МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ “ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА” ІКТА, кафедра “Захист інформації” ЗВІТ З ЛАБОРАТОРНОЇ РОБОТИ № 6 З КУРСУ “ КОМП’ЮТЕРНІ МЕТОДИ ДОСЛІДЖЕННЯ ІНФОРМАЦІЙНИХ ПРОЦЕСІВ ТА СИСТЕМ ” НА ТЕМУ: “ МЕТОДИ ЧИСЕЛЬНОГО РОЗВЯЗУВАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ“ Варіант 19 Львів – 2007 Мета роботи – ознайомлення з методами чисельного інтегрування диференційних рівнянь КОРОТКІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ Диференціальним називається рівняння, в яке входять похідні невідомої функції. Приклад:

(1)
(2) Диференціальне рівняння (ДР), що містить лише одну незалежну змінну і похідні за нею, називають звичайними (ДР). Це, наприклад, рівняння (1). ДР, що містить декілька незалежних змінних і похідні за ними, називають рівняння в частинних похідних Порядком ДР називається найвищий порядок похідної (або диференціалу), який входить в рівняння. Звичайне ДР (ЗДР)
-го порядку в загальному випадку має незалежну змінну, невідому функцію та її похідні (або диференціал) до
-го порядку включно:
(3)
- незалежна змінна;
- невідома функція (залежна змінна);
- похідні цієї функції. Диференціальне рівняння
-го порядку, розв’язане відносно старшої похідної, може бути записано у вигляді:
(4) Щоб розв’язати ЗДР, необхідно мати значення залежної змінної та (або) її похідних при деяких значення незалежної змінної. Якщо ці значення задані при одному значенні незалежної змінної - така задача називається задачею з початковими умовами або задачею Коші. Якщо ці значення задаються при
або більше значеннях незалежної змінної - задача називається крайовою. Значення залежної змінної та її похідних називаються ще додатковими умовами, котрі в задачі Коші називаються початковими, а в крайовій задачі - граничними. Задача Коші Задача Коші формулюється так: Нехай задане ДР
(5) з початковими умовами
. Потрібно знайти функцію
, що задовольняє дане рівняння, та початкову умову. Для одержання чисельний розв’язку цієї задачі спочатку обчислюють значення похідної, а потім задаючи малий приріст
, переходять до нової точки
Положення нової точки визначають за нахилом кривої, обчисленому з допомогою ДР. Таким чином, графік чисельного розв’язку являє собою послідовність коротких прямолінійних відрізків, якими апроксимується істинна крива
. Сам чисельний метод визначає порядок дій при переході від даної точки кривої до наступної. Існують дві групи методів розв’язування задачі Коші. Однокрокові методи. В них для знаходження наступної точки на кривій
потрібна інформація лише про попередній крок. (Однокроковими є метод Ейлера та методи Руте-Кутта.) Багатокрокові (або методи прогнозування та коригування). Для знаходження наступної точки кривої
вимагається інформація більш ніж про одну з попередніх точок. До них належать методи Адамса, Мілна, Хеммінга. Це чисельні методи розв’язування ДР. Вони дають розв’язок у вигляді таблиці значень. 2.ЗАВДАННЯ ДО ЛАБОРАТОРНОЇ РОБОТИ Розв’язати чисельним методом звичайне диференційне рівняння.

  БЛОК-СХЕМА ПРОГРАМИ

 ТАБЛИЦЯ ІДЕНТИФІКАТОРІВ КОНСТАНТ, ЗМІННИХ, ФУНКЦІЙ, ВИКОРИСТАНИХ У ПРОГРАМІ, ТА ЇХ ПОЯСНЕННЯ: func() Функція вичислення правих частин рівняння  ys[] Перша похідна  t Незалежний аргумент  Adams() Функція, яка реалізує метод Адамса  f() Функція вичислення правих частин системи  *y Масив розмірності n значень залежних змінних  *ys Масив розмірності n значень похідних  tn Початок інтервалу інтегрування  tk Кінець інтервалу інтегрування  m Початкове число розбивань відрізка інтегрування  eps Відносна похибка інтегрування  *k1,*k2,*k3,*k4 Змінні для методу Рунге-Кутто  *q0,*q1,*q2,*q3 Значеннязмінних для методу Адамса  *ya Тимчасовий масив  *y0,*y1,*y2,*y3 Значення функцій для метода Адамса  h Крок інтегрування  xi Значення незалежної змінної  eps2 Для оцінки похибки  dq2,dq1,dq0,d2q1,d2q0,d3q0 Похідні  flag Приймає значення 0, коли йдеперший підрахунок  i,j Індекси  y[0] Початкові умови  xs,xe Початок інтегрування   Текст програми мовою С #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <math.h> #define z 1 void func (double *y, double *ys, double t) { ys[0]=y[0]+y[0]*t*t*t; } void Adams ( void f (double *y, double *ys, double x), double *y, int n, double tn, double tk, int m, double eps) { double *k1, *k2, *k3, *k4, *q0, *q1, *q2, *q3, *ya, *y0, *y1, *y2, *y3, h, xi, eps2, dq2, dq1, dq0, d2q1, d2q0, d3q0; int i, j, flag = 0; if (m < 4) m = 4; if (tn >= tk) { printf ("\nNe pravilny argumenty\n"); abort (); } if ((k1 =(double*)malloc ((4 + 4 + 4 + 1) * n * sizeof (double))) == 0) { printf ("\nPomilka rozpodilennia pamiaty\n"); abort (); } k2 = k1 + n; k3 = k2 + n; k4 = k3 + n; y0 = k4 + n; y1 = y0 + n; y2 = y1 + n; y3 = y2 + n; ya = y3 + n; q0 = ya + n; q1 = q0 + n; q2 = q1 + n; q3 = q2 + n; h = (tk - tn) / m; eps = fabs (eps); start: xi = tn; for (j = 0; j < n; j++) y0[j] = y[j]; f (y0, q0, xi); for (j = 0; j < n; j++) q0[j] *= h; xi += h; for (i = 0; i < 3; i++) { f (&y0[i * n], k1, xi); for (j = 0; j < n; j++) { k1[j] *= h; ya[j] = y0[i*n+j] + k1[j] / 2.; } f (ya, k2, xi + (h / 2.)); for (j = 0; j < n; j++) { k2[j] *= h; ya[j] = y0[i*n+j] + k2[j] / 2.; } f (ya, k3, xi + h / 2.); for (j = 0; j < n; j++) { k3[j] *= h; ya[j] = y0[i*n+j] + k3[j]; } f (ya, k4, xi + h); for (j = 0; j < n; j++) k4[j] *= h; for (j = 0; j < n; j++) y0[(i+1)*n+j] = y0[i*n+j] + (k1[j] + 2. * k2[j] + 2 * k3[j] + k4[j]) / 6.; f (&y0[(i+1)*n], &q0[(i+1)*n], xi); for (j = 0; j < n; j++) q0[((i+1)*n)+j] *= h; xi += h; } again: for (j = 0; j < n; j++) { dq2 = q3[j] - q2[j]; dq1 = q2[j] - q1[j]; dq0 = q1[j] - q0[j]; d2q1 = dq2 - dq1; d2q0 = dq1 - dq0; d3q0 = d2q1 - d2q0; ya[j] = y3[j] + (q3[j] + (dq2 / 2.) + (5. * d2q1 / 12.) + (3. * d3q0 / 8.)); y0[j] = y1[j]; y1[j] = y2[j]; y2[j] = y3[j]; y3[j] = ya[j]; q0[j] = q1[j]; q1[j] = q2[j]; q2[j] = q3[j]; } f (y3, q3, xi); for (j = 0; j < n; j++) q3[j] *= h; xi += h; if (xi < tk) goto again; if (flag == 0) flag = 1; else { for (j = 0; j < n; j++) { eps2 = fabs (((y3[j] - y2[j]) / y2[j])); if (eps2 > eps) break; } if (j == n) { for (j = 0; j < n; j++) y[j] = y3[j]; free (k1); return; } } h /= 2.; goto start; } int main (void) { double y[z], xs, xe; int i; y[0] = 1; xs = .0; xe = .1; printf ("x = %5.3lg, y(%4.2lg) = %10.3lg\n", xs, xs, y[0]); for (i = 0; i < 20; i++) { Adams (func, y, 1, xs, xe, 10, 1.e-3); xs += 0.1; xe += 0.1; printf ("x=%4.2lg, y(%4.2lf)=%4.4lf \n", xs, xs, y[0]); } return 0; } Результат роботи програми: x= 0.1, y(0.10)=1.1045 x= 0.2, y(0.20)=1.2211 x= 0.3, y(0.30)=1.3517 x= 0.4, y(0.40)=1.5005 x= 0.5, y(0.50)=1.6736 x= 0.6, y(0.60)=1.8809 x= 0.7, y(0.70)=2.1370 x= 0.8, y(0.80)=2.4670 x= 0.9, y(0.90)=2.8947 x= 1, y(1.00)=3.4841 x= 1.1, y(1.10)=4.3243 x= 1.2, y(1.20)=5.5657 x= 1.3, y(1.30)=7.4801 x= 1.4, y(1.40)=10.5702 x= 1.5, y(1.50)=15.8406 x= 1.6, y(1.60)=25.3951 x= 1.7, y(1.70)=43.9590 x= 1.8, y(1.80)=83.0657 x= 1.9, y(1.90)=172.9941 x= 2, y(2.00)=401.5101 Висновок: на цій лабораторній роботі я ознайомився з методами чисельного інтегрування диференційних рівнянь