Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Кафедра автоматизованих систем управління
Інформація про роботу
Рік:
2009
Тип роботи:
Лабораторна робота
Предмет:
Інформаційні технології
Група:
КН
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
Міністерство освіти і науки України
Національний університет «Львівська політехніка»
Інститут комп’ютерних наук та інформаційних технологій
Кафедра автоматизованих систем управління
Звіт
до лабораторної роботи №2
Ряд Фур’є
ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №2
Тема: Ряд Фур’є.
Мета: Вивчити спектри найпростіших сигналів.
Теоретичні відомості:
В ряд Фур’є можуть бути розкладені періодичні сигнали. При цьому вони представляються у вигляді суми гармонічних функцій або комплексних експонент з частотами, що утворюють арифметичну прогресію. Для того щоб такий розклад існував, фрагмент сигналу довжиною в один період повинен задовольняти умови Дирихлє:
Не повинно бути розривів другого роду (з відгалуженнями функцій, що уходять в нескінченність);
Число розривів першого роду (скачків) повинно бути скінченним;
Число екстремумів повинно бути скінченним (в якості приклада функції, яка на останньому інтервалі має нескінченне число екстремумів, можна привести sin(1/x) в околі нуля).
В залежності від конкретної форми базисних функцій розрізняють декілька форм запису ряду Фур’є.
Синусно-косинусна форма:
В цьому варіанті ряд Фур’є має наступний вигляд:
(2.1)
Тут - кругова частота, що відповідає періоду повторення сигналу рівному T. Частоти, що входять до формули і кратні круговій частоті, називаються гармоніки та нумеруються в залежності від індексу k; частота називається k - ою гармонікою сигналу. Коефіцієнти ряду та розраховуються за формулами:
,
.
Константа розраховується за загальною формулою для . Заради цієї загальності і введена трохи дивна на перший погляд форма запису постійного доданку (з діленням на два). Сам же доданок представляє собою середнє значення сигналу на періоді:
.
Зауваження: Межі інтегрування не обов’язково повинні бути такими, як в наведених вище формулах (від до ). Інтегрування може виконуватися за будь-яким інтервалом довжиною Т – результат від цього не зміниться. Конкретні межі вибираються для зручності обчислення; наприклад, може здатися зручніше виконати інтегрування від 0 до Т чи від –Т до 0.
Якщо є парною функцією, то всі будуть рівними нулю і в формулі ряду Фур’є будуть присутні тільки косинусні складові. Якщо ж є непарною функцією, нулю будуть дорівнювати, навпаки, косинусні коефіцієнти і в формулі залишаться тільки синусні складові.
Дійсна форма:
Деяка незручність синусно-косинусної форми ряду Фур’є полягає в тому, що для кожного значення індексу додавання (тобто для кожної гармоніки з частотою ) в формулах фігурують два доданки – синус і косинус. Скориставшись формулами тригонометричних перетворень, суму цих двох доданків можна трансформувати в косинус тієї ж частоти з іншою амплітудою та деякою початковою фазою:
(2.2)
Якщо є парною функцією фази можуть приймати тільки значення 0 та , а якщо - функція непарна, то можливі значення для фази рівні .
Комплексна форма:
Дана форма представлення ряду Фур’є найбільш часто використовується в радіотехніці. Вона одержується з дійсної форми представлення косинуса у вигляді напівсуми комплексних експонент (таке представлення витікає з формули Ейлера :
.
Застосувавши дане перетворення до дійсної форми ряду Фур’є, отримаємо суми комплексних експонент з додатними та від’ємними показниками:
.
А тепер будемо трактувати експоненти зі знаком «мінус» в показнику як члени ряду з від’ємними номерами. В рамках цього ж загального підходу постійна складова стане членом ряду з нульовим номером. В результаті отримаємо комплексну форму запису ряду Фур’є:
(2.3)
Комплексні коефіцієнти ряду пов’язані з амплітудами і фазами , що фігурують в дійсній формі запису ряду Фур’є (2.2), наступними неважкими співвідношеннями:
,
, .
Неважко виглядають і формули зв’язку з коефіцієнтами та синусно-косинусної форми ряду Фур’є (2.1):
,
, .
Звідси зразу ж слідує формула безпосереднього розрахунку коефіцієнтів ряду Фур’є в комплексній формі:
(2.4)
Якщо є парною функцією, коефіцієнти ряду будуть тільки дійсними, а якщо - функція непарна, коефіцієнти ряду виявляться тільки уявними.
Сукупність амплітуд гармонік ряду Фур’є часто називають амплітудним спектром, а сукупність їх фаз – фазовим спектром. Ці поняття не слід плутати з амплітудно- та фазочастотними характеристиками, які відносяться не до сигналів, а до кіл.
Якщо аналізує мий сигнал є дійсним, то його амплітудний та фазовий спектри володіють симетрією:
, ,
Завдання на лабораторну роботу:
1. Аппроксимувати стандартний прямокутний сигнал з частотою, що дорівнює номеру бригади, рядом Фур’є з кількістю гармонік:
а) 2 гармоніки;
б) 4 гармоніки;
в) 8 гармонік.
Примітка: першу гармоніку вибрати за частотою, що співпадає з частотою сигналу.
Записати амплітуди гармонік з точністю до двох значущих цифр. Результати апроксимації одного сигналу різною кількістю гармонік представити на одному графіку, для чого використовувати сервісні підпрограми. Повторити даний дослід з тим самим початковим сигналом, але зміщеним за фазою на 90 градусів. Проаналізувати розподілення амплітуд парних та непарних гармонік.
2. Проробити ті самі перетворення зі стандартним трикутним сигналом.
3. Проробити ті самі перетворення зі стандартним синусоїдальним сигналом
4. В протоколі привести отримані графіки та математичні залежності.
5. Зробити висновки по проробленій роботі.
Приклад виконання роботи:
Приклад апроксимації прямокутного сигналу з частотою 2 Гц за допомогою ряда Фур’є з кількістю гармонік 2, 4, 8. Отриманий графік:
Приклад апроксимації синусоїдального сигналу з частотою 2 Гц за допомогою ряда Фур’є з кількістю гармонік 2, 4, 8. Отриманий графік:
Висновок
На лабораторній роботі я вивчив спектри найпростіших сигналів.
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора