8)
заміною змінних
.
При виведенні формули Чебишева використовуються такі умови: кое фіцієнти рівні між собою; квадратурна формула (8) є точною для усіх поліномів до степеня n включно. Розміщення вузлів визначається, виходячи з цих умов.
Тоді формула (8) буде мати вигляд:
. (9)
Для знаходження використаємо другу умову, згідно з якою формула (9) повинна бути точною для функції вигляду:
. (10)
Після підстановки цих функцій у (9), одержимо систему рівнянь:
;
;
. . . . . . . . . . . . . . (11)
.
Система рівнянь (11) має розв'язок при n<8 і n=9, і дозволяє знайти значення абсцис , у формулі Чебишева (9). У довідковій літературі наводя ться значення абсцис у формулі Чебишева.
2.4. Формула Гауса
Формула Гауса – це формула найвищої алгебраїчної точності. Для формули (8) найвища точність може бути досягнута для поліномів степеня (2n-1), які визначаються постійними i (i=1,2,...,n).
Коефіцієнти визначаються із системи рівнянь, одержаних на основі поліномів Лежандра; – нулі полінома Лежандра .
Формула
(12)
де – нулі полінома Лежандра називаються формулою Гауса.
У літературі наводяться обчислені елементи формули Гауса для . Оцінка похибки формули Гауса з n вузлами визначається із
, (13)
де – максимальне значення 2n-ї похідної на проміжну .
3. КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ
1. Що таке чисельне інтегрування?
2. Як будується квадратурна формула для обчислення означених інте гралів?
3. Як оцінюється похибка квадратурної формули?
4. Як обчислюється означений інтеграл за формулою прямокутників?
5. Як обчислюється означений інтеграл за формулою трапецій?
6. Яка основа побудови формули Сімпсона?
7. Які методи входять у формули Ньютона-Котеса?
8. Як обчислити визначений інтеграл за методом Чебишева?
9. Як обчислити визначений інтеграл за методом Гауса?
10. Яка із квадратурних формул забезпечує найвищу точність?
4. ЛАБОРАТОРНЕ ЗАВДАННЯ
1. Ознайомитись із методами обчислення визначених інтегралів за квадратурними формулами
2. Одержати індивідуальне завдання.
3. Знайти значення визначеного інтеграла за квадратурними формула ми, формулами Чебишева, Гауса і Сімпсона з автоматичним вибором кроку інтегрування. Оцінити похибки результатів.
4. Порівняти ефективність і точність даних методів.
5. ЗМІСТ ЗВІТУ
1. Мета роботи.
2. Порівняльна характеристика методів обчислення означених інтегра лів за квадратурними формулами.
3. Результати обчислень за кожним із методів.
4. Аналіз результатів, висновки.
6. Л І Т Е Р А Т У Р А
1. Бахвалов И.С., Жидков И.П., Кобельков Г.М. Численные методы. –М.: Наука, 1987. – 600 с.
2. Бабенко К.И. Основы численного анализа. – М.: Наука, 1986. – 744 с.
3. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. – М.: Наука, 1989. –432 с.
4. Турчак Л.И. Основы численных методов. – М.: Наука, 1987. – 320 с.
5. Боглаев Ю.П. Вычислительная математика и программирование. – М.: Высш. шк., 1990. – 544 с.
6. Краскевич В.Е., Зеленский К.Х., Гречко В.И. Численные методы в инженерных исследованиях. – К.: Вища шк., 1986. – 263 с.
7. Волков Е.А. Численные методы. – М.: Наука, 1982. – 256 с.
8. Жалдак М.І., Рамський Ю.С. Чисельні методи математики. – К.: Рад.шк., 1984. – 206 с.
9. Данилина Н.И., Дубровская Н.С., Кваша О.П. и др. Численные мето ды. – М.: Высш.шк., 1976. – 368 с.
НАВЧАЛЬНЕ ВИДАННЯ
МЕТОДИ ЧИСЕЛЬНОГО ІНТЕГРУВАННЯ ФУНКЦІЙ
І Н С Т Р У К Ц І Я
до лабораторної роботи № 3
з курсу “ Чисельні методи в інформатиці”
для базового напрямку 6.0804
“Комп’ютерні науки”
Укладачі Мотика Ігор Іванович
Каркульовський Володимир Іванович
Чура Ігор Іванович
Редактор Грабовська О.О.
Видавництво Державного університету "Львівська політехніка"
Львів, вул. Ф.Колесси, 2
Формат 60х84 1/16. Папір офсетний.
Умовн.-друк.арк. 0,47. Умовн.фарбо-відб. 0,47.
Тираж 15 прим. Зам.363.
Тиражування здійснене на кафедрі САПР.
Відповідальний Каркульовський Володимир Іванович.
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора