Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Інші
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2008
Тип роботи:
Методичні вказівки
Предмет:
Обробка сигналів
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
Міністерство освіти і науки України
Національний технічний університет
«Львівська політехніка»
Методичні вказівки
До виконання лабораторного практикуму
З дисципліни «Цифрова обробка сигналів»
Львів НУ „ЛП” 2008
Міністерство освіти і науки України
Національний технічний університет
«Львівська політехніка»
Методичні вказівки
до виконання лабораторного практикуму
з дисципліни «Цифрова обробка сигналів»
для студентів спеціальності
„Автоматизовані системи управління”
Затверджено
на засіданні кафедри
автоматизованих систем управління
Протокол №__ від __.__.2008
Львів НУ „ЛП” 2008
Методичні вказівки до виконання лабораторного практикуму з дисципліни «Цифрова обробка сигналів» для студентів спеціальності „Системи управління та автоматики”. Укл.: Ю.М.Рашкевич, А.М.Ковальчук. – Львів: НУ „ЛП”, 2008 – 44с.
Укладачі: Ю.М.Рашкевич, професор
А.М.Ковальчук, ст. викладач
Відповідальний редактор Шпак З.Я., канд. техн. наук , доцент
Рецензент: Л.С.Сікора, док. техн. наук , професор
ВИМОГИ ДО ЗВІТІВ
Звіт з лабораторної роботи повинен містити:
титульна сторінка з зазначеною темою лабораторної роботи
мета
хід роботи
виконання
результати
висновки
-3-
ПЕРЕЛІК ЛАБОРАТОРНИХ РОБІТ:
Інтерполяція та апроксимація даних
Ряд Фур’є
Дискретне перетворення Фур’є (ДПФ) та швидке перетворення Фур’є (ШПФ)
Не рекурсивні цифрові фільтри (НРЦФ)
Рекурсивні цифрові фільтри (РЦФ)
-4-
ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №1
Тема: Інтерполяція та апроксимація даних.
Мета: Навчитися представляти запропоновані сигнали за допомогою стандартних функцій.
Теоретичні відомості:
Апроксимація даних:
Нехай величина y є функцією аргументу x. Це значить, що будь-якому значенню x з області визначення поставлено у відповідність значення y. Разом з тим на практиці часто невідомий дійсний зв’язок між y та x, тобто неможливо записати цей зв’язок у вигляді y=f(x). В деяких випадках навіть при невідомій залежності y=f(x) він настільки громіздкий(наприклад, містить важко обчислювані вирази, складні інтеграли і т.д.), що його використання у практичних розрахунках утруднено.
Найбільш розповсюдженим та практично важливим випадком, коли вигляд зв’язку між параметрами x та y невідомий, є задання цього зв’язку у вигляді деякої таблиці {xi yi}. Це значить, що дискретній множині значень аргументу {xi} відповідає множина значень функції {yi} (i=0,1…n). Ці значення - або результати розрахунків, або експериментальні дані. На практиці нам можуть знадобитися значення величини y також і в інших точках, що відрізняються від вузлів xi. Однак отримати ці значення можні лише шляхом дуже важких розрахунків або проведенням дорогих експериментів.
Таким чином, з точки зору економії часу та засобів ми приходимо до необхідності використання існуючих табличних даних для наближеного обчислення шуканого параметра y при будь-якому значенні(з деякої області), що визначає параметр x, оскільки точний зв’язок y=f(x) невідомий.
Цій меті і слугує задача про наближення(апроксимації) функцій: дану функцію f(x) необхідно наближено замінити(апроксимувати) деякою функцією g(x) так, щоб відхилення(в деякому сенсі) g(x) від f(x) в заданій області було мінімальним. Функція g(x) при цьому називається апроксимуючий.
Для практики суттєво важливий випадок апроксимації функції багаточленом:
g(x)=a0+a1x+a2x2+…+amxm (1.1)
При цьому коефіцієнти aj будуть підбиратися так, щоб досягти найменшого відхилення багаточлена від даної функції.
Якщо наближення будується на заданій множині точок {xi}, то апроксимація називається точковою. До неї відносяться інтерполювання, середньоквадратичне наближення таі інше. При побудові наближення на неперервній множині точок(наприклад, на проміжку [a,b] апроксимація називається неперервною або інтегральною).
Точкова апроксимація:
Одним з основних типів точкової апроксимації є інтерполювання. Воно полягає у наступному: для даної функції y=f(x) будуємо багаточлен (1.1), що
-5-
приймає в заданих точках xi ті самі значення yi, що і функція f(x), тобто g(xi)=yi, i=0,1,…n.
При цьому припускається, що серед значень xi немає однакових, тобто xi(xk при цьому i(k. Точки xi називаються вузлами інтерполяції, а багаточлен g(x) - інтерполяційним багаточленом.
Рис. 1.1
Таким чином, близькість інтерполяційного багаточлена до заданої функції полягає в тому, що їх значення співпадають на заданій схемі точок(рис.1.1, суцільна лінія).
Максимальний ступінь інтерполяційного багаточлена m=n; в цьому випадку говорять про глобальну інтерполяцію.
При великій кількості вузлів інтерполяції отримаємо високий ступінь багаточлена (1.1) у випадку глобальної інтерполяції, тобто коли необхідно мати один інтерполяційний багаточлен для всього проміжку виміру аргументу. Крім того, табличні дані могли бути отримані шляхом вимірів та містити похибки. Побудова апроксимовуваного багаточлена за умови обов’язкового проходження його графіка через ці експериментальні точки значило б старанне повторення припущених при вимірах похибок. Вихід з цього положення може бути знайдено шляхом вибору такого багаточлена, графік якого проходить близько від даних точок(рис.1.1, пунктирна лінія).
Одним з таких видів є середньоквадратичне наближення функції за допомогою багаточлена (1.1). При цьому m ( n; випадок m = n відповідає інтерполяції. На практиці стараються підібрати апроксимуючий багаточлен якомога меншого
ступеня(як правило, m=1, 2, 3).
Мірою відхилення багаточлена g(x) від заданої функції f(x) на множині точок (xi,yi) (i=0,1,…,n) при середньоквадратичному наближенні є величина S, що дорівнює сумі квадратів різниці між значеннями багаточлена і функції в даних
-6-
точках:
Для побудови апроксимуючого багаточлена необхідно підібрати коефіцієнти a0, a1,…,am так, щоб величина S була найменшою. В цьому і полягає метод найменших квадратів.
Інтерполяція, екстраполяція. Постановка задачі:
Припустимо, що задано різних точок площини:
(1.2)
Необхідно знайти функцію , значення якої при даних значеннях абсциси в точності дорівнюють відповідним ординатам заданих точок:
Тобто необхідно знайти лінію, що описується рівнянням і проходить через дану точку(рис.1.2).
Рис.1.2
-7-
Потрібно розрізняти два випадки:
Інтерполяцію — відтворення проміжних значень функції на проміжку за рядом відомих її значень;
Екстраполяцію — коли значення , що не увійшло у дослідження, лежить поза проміжком .
Очевидно, інтерполяція більш надійна, ніж екстраполяція.
Взагалі кажучи, існує нескінченне число ліній, що проходять через задану точку. Вимагаємо, щоб шукана лінія була найпростішою, тобто значення функції, що задає цю лінію, повинні знаходитися за допомогою найпростіших операцій(додавання, множення). Цій вимозі відповідають багаточлени(поліноми), тобто вирази виду:
(1.3)
Знаючи чисельні значення коефіцієнтів багаточлена, ми можемо знайти його ординату при будь-якому значенні змінної . В кінці кінців, з двох багаточленів домовимося вважати найпростішим той, ступінь якого нижче.
Отже, приходимо до задачі про поліноміальну інтерполяцію: нехай дано різних чисел і відповідних їм чисел , необхідно знайти багаточлен найменшого
можливого ступеня, що задовольняє умовам:
Інтерполяційний багаточлен Лагранжа для довільних вузлів:
Для рішення запропонованої задачі зафіксуємо одну ординату , а інші будемо вважати рівними нулю(рис.1.3), тобто заданим значенням абсцис ставляться у відповідність значення ординат
З властивостей багаточленів слідує, що багаточлен, який перетворюється в нуль в різних точках, тобто має різних коренів, повинен ділитися на кожну з різниць:
і отже, також і на добуток цих різниць, тобто його ступінь не може бути нижче .
-8-
В такому випадку багаточлен повинен мати вигляд:
(1.4)
Рис.1.3
З умови знаходимо значення const:
,
таким чином знаходимо
(1.5)
В отриманому виразі ніякої особливої переваги немає, ми можемо приписати цю особливу роль будь-якому , тобто якщо абсцисам поставити у відповідність значення , що вказані в будь-якій із наступних рядків:
то вираз для багаточлена, що приймає при відповідних значеннях абсцис численні значення, що виписані в одному із рядків, буде аналогічний розглянутому, тобто
(1.6)
Загальне рішення є суперпозицією(сумою) часних рішень (1.6)
-9-
(1.7)
Це і є інтерполяційний багаточлен Лагранжа. За наборами вихідних пар (1.2) формула (1.7) дозволяє достатньо просто скласти «зовнішній вигляд» багаточлена.
Використовуючи позначення
,(1.8)
формулі Лагранжа можна придати більш стиснутий вигляд. Продиференціюємо по
при маємо:
.(1.9)
Формула Лагранжа з урахуванням (1.8) и (1.9) приймає вигляд:
або
(1.10)
В розглянутому випадку припускалося, що точки розміщені на проміжку довільно. Розглянемо формулу Лагранжа, для рівновіддалених значень абсцис.
Інтерполяційний багаточлен Лагранжа для рівновіддалених вузлів:
Нехай на проміжку задана система рівновіддалених вузлів якими проміжок ділиться на рівних частин
-10-
де
В цьому випадку інтерполяційний багаточлен Лагранжа будується на рівновіддалених вузлах та має більш зручний вигляд.
Позначимо , де . Звідки:
..................................................
Тобто в загальному випадку:
(1.11)
Використовуючи (1.11) та прийняте позначення отримаємо:
(1.12)
Враховуючи, що знайдемо:
(1.13)
Помітимо, що в (1.13) рівно рядків(-ий рядок відсутній); причому чисельні значення перших рядків додатні, а інші — від’ємні. Використовуючи (1.13), отримаємо:
тобто
(1.14)
-11-
З урахуванням (1.12) та (1.14) формула Лагранжа для рівновіддалених вузлів приймає вигляд:
(1.15)
Інтерполяційний багаточлен Ньютона для рівновіддалених вузлів
На практиці часто зустрічається випадок, коли інтерполяційна функція підбирається для таблиць з рівновіддаленими значеннями аргументу Розглянемо метод побудови інтерполюючої функції, що базується на обчисленні кінцевих різниць.
Кінцеві різниці:
Назвемо кінцевими різницями різниці між значеннями функції в сусідніх вузлах інтерполяції:
де
Отримані кінцеві різниці будемо називати різницями першого порядку. З різниць першого порядку отримаємо різниці другого порядку:
де
Повторюючи процедуру, отримаємо кінцеві різниці третього порядку:
-12-
Для кінцевих різниць -го порядку:
В результаті отримаємо таблицю кінцевих різниць:
Використовуючи поняття кінцевих різниць виведемо інтерполяційну формулу Ньютона для рівновіддалених вузлів
Інтерполяційна формула Ньютона
Поліном -ого ступеня(що має коренів)
перепишемо у вигляді
де — вузли інтерполяції.
Так як поліном вибирається таким чином, щоб — значення заданої функції співпадали з — значеннями інтерполюючої функції у вузлах, то, вважаючи знайдемо
-13-
1) Вважаючи знайдемо
2) Вважаючи знайдемо
звідки
3) Вважаючи знайдемо
звідки і т.д.
k-1) В загальному випадку і
звідки
Підставивши обчислювальні значення у вираз для багаточлена, отримаємо
(1.16)
Отриманий вираз називається інтерполяційною формулою Ньютона для рівновіддалених вузлів.
Завдання на лабораторну роботу:
1. Стандартний синусоїдальний сигнал з частотою, що дорівнює номеру бригади, аппроксимувати за допомогою:
а) Лінійних поліномів 1, 3, 5, 7 ступенів;
б) Дробно-раціональних функцій 1-го порядку;
в) Дробно-раціональних функцій 2-го порядку.
2. Проробити ті самі перетворення зі стандартним прямокутним сигналом.
3. Проробити ті самі перетворення зі стандартним трикутним сигналом.
4. В протоколі привести отримані графіки та аналітичні залежності.
-14-
5. Зробити висновки по проробленій роботі.
Приклад виконання роботи:
Приклад апроксимації прямокутного сигналу з частотою 1 Гц за допомогою лінійних поліномів 1,3,5,7 ступенів. Отриманий графік:
Контрольні запитання:
Якій меті слугує задача про наближення(апроксимації) функцій?
Поясніть зміст точкової апроксимації.
Поясніть терміни „інтерполяція” та „екстраполяція”.
Інтерполяційний багаточлен Лагранжа для довільних вузлів.
Запишіть формулу Лагранжа для рівновіддалених вузлів.
Інтерполяційна формула Ньютона.
ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №2
Тема: Ряд Фур’є.
Мета: Вивчити спектри найпростіших сигналів.
Теоретичні відомості:
В ряд Фур’є можуть бути розкладені періодичні сигнали. При цьому вони представляються у вигляді суми гармонічних функцій або комплексних експонент з частотами, що утворюють арифметичну прогресію. Для того щоб такий розклад існував, фрагмент сигналу довжиною в один період повинен
-15-
задовольняти умови Дирихлє:
Не повинно бути розривів другого роду (з відгалуженнями функцій, що уходять в нескінченність);
Число розривів першого роду (скачків) повинно бути скінченним;
Число екстремумів повинно бути скінченним (в якості приклада функції, яка на останньому інтервалі має нескінченне число екстремумів, можна привести sin(1/x) в околі нуля).
В залежності від конкретної форми базисних функцій розрізняють декілька форм запису ряду Фур’є.
Синусно-косинусна форма:
В цьому варіанті ряд Фур’є має наступний вигляд:
(2.1)
Тут - кругова частота, що відповідає періоду повторення сигналу рівному T. Частоти, що входять до формули і кратні круговій частоті, називаються гармоніки та нумеруються в залежності від індексу k; частота називається k - ою гармонікою сигналу. Коефіцієнти ряду та розраховуються за формулами:
,
.
Константа розраховується за загальною формулою для . Заради цієї загальності і введена трохи дивна на перший погляд форма запису постійного доданку (з діленням на два). Сам же доданок представляє собою середнє значення сигналу на періоді:
.
Зауваження: Межі інтегрування не обов’язково повинні бути такими, як в наведених вище формулах (від до ). Інтегрування може виконуватися за будь-яким інтервалом довжиною Т – результат від цього не зміниться. Конкретні межі вибираються для зручності обчислення; наприклад, може здатися зручніше виконати інтегрування від 0 до Т чи від –Т до 0.
Якщо є парною функцією, то всі будуть рівними нулю і в формулі
-16-
ряду Фур’є будуть присутні тільки косинусні складові. Якщо ж є непарною функцією, нулю будуть дорівнювати, навпаки, косинусні коефіцієнти і в формулі залишаться тільки синусні складові.
Дійсна форма:
Деяка незручність синусно-косинусної форми ряду Фур’є полягає в тому, що для кожного значення індексу додавання (тобто для кожної гармоніки з частотою ) в формулах фігурують два доданки – синус і косинус. Скориставшись формулами тригонометричних перетворень, суму цих двох доданків можна трансформувати в косинус тієї ж частоти з іншою амплітудою та деякою початковою фазою:
(2.2)
Якщо є парною функцією фази можуть приймати тільки значення 0 та , а якщо - функція непарна, то можливі значення для фази рівні .
Комплексна форма:
Дана форма представлення ряду Фур’є найбільш часто використовується в радіотехніці. Вона одержується з дійсної форми представлення косинуса у вигляді напівсуми комплексних експонент (таке представлення витікає з формули Ейлера :
.
Застосувавши дане перетворення до дійсної форми ряду Фур’є, отримаємо суми комплексних експонент з додатними та від’ємними показниками:
.
А тепер будемо трактувати експоненти зі знаком «мінус» в показнику як члени ряду з від’ємними номерами. В рамках цього ж загального підходу постійна складова стане членом ряду з нульовим номером. В результаті отримаємо комплексну форму запису ряду Фур’є:
(2.3)
Комплексні коефіцієнти ряду пов’язані з амплітудами і фазами , що фігурують в дійсній формі запису ряду Фур’є (2.2), наступними неважкими співвідношеннями:
-17-
,
, .
Неважко виглядають і формули зв’язку з коефіцієнтами та синусно-косинусної форми ряду Фур’є (2.1):
,
, .
Звідси зразу ж слідує формула безпосереднього розрахунку коефіцієнтів ряду Фур’є в комплексній формі:
(2.4)
Якщо є парною функцією, коефіцієнти ряду будуть тільки дійсними, а якщо - функція непарна, коефіцієнти ряду виявляться тільки уявними.
Сукупність амплітуд гармонік ряду Фур’є часто називають амплітудним спектром, а сукупність їх фаз – фазовим спектром. Ці поняття не слід плутати з амплітудно- та фазочастотними характеристиками, які відносяться не до сигналів, а до кіл.
Якщо аналізує мий сигнал є дійсним, то його амплітудний та фазовий спектри володіють симетрією:
, ,
Завдання на лабораторну роботу:
1. Аппроксимувати стандартний прямокутний сигнал з частотою, що дорівнює номеру бригади, рядом Фур’є з кількістю гармонік:
а) 2 гармоніки;
б) 4 гармоніки;
в) 8 гармонік.
Примітка: першу гармоніку вибрати за частотою, що співпадає з частотою сигналу.
Записати амплітуди гармонік з точністю до двох значущих цифр. Результати апроксимації одного сигналу різною кількістю гармонік представити на одному графіку, для чого використовувати сервісні підпрограми. Повторити даний дослід з тим самим початковим сигналом, але зміщеним за фазою на 90 градусів. Проаналізувати розподілення амплітуд парних та непарних гармонік.
-18-
2. Проробити ті самі перетворення зі стандартним трикутним сигналом.
3. Проробити ті самі перетворення зі стандартним синусоїдальним сигналом
4. В протоколі привести отримані графіки та математичні залежності.
5. Зробити висновки по проробленій роботі.
Приклад виконання роботи:
Приклад апроксимації прямокутного сигналу з частотою 2 Гц за допомогою ряда Фур’є з кількістю гармонік 2, 4, 8. Отриманий графік:
-19-
Приклад апроксимації синусоїдального сигналу з частотою 2 Гц за допомогою ряда Фур’є з кількістю гармонік 2, 4, 8. Отриманий графік:
Контрольні запитання:
Які сигнали можуть бути розкладені за допомогою ряду Фур’є?
Синусно-косинусна форма запису, поняття кругової частоти та гармоніки.
Дійсна форма запису.
Комплексна форма.
Переваги і недоліки кожної з форм запису ряду Фур’є.
ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №3
Тема: Дискретне перетворення Фур’є (ДПФ) та швидке перетворення Фур’є (ШПФ).
Мета: Навчитися працювати з ДПФ та ШПФ.
Теоретичні відомості:
Дискретне перетворення Фур(є (ДПФ):
ДПФ - це перетворення Фур(є послідовності кінцевої довжини, що є сама по собі також послідовністю, а не перервною функцією і відповідає рівновіддаленим за частотою вибіркам перетворення Фур(є-сигнала.
-20-
ДПФ – вводиться як :
,
де х(nT) (n=0,…, N-1)- послідовність з N-часових відліків з періодом T; X(k)- послідовність (k=0,…,N-1) з N-частотних відліків; .
Формула (3.1) - пряме ДПФ.
Формула (3.2) - обернене ДПФ.
ДПФ у матричній формі:
, (3.3)
де X і x – N-вимірні вектори, X=[X(0),X(1),…,X(N-1)]T, х=[x(0),x(T),…,x((N-1)Т)]T; WN-матриця розміром N*N з елементами d(n,k), n,k-індекси за рядком, за стовпчиком d(n,k)=WNnk ; n,k=0,1,2,…N-1.
Формула (3.1) - пряме ДПФ у матричній формі.
Обернена форма формули:
x=WN-1X, (3.4)
де WN-1 - обернена матриця до матриці WN, тобто її елемент; d-1(n,k)=1/N*WN-nk .
ДПФ вводиться для представлення як періодичних послідовностей з періодом N-відліків, так і послідовності кінцевої довжини N.
Коефіцієнти ДПФ кінцевої послідовності дорівнюють значенням її у z-перетворенні у N-точках рівномірно розподілених по одиничному колу. Формула одиничного кола:
,
де к-0,1,2,…N-1.
ДПФ виконується над кінцевою послідовністю N-відліків або над періодичною послідовністю, період якої складається також з N-відліків. Оскільки характеристики спектра послідовностей таких як спектральна густина потужності, амплітуди, фази окремих частот на практиці визначають з використанням тільки кінцевого числа відліків. Звідси випливає, що ДПФ є одним з найважливіших засобів їх визначення.
Властивості ДПФ:
1.Властивість лінійності.
(3.5)
-21-
2.Зсув ДПФ.
Нехай , а y(nT) отримується з x(nT) шляхом зсуву на n0 відліків.
(3.6)
, (3.7)
де K0-зсув спектра.
3.Властивість симетрії
Якщо послідовність x(nT) є дійсною то її ДПФ задовольняє таким умовам симетрії:
Дійсна частина: Re(X(k))=Re(X(N-k))
Уявна частина: Im(X(k))= -Im(X(N-k))
(3.8)
Наслідки від властивостей ДПФ:
1) ДПФ симетричної послідовності буде дійсною, тобто
Якщо x (nT)= x ((N-n)T) ( Im (Х(k))=0
2.) Властивість симетрії дозволяє за допомогою одного ДПФ перетворити одночасно дві дійсних послідовності.
Якщо ДПФ то
Тоді:
(3.9)
4) Згортка по колу.
Нехай уU(nT) є згорткою по колу сигналів x (nT) и y(nT)
а) ,
-22-
тоді її ДПФ
б) Якщо
то її ДПФ також є згорткою
5.) Спряжена форма обернення.
Обернене ДПФ за формулою (3.2) можна обчислити за допомогою формул для прямого ДПФ.
,
де - комплексне спряження від p
(3.10)
Алгоритми швидких перетворень Фур(є (ШПФ):
Обчислення ДПФ потребує великої кількості операцій (формула 3.1): приблизно N2 додавань і N2 добутків. Якщо розглянути для реальних частин (розпишемо комплекс через уявну і дійсну частини), то операцій буде в 4 рази більше.
Отримуємо 4N2 операцій множення, додавання трохи менше.
Так як кількість обчислень, а значить і час обчислення пропорційне N2, то при прямому методі обчислень ДПФ число арифметичних операцій різко зростає зі збільшенням N, тому були розроблені алгоритми, що зменшують число операцій, які називаються ШПФ. Найчастіше застосовується :
; - натуральне число(оптимальний випадок для БПФ.
Основна ідея, що лежить в основі усіх ШПФ, полягає в зведенні N-точкового ШПФ до обчислення декількох N1-точечних ДПФ, при чому N1<<N.
Існує два великих ділення.
Алгоритми, при реалізації яких потрібна перестановка відліків x(nT) вхідної послідовності, називаються алгоритмами з проріджуванням за часом.
Алгоритми, при реалізації яких потрібна перестановка відліків X(k) вихідної послідовності, називаються алгоритмами з проріджуванням за частотою.
За ефективністю ці два різновиди алгоритмів еквівалентні і дозволяють зменшити кількість потрібних операцій в раз у порівнянні з прямим методом обчислення ДПФ.
Алгоритм з проріджуванням за часом.
-23-
Якщо послідовність x(nT) довжиною розділити на дві N/2-точечні послідовності, що складаються з x(nT) парних та окремо непарних номерів.
Запишемо ДПФ:
(3.11)
Тому що:
Проілюструємо на прикладі: N=8.
Будемо використовувати спрямовані сигнальні графи, у яких: гілки, що сходяться у вузол, сумуються, а передача по гілках здійснюється з підписаними під ними коефіцієнтами. Якщо їх немає, то коефіцієнт дорівнює 1.
Де G(k)-чотирьохточкова ДПФ парних точок; Н(к)-ДПФ непарних точок (чотирьохточечна).
Кожна із суми у (5.1) є N/2-точковим ДПФ, яке можна аналогічно через N/4 точкове ДПФ, а N/4(N/8 точечною ДПФ і т.д. доки не лишиться 2-х точечна ДПФ. Таких ступенів перетворення буде:
(=log2N=3 –у нашому прикладі.
Ми розглянемо у прикладі тільки 1-й рівень. Покажемо спрямований граф, що показує розкладення N/2-точечного ДПФ на N/4 точечне ДПФ.
-24-
Повний граф:
Алгоритм з проріджуванням за частотою:
Вхідна послідовність x(nT) розбивається на дві послідовності
-25-
n=0,1,…,Nn-1
і окремо обчислюються парні та непарні відліки ДПФ:
(3.12)
Отримані N/2-точечні ДПФ аналогічним чином можна представити через N/4-точечні і т.д. до двохточечних.
Алгоритми з проріджуванням за частотою і за часом є індивідуальними: кожний з них може бути отриман з другого шляхом взаємної заміни входу та виходу і оберненням усіх стрілок у спрямованому графі.
Завдання на лабораторну роботу:
1. Для стандартного прямокутного сигналу з частотою, що дорівнює номеру бригади, отримати його дискретний спектр за допомогою застосування ДПФ. Замалювати його амплітудно-частотну характеристику для основної частини одного періоду спектра з записом частот сигналу дискретизації та періоду спектра.
2. Проробити ті самі перетворення з стандартним трикутним сигналом.
3. Проробити ті самі перетворення з стандартним синусоїдальним сигналом.
4. Для початкового прямокутного сигналу порівняти час отримання його ДПФ та ШПФ.
5. Для початкового прямокутного сигналу повторити п.1, змінюючи декілька раз частоту дискретизації, для чого використовувати зміну інтервалу дискретизації в меню стандартного сигналу.
6. В протоколі привести отримані графіки, таблиці та математичні залежності.
7. Зробити виводи про вплив частот сигналу та його дискретизації на отриманий спектр, а також по іншій частині роботи.
Приклад виконання роботи:
-26-
Для стандартного трикутного сигналу з частотою 4 Гц був отриманий наступний спектр(за допомогою застосування ДПФ):
Спектр:
N пари
Частота, Гц
Модуль
Фаза, град,
0
0
21, 792
-180
1
0,9765625
27, 9265544
-175,6793813
2
1, 953125
421, 050818
12,0379688
3
2, 9296875
13, 7492127
12,771217
4
3, 90625
2, 7546821
-154,1067836
5
4, 8828125
2, 9320156
-154,300765
6
5, 859375
43, 3754307
26,9971383
7
6, 8359375
7, 6753946
25,4544298
8
7, 8125
2, 6680459
25,4544298
9
8, 7890625
0, 4923248
-81,319482
10
9, 765625
13, 3120728
-135,7781106
11
10, 7421875
5, 8751878
41,3837292
-27-
Для стандартного прямокутного сигналу з частотою 4 Гц був отриманий наступний спектр(за допомогою застосування ДПФ):
Спектр:
N пари
Частота, Гц
Модуль
Фаза, град,
0
0
21
0
1
0.9765625
32.5942093
-40.9399412
2
1.953125
649.5807999
-79.7156513
3
2.9296875
35.0616815
61.9787551
4
3.90625
20.8127185
21.6838722
5
4.8828125
29.8417227
-19.6955347
6
5.859375
210.4129968
-59.1193553
7
6.835937
37.148713
82.8183662
8
7.8125
20.2487068
43.2931912
9
8.7890625
26.8974208
1.7474197
10
9.765625
119.1214254
-38.4393002
11
10.7421875
38.764837
103.4755872
-28-
Для стандартного прямокутного сигналу(частота збільшена у 5 разів) був отриманий наступний спектр(за допомогою застосування ДПФ):
Спектр:
N пари
Частота, Гц
Модуль
Фаза, град,
0
0
13
0
1
0.1953125
23.5073495
-4.8552449
2
0.390625
24.3411037
-9.6957158
3
0.5859375
25.8463274
-14.5074423
4
0.78125
28.2375547
-19.2779912
5
0.9765625
31.926927
-23.9970748
6
1.171875
37.7445561
-28.6569932
7
1.3671875
47.5727784
-33.2528985
8
1.5625
66.6844624
-37.7828875
9
1.7578125
117.4015651
-42.2479456
10
1.953125
594.2369166
-46.6517762
11
2.1484375
184.7187159
128.9994535
-29-
Для стандартного прямокутного сигналу(частота збільшена у 10 разів) був отриманий наступний спектр(за допомогою застосування ДПФ):
Спектр:
N пари
Частота, Гц
Модуль
Фаза, град,
12
1.171875
34.1535928
-3.2420238
13
1.2695313
37.2452432
-3.5052416
14
1.3671875
41.3566624
-3.7666621
15
1.4648438
47.0381973
-4.02609
16
1.5625
55.3324536
-4.2833126
17
1.6601563
68.481392
-4.5380965
18
1.7578125
92.3441729
-4.7901836
19
1.8554688
148.617118
-5.0392859
20
1.953125
439.8033013
-5.2850792
21
2.0507813
389.3132132
174.4728052
22
2.1484375
127.5914595
174.2347902
23
2.2460938
73.6384075
174.0013668
Контрольні запитання:
Визначення дискретного перетворення Фур’є.
Матрична форма запису ДПФ.
Які властивості ДПФ Ви знаєте?
Перерахуйте наслідки від властивостей ДПФ.
Поняття швидкого перетворення Фур(є.
-30-
Поясніть принцип дії алгоритму з проріджуванням за часом.
Алгоритм з проріджуванням за частотою.
Чи можна отримати один алгоритм із другого? Якщо так, то яким шляхом?
ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №4
Тема: Не рекурсивні цифрові фільтри (НРЦФ).
Мета: Навчитися розраховувати та будувати НРЦФ.
Теоретичні відомості:
Цифрові фільтри:
Якщо алгоритм лінійного дискретного фільтру реалізується на аналогових елементах операційний підсилювач, то дискретний фільтр буде мати ті ж недоліки, що і в аналоговому, тобто зміна параметрів пристрою призводить до неконтрольованої похибки вихідного сигналу. Тому використовують цифрові фільтри.
Цифровий фільтр - це пристрій, який виконує алгоритм лінійного дискретного фільтру (як і у дискретного), але при цьому вхідний і вихідний сигнали є цифровими, так що у пристрої циркулюють лише двійкові коди. Але при цьому виникає похибка при заокругленні (добутку особливо), але це контрольована похибка, що не залежить від умов роботи фільтра. Її можна зменшити, збільшуючи число розрядів. Через цю похибку (кінцевого числа розрядів) цифровий пристрій не точно реалізує алгоритм (4.2). Тому вихідний сигнал відрізняється від точно вирішуваної ф-ли (4.2). І весь пристрій є нелінійним.
А зі збільшенням розрядності сигнал можна вважати дискретним, а цифровий фільтр лінійно-дискретним із залученням мат. апарата їх опису.
Дискретні і цифрові фільтри поділяються на два класи:
Нерекурсивні
якщо у формулі (4.2) усі коефіцієнти aj=0, то
у(nT)= blx((n-l)T) (4.1)
і описують пристрої без зворотного зв(язку
рекурсивні
Якщо б хоча б один коефіцієнт аj не дорівнює 0, описують пристрої із зворотним зв(язком.
Передаточні функції фільтрів
Передаточною функцією H(z) називають відношення z-образів вихідного Y(z) і вхідного X(z) сигналів фільтра при нульових початкових умовах.
H(z)=
-31-
Для рекурсивного фільтра з формули для лінійного дискретного фільтру
y(nT)= -ajy((n-j)T)+blx((n-l)T)
отримуємо:
Hp (z)= (4.2)
Для нерекурсивних фільтрів отримаємо:
HH (z)= (4.3)
Коефіцієнти фільтрів aj і bl є коефіцієнтами відповідних передаточних ф-цій.
Основні форми реалізації рекурсивних фільтрів
Пряма форма відповідає безпосередній реалізації фільтра за ф-лою для лінійного дискретного фільтру чи (4.2)
Для нерекурсивного : аj=0 і тому нижньої частини не буде.
2) Канонічна форма дозволяє зменшити число елементів затримки у порівнянні з їх кількістю при прямій формі реалізації до мінімуму.
Відповідає заміні ф-ли для лінійного дискретного фільтру еквівалентною системою різносних рівнянь.
Отримали це так:
H(z)=H1(z) H2(z) де:
-32-
3) Каскадна форма (послідовна) представляє собою каскадне з’єднання однотипних ланок, що відповідає представленню H(z) у вигляді добутку.
,
де L-кількість окремих ланок, що називаються біквадратними блоками. Біквадратний блок є універсальною ланкою, що підходить для побудови будь-яких фільтрів.
4) Паралельна форма реалізації, що представляє собою паралельне з’єднання, відповідне представленню H(z) у вигляді Суми. А сама схема – паралельне з’єднання біквадратних блоків при β2к=0
-33-
Приклади побудови цифрових фільтрів
y (nT) = 0.2+0.3y((n-1)T)+2x((n-2)T)
Пристрій будується дуже просто, з суматора.
y (nT)= 0.2+0.3iy ((n-1)T)+0.2y ((n-2)T)+ix (nT)
y (nT)= y1 (nT)+iy2 (nT)
y1 (nT)= 0.2-0.3y2 (n-1)T+0.2y1((n-2)T)
y2 (nT)= 0.3y1 ((n-1)T)+0.2y2 ((n-2)T)+x (nT)
; H2 (z)= 0.2+z -1 + z –2;
Знаки, які стоять у різносному рівнянні і в передній функції мають різні значення, тобто
-34-
Коефіцієнти зверху лишаються з тим же знаком, а знизу міняють свій знак на протилежний.
x (nT)
Побудуємо фільтр у прямій формі:
В канонічній формі:
Основні етапи проектування нерекурсивних фільтрів
Підготовчий. Математичне формулювання задачі складається з кроків:
1.Вибір типу фільтра.
Вибирається один з двох класів фільтра, будуть або лінійною ФЧХ, або мінімально фазовою.
2.Вибираємо апроксимуючу функцію
-35-
(,c, значення якої визначають потрібну характеристику фільтра, найбільш часто АЧХ.
( – нормована частота
с – вектор коефіцієнтів, що співпадає з вектором коефіцієнтів фільтра В або досить просто з(вязаний з ним.
3.Визначення апроксимованої ф-ції
, яка задає вимоги до заданої характеристики.
4.Вибір критерію апроксимації, тобто уточнення змісту наближеної рівності
при заданих значеннях
5.Визначення вагової ф-ції апроксимації , яка задає вимоги до точності останнього наближеної рівності.
Метою першого етапу є математичне формулювання задачі обчислення вектора коефіцієнта С за заданими вимогами до характеристик фільтру.
2 етап. Розв(язання задачі апроксимації. Складається з таких кроків:
Оцінка необхідного порядку фільтра N.
Розрахунок коефіцієнтів вектора С.
Перевірка критерію отримання рішення (виконання заданих вимог до характеристик фільтра).
А) Якщо вимоги до характеристик виконуються , то за вектором коефіцієнтів С визначають вектор B.
2 етап закінчується.
В) Якщо вимоги не виконуються, то повертаються до початку другого етапу і розраховують вектор С при більшому значенні N.
Метою 2-го етапу є визначення вектора коефіцієнтів фільтра B.
3 етап. Розрахунок розрядності Sk коефіцієнтів або розрядності регістрів ПЗП – залежить від вибраної елементної бази.
При реалізації на спеціальному мікропроцесорі (DSP) виходить, що Sk одразу задане. Тоді на цьому кроці перевіряють, чи виконуються задані вимоги до характеристик фільтра.
А) Якщо виконуються, переходимо до 4 етапу, В) якщо ні, то вертаються на 2 етап, задають більше N і знову розв(язують задачу апроксимації і переходять до 3 етапу.
Якщо фільтр реалізується на БІС загального застосування або універсальному мікропроцесорі, то необхідно мінімізувати Sk до тих пір, поки задані характеристики не перестануть виконуватися.
4 етап. Розраховуємо розрядність регістрів ОЗП, так щоб потужність шумів фільтра була менше ніж потужність шуму на вході.
5 етап. Здійснюється схемна реалізація фільтра на обраній елементній базі.
каскадній формі:
y (nT)= -0.2y (n-1)T+0.4y (n-2)T+0.8y ((n-3)T)+x ((n-1)T)+0.3 x (nT)
-36-
Паралельна форма – це сума двох членів
.
Проектування рекурсивних цифрових фільтрів (РЦФ).
Є три основні класи розрахунку рекурсивних фільтрів.
1.Методи перетворення аналогових фільтрів у цифрові (метод білінійного перетворення).
2.Прямі методи розрахунку РЦФ у z-площині.
3.Методи, що використовують алгоритми оптимізації.
Метод білінійного перетворення
Перетворює передаточну ф-цію T(S) аналогового фільтра у відповідну передаточну ф-цію H(z) РЦФ. Дане перетворення може бути виконане вручну або на ЕОМ.
Для того, щоб розрахувати РЦФ, потрібно знати аналоговий фільтр і найбільш протабульовані такі фільтри :
Найбільш розповсюджені аналогові фільтри.
1.) Фільтри Баттерворта (тип В) з монотонно спадною АЧХ , при (>0.
АЧХ:
(Aз-затримання
(An-пропускання
-37-
АЧХ A=f(() нормованих передаточних ф-цій фільтра.
(среза=1.
2.) Фільтри Чебишева (тип Т) АЧХ рівнохвильова у полосі пропускання і монотонно спадна у полосі затримання.
3.) Інверсний Чебишева (тип I) АЧХ монотонно спадна у полосі пропускання і рівнохвильова у полосі затримування.
-38-
4.Золотарева-Кауера (тип С)
(еліптичний фільтр)
АЧХ рівнохвильова у полосі пропускання і затримування.
Завдання на лабораторну роботу:
1. Побудувати цифровий низькочастотний фільтр порядка n=2 з верхньою граничною частотою 100*V, де V - номер бригади.
Записати передаточну функцію отриманого фільтра з точністю до двох знаків після коми.
Замалювати АЧХ отриманого фільтра.
Підтвердити правильність отриманої АЧХ шляхом подачі на вхід фільтра багаточастотних сигналів. Для цього подати на вхід сигнал типу Y=SIN(C*X*X*X), де С=const – підбирається, який перетворить зміну частоти
-39-
в зміну часу та замалювати сигнали на вході та виході фільтра.
Примітка: Частоти дискретизації сигналу та фільтра повинні бути однаковими.
2. Повторити п.1 для ФНЧ з n=6.
3. Побудувати полосовий фільтр та провести з ним всі дії п.1 при n=2 та n=6.
4. В протоколі привести отримані графіки, таблиці та математичні залежності.
5. Зробити висновки про вплив порядку фільтра на кількість АЧХ , а також по іншій частині роботи.
Приклад виконання роботи:
При побудові низькочастотного фільтру порядку n=2 з верхньою граничною частотою 300, була отримана наступна частотна характеристика фільтру:
Контрольні запитання:
Визначення цифрового фільтру.
Які два класи дискретних і цифрових фільтрів Вам відомі?
Що називають передаточною функцією?
Перерахуйте основні етапи проектування нерекурсивних фільтрів. Поясніть зміст кожного з них.
ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №5
Тема: Рекурсивні цифрові фільтри (РЦФ).
-40-
Мета: Навчитися розраховувати та будувати РЦФ.
Теоретичні відомості:
Теоретичні відомості лабораторної роботи №4 - Не рекурсивні цифрові фільтри(НРЦ)
Завдання на лабораторну роботу:
1. Побудувати цифровий високочастотний фільтр порядку n=2 з верхньою граничною частотою 100*V, де V - номер бригади взяти за прототип фільтр Чебишева.
Записати передаточну функцію отриманого фільтра з точністю до двох знаків після коми.
Замалювати АЧХ отриманого фільтра.
Підтвердити правильність отриманої АЧХ шляхом подачі на вхід фільтра багаточастотних сигналів. Для цього подати на вхід сигнал типу Y=SIN(C*X*X*X), де С=const – підбирається, який перетворить зміну частоти в зміну часу та замалювати сигнали на вході та виході фільтра.
Примітка: Частоти дискретизації сигналу та фільтра повинні бути однаковими.
2. Повторити п.1 для ФВЧ з n=5.
3. Побудувати загороджуючий фільтр та провести з ним всі дії п.1 при n=2 та n=5.
4. Провести дослідження впливу виду прототипу на форму АЧХ, для чого для одного фільтра (наприклад ФВЧ) добудувати інші три характеристики різних прототипів. Змінивши значення n, вивчити його вплив на фільтрах Чебишева та Кауэра.
5. В протоколі привести отримані графіки, таблиці та математичні залежності.
6. Зробити висновки про вплив виду прототипу на форму АЧХ, а також по іншій частині роботи.
Приклад виконання роботи:
-41-
При побудові висококочастотного фільтру порядку n=2 з верхньою граничною частотою 400, була отримана наступна частотна характеристика фільтру Чебишева:
Контрольні запитання:
Визначення цифрового фільтру.
Які два класи дискретних і цифрових фільтрів Вам відомі?
Що називають передаточною функцією?
Основні форми реалізації рекурсивних фільтрів.
Перерахуйте три основні класи розрахунку рекурсивних фільтрів.
-42-
ЗМІСТ:
Перелік лабораторних робіт……………………………………………………1
Вимоги до звітів……………………………………..…………………………..2
Лабораторна робота №1………………………………………………………...3
Лабораторна робота №2……………………………………………………….13
Лабораторна робота №3……………………………………………………….18
Лабораторна робота №4……………………………………………………….29
Лабораторна робота №5……………………………………………………….38
-43-
Навчальне видання
Методичні вказівки до виконання лабораторного практикуму з дисципліни «Цифрова обробка сигналів» для студентів спеціальності „Системи управління та автоматики”. Укл.: Ю.М.Рашкевич, А.М.Ковальчук. – Львів: НУ „ЛП”, 2008 – 44с.
Укладачі: Ю.М.Рашкевич, професор
А.М.Ковальчук, ст. викладач
Відповідальний редактор Шпак З.Я., канд. техн. наук , доцент
Рецензент: Л.С.Сікора, док. техн. наук , професор
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора