МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ «ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА»
Звіт про виконання лабораторної роботи №4 з курсу: ”Алгоритмічні основи криптографії ” на тему: ”Методи розвязування систем лінійних диференціальних рівнянь” Мета роботи: вивчити основні чисельні методи розвязування систем лінійних диференціальних рівнянь. Теоретичні відомості Розвязати систему диференціальних рівнянь першого порядку
чисельним методом означає для заданої послідовності аргументів
та числа
, не знаходячи аналітично виразу функції-розвязків
, знайти такі значення
, щоб
, де і=1,.....,n. Отже, чисельні методи дозволяють отримати таблицю значень функцій
для заданої послідовності аргументів (аргументи змінюються з кроком інтегрування h). Знаходження розвязку системи при початкових умовах
називаютьзадачею Коші. Ця задача має єдиний розвязок, який залежить від початкових умов, якщо праві частини неперервні і виконується умова Ліпшиця:
де L-константа Ліпшиця. Зауважимо, що довільне диференціальне n-го порядку
можна завжди звести до системи n дифернціальних рівнянь першого порядку, шляхом заміни
Позначимо
Складемо систему диференціальних рівнянь для функцій
. Маємо
Отже, для функцій
одержимо таку систему диференціальних рівнянь:
Для вдосконаленого методу Ейлера знаходять нахил інтегральної кривої в точці x
і в точці x
+h, а потім за середнім нахилом на цілому кроці h визначають приріст функції:
Для наближеної оцінки похибки методів Ейлера зручно скористатися так званим "подвійним перерахунком", а саме : знаходять значення
з кроком h, а потім визначають
завдяки подвійному перерахунку з кроком h/2. Різниця між
та
буде похибкою методу. Завдання Диференціальне рівняння:
Початкові умови:
Проміжок інтегрування:
Похибка: 0,001 Крок:h=0.05 Блок – схема алгоритму зі зміним кроком



Текст програми зі сталим кроком Текст програми зі зміним кроком Висновок: під час виконання даної лабораторної роботи ми навчились використовувати модифікований метод Ейлера для розв’язування диференціальних рівнянь. Ми побачили, як змінює результат точність, і у програмі зі сталим кроком як впливає на результат величина кроку.