Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Кафедра автоматизованих систем управління
Інформація про роботу
Рік:
2010
Тип роботи:
Звіт про виконання лабораторної роботи
Предмет:
Інформаційні технології
Група:
КН-31
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
Міністерство освіти і науки України
Національний університет “Львівська політехніка”
Інститут комп’ютерних наук та інформаційних технологій
Кафедра автоматизованих систем управління
ЗВІТ
ПРО ВИКОНАННЯ ЛАБОРАТОРНОЇ РОБОТИ №
«Н А З В А»
Лабораторна робота №1
Абсолютна та відносна похибка
Мета роботи: вивчити і засвоїти поняття абсолютної й відносної похибки та методи їх оцінювання.
Порядок роботи:
Створити проект для виконання індивідуального завдання.
Оформити звіт для захисту лабораторної роботи за зразком:
назва роботи;
мета роботи;
порядок роботи;
короткі теоретичні відомості;
алгоритм побудови розв’язку задачі;
тексти відповідних модулів проекту;
аналіз отриманих результатів та висновки.
Короткі теоретичні відомості
Зв'язок між кількістю точних десяткових знаків і відносною похибкою наближеного числа дається у наведеній далі теоремі.
Теорема. Якщо додатне наближене число а має п точних десяткових знаків, то відносна похибка δ цього числа задовольняє умову
δ ≤ , (1)
де ат – перша значуща цифра числа а .
Доведення. Нехай а = αm ·10 m +αm - 1 ·10m - 1 + ... + αm – n +1 ·10m – n + 1
є наближеним значенням точного числа А з n точними знаками. Тоді, згідно з означенням числа точних знаків наближеного числа, одержуємо
∆= | А – а |≤ · 10m – n + 1.
Звідси
- · 10m – n + 1 ≤ А – а ≤ · 10m – n + 1 .
Тому
А ≥ а - · 10m – n + 1 ≥ αm ·10 m - · 10m – n + 1
або
А ≥ · 10m. (2)
Права частина отриманої нерівності досягає найменшого значення при п = 1, тому
А ≥ · 10m≥ · 10m (2аm - 1).
Оскільки 2аm - 1 = ат + (ат – 1 ) ≥ аm , то
А ≥ аm · 10m.
Тепер, згідно з означенням,
δ = ,
або
δ ≤ .
Наслідок 1. За граничну відносну похибку наближеного додатного числа а з п точними десятковими знаками можна прийняти
δa = (3)
де аm - перша значуща цифра числа а .
Наслідок 2. За граничну відносну похибку наближеного додатного числа а з п точними десятковими знаками при п ≥ 2 практично можна прийняти
δa = .
Справді, якщо п>2, то числом у нерівності (4.1) можна знехтувати. Тоді
А ≥ · 10m ·2аm = аm · 10m.
Тому
δ = .
Означення. Вважатимемо, що n перших значущих цифр (десяткових знаків) наближеного числа а є точними,, якщо абсолютна похибка цього числа не перевищує половини одиниці розряду, котрий виражається його n-ною значущою цифрою (рахуючи зліва направо), тобто
Приклад 1. Яка гранична відносна похибка наближеного числа а = 3,14 , що замінює точне число А = π?
Оскільки п = 3 і ат = 3 , то на підставі наслідку 2
δa =% .
Приклад 2. Зі скількома точними десятковими знаками треба взяти , щоб відносна похибка була не більшою за 0,1% ?
Оскільки ат = 4, δ ≤ 0,001, то на підставі наслідку 1 має виконуватися нерівність:
Звідси 10n – 1 ≥ 250 або п ≥ 4 .
Для визначення кількості точних знаків наближеного числа а, якщо відома його відносна похибка δ, можемо скористатися наближеною формулою
δ = (4)
де ∆ - абсолютна похибка наближеного числа а . Із цієї формули одержуємо, що ∆ = δ |a|. Маючи ∆, на підставі означення легко знайти кількість точних десяткових знаків наближеного числа а .
Приклад 3. Число а = 7654 має відносну похибку δ = 0,01. Скільки в ньому точних цифр?
Оскільки
∆ = δ a = 76,54 < · 103,
то число а має лише одну точну цифру.
§ 5. Похибки арифметичних операцій
1. Похибки суми.
Теорема 1. Абсолютна похибка алгебраїчної суми декількох наближених чисел не перевищує суми абсолютних похибок цих чисел.
Доведення. Нехай x1, x2, …, хп – задані наближені числа. Розгляне мо їх алгебраїчну суму
и = ± х1 ± х2 ± ... ± хп .
Тоді похибка цієї алгебраїчної суми Дм буде складатися з алгебраїчної суми похибок доданків, тобто
∆и = ± ∆х1 ±∆ х2 ± ... ±∆ хп .
Звідси
|∆и| ≤ |∆х1| + |∆х2| + ... +|∆хп| . (5)
Наслідок. За граничну абсолютну похибку алгебраїчної суми декількох наближених чисел можна прийняти суму граничних абсолютних похибок цих чисел, тобто
∆и = ∆х1 +∆ х2 + ... +∆ хп .
Теорема 2. Гранична відносна похибка суми декількох наближених чисел одного й того ж знака не перевищує найбільшу з граничних відносних похибок цих чисел.
Доведення. Нехай
и = + х1 + х2 + ... + хп ,
де для визначеності вважатимемо, що xi > 0 (i = 1, 2,..., п ). Позначимо
через Аi (і = 1, 2,..., п ) точні значення доданків xi , а через А – їх суму, тобто А = А1 + + А2 + ... + Ап . Тоді
δu=
Оскільки , то = Аі . Тому
.
Нехай
max = .
1 ≤ i ≤ n
Тоді
тобто = max
1 ≤ i ≤ n
2. Похибки різниці. Розглянемо різницю двох наближених чисел х1 та х2:
и = х1-х2 .
Тоді, на підставі наслідку з теореми 1,
∆и = ∆х1 +∆ х2 , δu=, (6)
де А – точне значення різниці х1-х2. 3 останньої формули випливає, що для близьких чисел х1 та х2 гранична відносна похибка буде досить велика. Тому в обчислювальних алгоритмах бажано уникати віднімання близьких чисел.
Зауваження. При подальшому розгляді похибок арифметичних операцій, а також при розгляді похибок функцій (§ 6) припускатимемо, що похибки значно менші за абсолютною величиною від самих наближених величин, тож ними можна знехтувати в сумах, котрі містять одночасно наближену величину і її похибку як доданки; і завжди можна обмежитися членами, лінійними відносно похибок, нехтуючи членами більш високого порядку. Це означає, що наступні питання, пов'язані з похибками, розглядатимемо дещо грубо, проте елементарно. Адже строгий підхід під час розгляду цих питань не дає бажаних наочних результатів.
3. Похибки добутку. Нехай
Аі=хі+∆хі (і = 1,2,...,n),
де для простоти вважатимемо, що хі > 0 (і -1, 2,..., п ), А = А1 А2 … Аn , u = х1х2… хn . Тоді
А = (х1 + ∆ х1 ) (х2 + ∆ х2) ... (хп + ∆хп) =
= х1х2 … хn + х2х3 … хn ∆ х1 + х1 х3… хn ∆ х2 + ... +
+ х1х2 … хn-1 + ∆хп + ... + ∆x1∆x2…∆xn .
Враховуючи зауваження, можемо прийняти, що
А = u +x1 x2 … хп + ∆х1+ х1 х3 … хп + ∆х2 +…+ x1 x2 … хn-1 + ∆хп .
Звідси
| ∆u | = | А – u | ≤ x2x3 … xn | ∆x1| + х1 х3… xn| ∆x2| +…+
+ x1 x2 … хn-1 + ∆хп . (2)
Зокрема, якщо п = 2 , то
| ∆u | ≤ x2| ∆x1| + x1| ∆x2| .
За граничну абсолютну похибку добутку можна взяти
∆u = x2x3 … xn ∆x1+ х1 х3… xn ∆x2 +…+ x1 x2 … хn-1 + ∆хп .
Розділивши нерівність (5.1) на u, одержимо
Враховуючи зауваження, замінюємо величину на відносну
похибку множника хi , а – на відносну похибку
добутку . Отримаємо таку нерівність:
δ ≤ δ1 + δ2 + … δn . (7)
Тоді за граничну відносну похибку добутку можемо прийняти
.
4. Похибки частки. Нехай A1 = х1 + ∆ х1, A2 = х2 + ∆ х2 , де для простоти будемо вважати, що x1 > 0, x2 > 0,, . Тоді
i
.
Звідси
,
aбo
.
Розділивши нерівність на u, одержимо
Врахувавши зауваження, замінимо на відносну похибку
діленого, - на відносну похибку дільника, - на відносну похибку частки. Отримаємо
. (8)
За граничну відносну похибку частки можна прийняти
.
5. Похибки степеня. Нехай А = (х + ∆ х)т , и = хт , де т – натуральне число, х > 0. Використовуючи похибки добутку, одержуємо
|∆u| < mxm - 1|∆x|, δ ≤ mδ1,
де δ – відносна похибка степеня; δ1 – відносна похибка аргументу х. Тому за граничні абсолютну та відносну похибки степеня можемо прийняти
∆u= mxm - 1∆x, δu= mδx . (9)
Із наведених похибок арифметичних операцій випливає, що операції додавання та віднімання (при великій різниці між числами) не погіршують точності результату порівняно з точністю алгебраїчних доданків, а операції множення, ділення і піднесення до степеня суттєво погіршують точність результату.
Завдання
Оцінити абсолютну та відносну похибку при обчисленні величини F за умов:
a) заданих точних значеннях величин аргументів x1 , x2 , x3;
B) заданих значеннях величин аргументів x1 , x2 , x3 з похибкою (= N*10-3, де N – номер варіантy
ВАРІАНТ 1
F = 2x12 + 3x22 + x32 + 4x1x2 – 3x3 + cos(x2 - x1)
ВАРІАНТ 2
F = 5x12 + 3x22 + 2x32 - 4x2x3 - 2x1 – cos (x2 * x3);
ВАРІАНТ 3
F = 3x12 + 2x22 + 4x32 + 3x1x2 - 2x2 +sin (x1 – x3 *x2);
ВАРІАНТ 4
F = 4x12 + 5x22 + 3x32 - 4x1x2 - 2x1 - sin (x1 / x2);
ВАРІАНТ 5
F = 6x12 + 4x22 + 5x32 + 5x1x3 - 3x2 + ln (3* x3 – x2);
ВАРІАНТ 6
F = 3x12 + 2x22 + 4x32 + 5x1x2 – x3 +exp (8* x2 – x1);
ВАРІАНТ 7
F = 5x12 + 4x22 + 3x32 - 5x2x3 - 3x1 – sec (18* x2 – x3);
ВАРІАНТ 8
F = 4x12 + 3x22 + 5x32 + 4x1x3 - 3x2 + 11cosec (x1 – x3);
ВАРІАНТ 9
F = 5x12 + 6x22 + 4x32 - 5x1x2 - 3x1 +ln (21 x1 * x2);
ВАРІАНТ 10
F = 7x12 + 5x22 + 6x32 + 6x1x3 - 4x2 – 5 exp (x3 * x2);
ВАРІАНТ 11
F = 4x12 + 5x22 + 5x32 + 2x1x2 - 3x3 + 14 tg (x2 – x1);
ВАРІАНТ 12
F = 8x12 + 6x22 + 4x32 - 6x2x3 - 4x1 + 20 ctg (x2 – x3);
ВАРІАНТ 13
F = 6x12 + 5x22 + 7x32 + 6x1x2 - 5x2 - 21 x1 * x2 * x3;
ВАРІАНТ 14
F = 7x12 + 7x22 + 5x32 - 6x1x2 - 4x1 + 24 sqrt (x1 – x2);
ВАРІАНТ 15
F = 8x12 + 6x22 + 7x32 + 7x1x3 - 5x2 + 8 sqrt (x3 * x2);
ВАРІАНТ 16
F = 7x12 + 3x22 + 2x32 + 4x1x2 - 4x3 + 16 (x2 – x1)1/3;
ВАРІАНТ 17
F = 9x12 + 6x22 + 5x32 - 7x2x3 - 5x1 - 24 (x2 * x3)1/3 ;
ВАРІАНТ 18
F = 7x12 + 6x22 + 8x32 + 7x1x3 - 6x2 + 23 arccos (x1 – x3);
ВАРІАНТ 19
F = 10x12 + 8x22 + 6x32 - 7x1x2 - 5x1 + 20 arcsin (x1 – x2);
ВАРІАНТ 20
F = 11x12 + 9x22 + 9x32 + 9x1x3 - 7x2 – 10 arctg (x3 – x2).
Контрольні запитання:
Назвіть 3 типи похибок за джерелами походження.
Назвіть види похибок за розмірністю.
Дайте означення абсолютної похибки.
Дайте означення відносної похибки.
Позиційна система числення – це …
Що таке значуща цифра:
Правила заокруглення.
Нехай А=3,14159… - точне число. Скільки точних цифр у наближеному а=3,142 ?
Оцінка похибки обчислення функції.
Оцінка похибки обчислення арифметичних операцій.
Середньоквадратична похибка (СКП) при вимірюванні – це …
СКП арифметичних операцій і функцій.
Рекомендована література:
Цегелик Г.Г. Чисельні методи: Підручник. – Львів: Видавничий центр ЛНУ ім. І. Франка, 2004. – 408 с.
Коссак О., Тумашова О., Коссак О. Методи наближених обчислень: Навч. посіб. – Львів: Бак, 2003. – 168 с.
Анджейчак І.А., Федю Є.М., Анохін В.Є. і ін. Практикум з обчислювальної математики. Основні числові методи. Частина І. – Навч. посіб. Львів: Вид-во ДУ «Львівська політехніка», 2000. – 100 с.
Дудикевич А.Т., Левицькa С.М., Шахно С.М. Практична реалізація методів розв’язування нелінійних рівнянь і систем: Навч.-метод. посібн. – Львів: ВЦ ЛНУ ім.. І.Франка, 2007. – 78 с.
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора