МЕТОДИ ЧИСЕЛЬНОГО РОЗВЯЗУВАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ. Звіт з Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем . Робота № 120617

МЕТОДИ ЧИСЕЛЬНОГО РОЗВЯЗУВАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ

Інформація про навчальний заклад

ВУЗ:

Національний університет Львівська політехніка

Інститут:

Не вказано

Факультет:

Не вказано

Кафедра:

Захист інформації

Інформація про роботу

Рік:

2015

Тип роботи:

Звіт

Предмет:

Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем

Група:

МЕ

Завантажити

Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ “ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА” ІКТА, кафедра “Захист інформації” ЗВІТ З ЛАБОРАТОРНОЇ РОБОТИ № 6 З КУРСУ “ КОМП’ЮТЕРНІ МЕТОДИ ДОСЛІДЖЕННЯ ІНФОРМАЦІЙНИХ ПРОЦЕСІВ ТА СИСТЕМ ” НА ТЕМУ: “ МЕТОДИ ЧИСЕЛЬНОГО РОЗВЯЗУВАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ“ Варіант 19 Львів – 2007 Мета роботи – ознайомлення з методами чисельного інтегрування диференційних рівнянь КОРОТКІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ Диференціальним називається рівняння, в яке входять похідні невідомої функції. Приклад: (1) (2) Диференціальне рівняння (ДР), що містить лише одну незалежну змінну і похідні за нею, називають звичайними (ДР). Це, наприклад, рівняння (1). ДР, що містить декілька незалежних змінних і похідні за ними, називають рівняння в частинних похідних Порядком ДР називається найвищий порядок похідної (або диференціалу), який входить в рівняння. Звичайне ДР (ЗДР) -го порядку в загальному випадку має незалежну змінну, невідому функцію та її похідні (або диференціал) до -го порядку включно: (3) - незалежна змінна; - невідома функція (залежна змінна); - похідні цієї функції. Диференціальне рівняння -го порядку, розв’язане відносно старшої похідної, може бути записано у вигляді: (4) Щоб розв’язати ЗДР, необхідно мати значення залежної змінної та (або) її похідних при деяких значення незалежної змінної. Якщо ці значення задані при одному значенні незалежної змінної - така задача називається задачею з початковими умовами або задачею Коші. Якщо ці значення задаються при або більше значеннях незалежної змінної - задача називається крайовою. Значення залежної змінної та її похідних називаються ще додатковими умовами, котрі в задачі Коші називаються початковими, а в крайовій задачі - граничними. Задача Коші Задача Коші формулюється так: Нехай задане ДР (5) з початковими умовами . Потрібно знайти функцію , що задовольняє дане рівняння, та початкову умову. Для одержання чисельний розв’язку цієї задачі спочатку обчислюють значення похідної, а потім задаючи малий приріст , переходять до нової точки Положення нової точки визначають за нахилом кривої, обчисленому з допомогою ДР. Таким чином, графік чисельного розв’язку являє собою послідовність коротких прямолінійних відрізків, якими апроксимується істинна крива . Сам чисельний метод визначає порядок дій при переході від даної точки кривої до наступної. Існують дві групи методів розв’язування задачі Коші. Однокрокові методи. В них для знаходження наступної точки на кривій потрібна інформація лише про попередній крок. (Однокроковими є метод Ейлера та методи Руте-Кутта.) Багатокрокові (або методи прогнозування та коригування). Для знаходження наступної точки кривої вимагається інформація більш ніж про одну з попередніх точок. До них належать методи Адамса, Мілна, Хеммінга. Це чисельні методи розв’язування ДР. Вони дають розв’язок у вигляді таблиці значень. 2.ЗАВДАННЯ ДО ЛАБОРАТОРНОЇ РОБОТИ Розв’язати чисельним методом звичайне диференційне рівняння. БЛОК-СХЕМА ПРОГРАМИ ТАБЛИЦЯ ІДЕНТИФІКАТОРІВ КОНСТАНТ, ЗМІННИХ, ФУНКЦІЙ, ВИКОРИСТАНИХ У ПРОГРАМІ, ТА ЇХ ПОЯСНЕННЯ: func() Функція вичислення правих частин рівняння ys[] Перша похідна t Незалежний аргумент Adams() Функція, яка реалізує метод Адамса f() Функція вичислення правих частин системи *y Масив розмірності n значень залежних змінних *ys Масив розмірності n значень похідних tn Початок інтервалу інтегрування tk Кінець інтервалу інтегрування m Початкове число розбивань відрізка інтегрування eps Відносна похибка інтегрування *k1,*k2,*k3,*k4 Змінні для методу Рунге-Кутто *q0,*q1,*q2,*q3 Значеннязмінних для методу Адамса *ya Тимчасовий масив *y0,*y1,*y2,*y3 Значення функцій для метода Адамса h Крок інтегрування xi Значення незалежної змінної eps2 Для оцінки похибки dq2,dq1,dq0,d2q1,d2q0,d3q0 Похідні flag Приймає значення 0, коли йдеперший підрахунок i,j Індекси y[0] Початкові умови xs,xe Початок інтегрування Текст програми мовою С #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <math.h> #define z 1 void func (double *y, double *ys, double t) { ys[0]=y[0]+y[0]*t*t*t; } void Adams ( void f (double *y, double *ys, double x), double *y, int n, double tn, double tk, int m, double eps) { double *k1, *k2, *k3, *k4, *q0, *q1, *q2, *q3, *ya, *y0, *y1, *y2, *y3, h, xi, eps2, dq2, dq1, dq0, d2q1, d2q0, d3q0; int i, j, flag = 0; if (m < 4) m = 4; if (tn >= tk) { printf ("\nNe pravilny argumenty\n"); abort (); } if ((k1 =(double*)malloc ((4 + 4 + 4 + 1) * n * sizeof (double))) == 0) { printf ("\nPomilka rozpodilennia pamiaty\n"); abort (); } k2 = k1 + n; k3 = k2 + n; k4 = k3 + n; y0 = k4 + n; y1 = y0 + n; y2 = y1 + n; y3 = y2 + n; ya = y3 + n; q0 = ya + n; q1 = q0 + n; q2 = q1 + n; q3 = q2 + n; h = (tk - tn) / m; eps = fabs (eps); start: xi = tn; for (j = 0; j < n; j++) y0[j] = y[j]; f (y0, q0, xi); for (j = 0; j < n; j++) q0[j] *= h; xi += h; for (i = 0; i < 3; i++) { f (&y0[i * n], k1, xi); for (j = 0; j < n; j++) { k1[j] *= h; ya[j] = y0[i*n+j] + k1[j] / 2.; } f (ya, k2, xi + (h / 2.)); for (j = 0; j < n; j++) { k2[j] *= h; ya[j] = y0[i*n+j] + k2[j] / 2.; } f (ya, k3, xi + h / 2.); for (j = 0; j < n; j++) { k3[j] *= h; ya[j] = y0[i*n+j] + k3[j]; } f (ya, k4, xi + h); for (j = 0; j < n; j++) k4[j] *= h; for (j = 0; j < n; j++) y0[(i+1)*n+j] = y0[i*n+j] + (k1[j] + 2. * k2[j] + 2 * k3[j] + k4[j]) / 6.; f (&y0[(i+1)*n], &q0[(i+1)*n], xi); for (j = 0; j < n; j++) q0[((i+1)*n)+j] *= h; xi += h; } again: for (j = 0; j < n; j++) { dq2 = q3[j] - q2[j]; dq1 = q2[j] - q1[j]; dq0 = q1[j] - q0[j]; d2q1 = dq2 - dq1; d2q0 = dq1 - dq0; d3q0 = d2q1 - d2q0; ya[j] = y3[j] + (q3[j] + (dq2 / 2.) + (5. * d2q1 / 12.) + (3. * d3q0 / 8.)); y0[j] = y1[j]; y1[j] = y2[j]; y2[j] = y3[j]; y3[j] = ya[j]; q0[j] = q1[j]; q1[j] = q2[j]; q2[j] = q3[j]; } f (y3, q3, xi); for (j = 0; j < n; j++) q3[j] *= h; xi += h; if (xi < tk) goto again; if (flag == 0) flag = 1; else { for (j = 0; j < n; j++) { eps2 = fabs (((y3[j] - y2[j]) / y2[j])); if (eps2 > eps) break; } if (j == n) { for (j = 0; j < n; j++) y[j] = y3[j]; free (k1); return; } } h /= 2.; goto start; } int main (void) { double y[z], xs, xe; int i; y[0] = 1; xs = .0; xe = .1; printf ("x = %5.3lg, y(%4.2lg) = %10.3lg\n", xs, xs, y[0]); for (i = 0; i < 20; i++) { Adams (func, y, 1, xs, xe, 10, 1.e-3); xs += 0.1; xe += 0.1; printf ("x=%4.2lg, y(%4.2lf)=%4.4lf \n", xs, xs, y[0]); } return 0; } Результат роботи програми: x= 0.1, y(0.10)=1.1045 x= 0.2, y(0.20)=1.2211 x= 0.3, y(0.30)=1.3517 x= 0.4, y(0.40)=1.5005 x= 0.5, y(0.50)=1.6736 x= 0.6, y(0.60)=1.8809 x= 0.7, y(0.70)=2.1370 x= 0.8, y(0.80)=2.4670 x= 0.9, y(0.90)=2.8947 x= 1, y(1.00)=3.4841 x= 1.1, y(1.10)=4.3243 x= 1.2, y(1.20)=5.5657 x= 1.3, y(1.30)=7.4801 x= 1.4, y(1.40)=10.5702 x= 1.5, y(1.50)=15.8406 x= 1.6, y(1.60)=25.3951 x= 1.7, y(1.70)=43.9590 x= 1.8, y(1.80)=83.0657 x= 1.9, y(1.90)=172.9941 x= 2, y(2.00)=401.5101 Висновок: на цій лабораторній роботі я ознайомився з методами чисельного інтегрування диференційних рівнянь

Звіт Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем

2015

Коментарі

Ви не можете залишити коментар. Для цього, будь ласка, або зареєструйтесь.

Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!

поділитись