Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Комп’ютеризовані системи
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2005
Тип роботи:
Навчальний посібник
Предмет:
Інші
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
Міністерство освіти і науки України
Національний університет "Львівська політехніка"
Володимир САМОТИЙ, Ігор СТРЕПКО, Ігор ГАРАНЮК
РІВНЯННЯ ДИНАМІКИ ЕЛЕМЕНТІВ
СИСТЕМ КЕРУВАННЯ
Курс лекцій для студентів спеціальності
0914 "Комп’ютеризовані системи, автоматика і управління"
Львів 2005
Видавництво Національного університету "Львівська політехніка"
ББК
С
УДК 621.
Навчальний посібник для студентів спеціальності
6.0914 "Комп’ютеризовані системи, автоматика і управління"
затверджено на засіданні кафедри “Автоматика та телемеханіка”
протокол № від
Рецензенти:
Лозинський О.Ю. доктор техн. наук, професор,
Національний університет
“Львівська політехніка”
Хома В.В., доктор техн. наук, професор,
Національний університет
“Львівська політехніка”
Самотий В.В., Стрепко І.Т., Гаранюк І.П.
С Рівняння динаміки елементів систем керування: Навчальний посібник. – Львів: Видавництво Національного університету "Львівська політехніка", 2005 – 70 с.
ISBN
В навчальному посібнику викладено методи лінеаризації нелінійних диференціальних рівнянь, властивості перетворення за Лапласом та його застосування для визначення передатних функцій елементів систем, що описуються лінійними диференціальними рівняннями, передатні функції основних структурних сполучень динамічних елементів, а також описано виведення рівнянь динаміки різноманітних об’єктів систем керування, виконавчих елементів, підсилювачів та фільтрів.
ББК
С 0000000000
00000 Без оголошення
© В.В.Самотий, І.Т.Стрепко, І.П.Гаранюк, 2005
ISBN
З М І С Т
ПЕРЕДМОВА........................................................................................... 4
1. ЛІНЕАРИЗАЦІЯ НЕЛІНІЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ.... 5
2. ОСНОВНІ ВЛАСТИВОСТІ ПЕРЕТВОРЕННЯ ЗА ЛАПЛАСОМ. ПЕРЕДАТНІ ФУНКЦІЇ....................................................................................
2.1. Визначення перетворення за Лапласом......................................................
2.2. Властивості прямого перетворення за Лапласом......................................
2.3. Властивості зворотнього перетворення за Лапласом................................
2.4. Застосування перетворення за Лапласом для розв’язування диференціальних рівнянь………………………………………………….
2.5. Передатні функції…………………………………………………………..
3. РІВНЯННЯ ДИНАМІКИ ОБ’ЄКТІВ КЕРУВАННЯ...................................
3.1. Рівняння динаміки рівня рідини в посудині постійного січення при незалежності витрати рідини від її рівня....................................................
3.2. Рівняння динаміки рівня рідини в посудині змінного січення при незалежності витрати рідини від її рівня............................................................
3.3. Рівняння динаміки рівня рідини в посудині постійного січення при залежності витрати рідини від її рівня.................................................................
3.4. Електричний нагрівний елемент
3.5. Генератор постійного струму, що працює в режимі неробочого ходу
3.6. Генератор постійного струму, що працює на активне навантаження
3.7. Рівняння динаміки гідротурбіни
3.8. Рівняння динаміки руху літака
4. РІВНЯННЯ ДИНАМІКИ ВИКОНАВЧИХ ЕЛЕМЕНТІВ
4.1. Двигун постійного струму з незалежним збудженням
4.2. Двигун постійного струму, що керується напругою збудження
4.3. Асинхронний двофазний двигун
4.4. Гідравлічний мотор
5. РІВНЯННЯ ДИНАМІКИ ПІДСИЛЮВАЧІВ ТА ФІЛЬТРІВ
5.1. Електромашинний підсилювач з поперечним полем
5.2. Магнетний підсилювач з зовнішнім додатним зворотним зв’язком
5.3. Диференціюючий RC-фільтр
5.4. Форсуючий RC-фільтр
5.4. Інтегруючий RC-фільтр
5.5. RLC-фільтр четвертого порядку
5.6. Рівняння динаміки однофазних трансформаторів
П Е Р Е Д М О В А
Розвиток сучасних систем автоматичного керування ставить перед науковцями ряд важливих задач. Умовно їх можна розділити на дві групи: перша пов’язана з проектуванням систем, а друга – з їх експлуатацією. Значна кількість систем орієнтована на керування швидкістю обертання роторів електричних моторів. Така задача має широке практичне застосування в різних галузях народного господарства. Вона має місце при проектуванні електричних автомобілів, в автоматизації виробничих процесів, в робототехнічних системах, в слідкуючих системах, в поліграфічній промисловості та ін.
Розроблення конструкції таких систем автоматичного керування (САК) передбачає ряд проміжних етапів. Перший зводиться до вибору самої структурної схеми системи в залежності від поставленої технічної задачі. Другий етап передбачає вибір елементної бази та технічних параметрів вибраного конструктивного рішення. Далі необхідно створити зразковий макет системи, і останній, четвертий етап, зводиться до перевірки правильності інженерних розрахунків шляхом фізичного або математичного моделювання. Фізичне моделювання для уточнення параметрів конструкції систем керування приводить до виготовлення нових макетів, що є з економічної точки зору невиправдано. Тому слід спочатку шляхом математичного моделювання визначити всі параметри системи, після чого вибирається відповідна елементна база і створюється зразковий макет з заданими технічними характеристиками.
Безумовно, щоб скористатись методами математичного моделювання, необхідно спочатку розбити саму математичну модель досліджуваного пристрою, тобто записати його рівняння динаміки. Саме висвітленню цього питання і присвячений даний посібник.
В сучасному суспільстві важко знайти галузь людської діяльності, де б не використовувалися персональні комп(ютери. Якщо поставити питання чим викликане таке поширення обчислювальних засобів, то відповідь на нього не така вже й очевидна. Здавалося б, що вдосконалення процесорів, їх швидкодії та функціональних можливостей, збільшення оперативної пам(яті, стимулювало процес впровадження персональних комп(ютерів. Проте, так видається лише на перший погляд. При глибшому аналізі цього питання приходимо до висновку, що сама матеріальна частина є мертвою і не могла бути поштовхом широкого використання комп(ютерів. Лише завдяки програмному забезпеченню можливий діалог між користувачем та персональним комп(ютером. Не дарма саме на розробленні програмного забезпечення власники таких фірм заробили величезні капітали, які за розмірами перевищували прибутки виробників обчислювальної техніки.
Усе програмне забезпечення можна умовно розділити на три основні групи:
програмні продукти, що дозволяють організувати діалог між користувачем та комп(ютером;
прикладні програми загального призначення;
прикладні програми спеціального призначення.
До першої групи належать програми системного призначення, в першу чергу операційні системи. До другої – різноманітні редактори, як текстові, так і графічні, а також програми розважального характеру. Третя група програм орієнтована на фахівців вузької спеціалізації, наприклад, архітекторів, бухгалтерів, фотографів, інженерів. З усієї гами інженерних задач можна виділити дві, що часто зустрічаються на практиці. Це задачі аналізу і синтезу різноманітних систем і пристроїв. Прикладні програми аналізу режимів роботи технічних систем дозволяють за заданими параметрами та конструкцією системи отримати часові характеристики такої системи. Достатньо вміти задати вхідну інформацію і оцінити результати її роботи. В процесі розробки такого програмного забезпечення наріжним каменем є запис рівнянь динаміки та алгоритми їх розв(язування, бо всі без винятку програмні продукти базуються на певних алгоритмах. Маючи такий алгоритм, написання програм є вже чисто інженерною задачею і тут не виникає принципових проблем. Для аналізу перехідних процесів достатньо з допомогою чисельного методу проінтегрувати рівняння динаміки.
1. ЛІНЕАРИЗАЦІЯ НЕЛІНІЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ
Першим кроком в складанні рівнянь динаміки елементів систем автоматичного керування (САК) є вияв фізичного закону, що визначає його поведінку. Другим кроком є визначення факторів від яких залежать змінні, що входять у вихідне рівняння. Третім кроком є встановлення виразів, що описують цю залежність. Як правило ці вирази є нелінійними, тому вихідні рівняння також будуть нелінійними.
З метою спрощення аналізу процесу керування одержане рівняння лінеаризується, якщо для даного рівняння лінеаризація є допустимою.
Означення. Якщо в диференціальному рівнянні коефіцієнти при похідних є константами і воно не містить нелінійних функцій, то таке рівняння є лінійним.
Нехай коефіцієнти при похідних є константами, але в диференціальному рівняння присутня деяка нелінійна функція , де - змінні стану. Для лінеаризації такого рівняння функцію необхідно записати в лінійному наближенні. Таку процедуру можна виконати з допомогою ряду Тейлора, який для функції трьох змінних має вигляд
(1.1)
де - фіксовані значення змінних стану, які як правило відповідають усталеному режиму; - залишковий член ряду. Показники степенів вказують на необхідність обчислення похідних вищих порядків, наприклад
(1.2)
При лінеаризації необхідно обмежитись похідними першого порядку ряду Тейлора. Отже, відкинувши у формулі (1.1) похідні вищих порядків, отримаємо
(1.3)
причому значення похідних беруться в точці .
Згідно формули (1.3) можна визначити приріст функції
(1.4)
Розглянемо другий випадок, коли коефіцієнт при похідній є нелінійною функцією. Якщо цей коефіцєнт розкласти в ряд Тейлора, то згідно (1.3) ми отримаємо лінійну функцію. Але за означенням, для того щоб диференціальне рівняння було лінійним коефіцієнти при похідних повинні бути константами. Тому в даному випадку розклад в ряд Тейлора не вирішує проблеми. Для лінеаризації таких рівнянь коефіцієнти при похідних заморожують в точці .
Лінеаризоване диференціальне рівняння можна записати у відносних приростах. Для цього необхідно ввести позначення відносних приростів і підставити отримані вирази в лінеаризоване рівняння.
Розглянемо приклад. Нехай САК описується нелінійним диференціальним рівнянням
(1.5)
Коефіцієнт при похідній є нелінійною функцією відносно змінної стану , тому його необхідно заморозити. В правій частині рівняння (1.5) присутня нелінійна функція. Для лінеаризації, її необхідно розкласти в ряд Тейлора за формулою (1.3)
(1.6)
Підставимо (1.6) в (1.5), а коефіцієнт заморозимо
(1.7)
Виразимо змінні стану через їх абсолютні прирости
(1.8)
Підставивши (1.8) в (1.7) отримаємо
(1.9)
З останнього рівняння можна виключити рівняння стану рівноваги (або як його ще називають рівняння статики). Нехай в стані рівноваги змінні стану набувають значень . Підставивши їх в рівняння (1.5) отримаємо
(1.10)
Підставимо (1.10) в (1.9) і введемо позначення коефіцієнтів
, (1.11)
де
Рівняння (1.11) є лінеаризованим рівнянням динаміки записаним в абсолютних приростах. Його можна записати у відносних приростах. Введемо позначення відносних приростів
(1.12)
Запишемо рівняння (1.11) у відносних приростах
. (1.13)
2. ОСНОВНІ ВЛАСТИВОСТІ ПЕРЕТВОРЕННЯ
ЗА ЛАПЛАСОМ. ПЕРЕДАТНІ ФУНКЦІЇ
2.1. Визначення перетворення за Лапласом
Алгоритм прямого перетворення за Лапласом полягає в множенні оригіналу функції на функцію
()
та інтегруванні отриманого добутку за часом
(2.1)
де називають зображенням функції за Лапласом. Зображення існує, тобто інтеграл Лапласа є збіжним, якщо часова функція задовольняє умовам:
1) функція має обмежений порядок зростання, що забезпечує спів відношення
(2.2)
тобто, для будь-якого значення можна підібрати такі додатні числа і , для яких виконається нерівність
;
2) функція неперервна для всіх значень , за виключенням допустимого обмеженого числа значень , де має розриви неперервності першого роду, тобто часова функція не може стати безмежною при .
Зображення деяких часто вживаних функцій часу
Таблиця 1
Часова функція (оригінал)
Зображення за Лапласом
В загальному випадку зображення за Лапласом часової функції може бути записане у вигляді раціонального дробу, чисельник і знаменник якого є поліномами аргументу
(2.3)
2.2. Властивості прямого перетворення за Лапласом
1. Властивість лінійності. Якщо , тоді
(2.4)
тобто, зображення суми оригіналів дорівнює сумі їх зображень, множення оригіналу на постійний множник відповідає множенню зображення на цей множник.
2. Зображення похідних. Нехай . Тоді
. (2.5)
Якщо вважати , а , та інтегруючи інтеграл Лапласа за частинами отримаємо
(2.6)
тобто
(2.7)
Вважаючи що у відповідності з рівнянням (2.7) отримаємо вираз
(2.8)
тобто
(2.9)
Аналогічно для похідної -го порядку отримаємо
(2.10)
При нульових початкових умовах маємо
(2.11)
3. Зображення інтегралів. Нехай . Якщо вважати , а , та інтегруючи інтеграл (2.5) за частинами отримаємо
(2.12)
тобто
(2.13)
Аналогічно, позначивши
(2.14)
отримаємо
(2.15)
при нульових початкових умовах маємо
(2.16)
2.3. Властивості зворотного перетворення за Лапласом
Основний алгоритм переходу від зображень до оригіналу, що приводить до застосування теорії різниць, має вигляд
(2.17)
Відносна складність застосування формули зворотнього перетворення за Лапласом робить доцільним метод розкладу зображення на більш прості складові, для яких наперед відомі оригінали. Цей метод відомий як теорема розкладу. Розглянемо можливості використання цієї теореми для переходу від зображення до оригіналу. Згідно (2.3) зображення записується у вигляді раціо нального дробу
, (2.18)
де - дійсні, постійні величини; - прості числа. Будемо вважати, що дріб (2.18) є правильним, тобто . В цьому випадку всі полюси зображення є простими, тобто відсутні кратні полюси , зображення може бути записане у формі
(2.19)
де - корені поліному , тобто полюси . Так як порядок поліному є нижчим порядку поліному , то можна записати у формі
(2.20)
де - постійні дійсні числа.
У відповідності до таблиці 1 і властивістю лінійності маємо
(2.21)
тобто
(2.22)
Згідно (35) можна зробити висновок, що оригінал визначається коренями рівняння та коефіцієнтами . Для визначення домножимо (33) на , тоді
, (2.23)
звідки
. (2.24)
Підставивши отримане значення в (2.22), отримаємо
. (2.25)
Інколи для зручності поліном записують так, щоб =1, тоді
. (2.26)
2.4. Застосування перетворення за Лапласом для розв’язування диференціальних рівнянь
Для переходу від диференціальної форми рівняння до його зображення за Лапласом диференціальне рівняння домножується на і інтегрується за часом в межах від 0 до . В результаті цієї операції зберігаються незмінними всі постійні коефіцієнти рівняння, а дійсні функції часу входять у відповідні інтеграли Лапласа. При цьому рівняння стає алгебричним відносно зображень вхідних і вихідної величин. Це дозволяє визначити зображення вихідної величини безпосередньо за формою рівняння зображень як функцію зображень вхідних величин, параметрів системи і початкових умов. Для визначення оригіналу вихідної величини, тобто для отримання розв’язку диференціального рівняння, від отриманого зображення вихідної величини береться зворотнє перетворення за Лапласом з допомогою теореми розкладу або теорії різниць. Наприклад, якщо диференціальне рівняння має вигляд
(2.27)
тоді після вказаних операцій множення отримаємо
(2.28)
де
(2.29)
Підставивши ці вирази в інтегральне рівняння (2.28) отримаємо
(2.30)
звідки
(2.31)
де - поліном початкових умов. Для визначення використовується перетворення .
2.5. Передатні функції
Якщо САК має дві вхідні дії, то в загальному випадку вона може бути описана деяким лінеаризованим диференціальним рівнянням
(2.32)
де - приріст вихідної величини; - прирости вхідних величин. Використовуючи перетворення за Лапласом для розв’язування диференціальних рівнянь отримаємо рівняння аналогічне (2.30)
(2.33)
звідкиможна визначити зображення вихідної величини
(2.34)
де - поліном початкових умов вхідних і вихідної величин та їх похідних;
(2.35)
З (2.34) слідує, що при існує однозначна залежність зображення вихідної величини від зображень вхідних величин, яка записується через поліноми Коефіцієнти цих поліномів збігаються з відповідними коефіцієнтамидиференціального рівняння (2.32), що визначаються параметрами системи.
Означення. Передатною функцією називається відношення зображення за Лапласом вихідної величини до зображення за Лапласом вхідної величини при нульових початкових умовах. При наявності декількох вхідних величин передатна функція визначається окремо для кожної з вхідних величин при умові що інші вхідні величини рівні нулю.
У нашому випадку при , отримуємо можливість виразити зображення вихідної величини через передатні функції системи і зображення вхідних величин
, (2.36)
де
(2.37)
тобто
(2.38)
Розглянемо визначення передатних функцій для основних сполучень ланок. Якщо система складається з одного елементу тоді вираз (2.36) набуде вигляду
. (2.39)
В структурному вигляді це можна зобразити як певний елемент (рис. 2.1). Отже, згідно (2.39) зображення за Лапласом вихідної величини елементу САК дорівнює добутку її передатної функції на зображення за Лапласом вхідної величини.
Для послідовного сполучення ланок (рис. 2.2) згідно (2.39) маємо
Виключивши змінну отрима ємо
(2.40)
Порівнюючи вирази (2.39), (2.40) можна зробити висновок, що передатна функція послідовного сполучення ланок дорівнює добутку передатних функцій ланок, що входять в дане сполучення
. (2.41)
Для паралельного сполучення ланок (рис. 2.3), справедливими будуть наступні рівняння
Виключивши змінні , отримаємо
(2.42)
Порівнюючи вирази (2.39), (2.42) можна зробити висновок, що передатна функція паралельного сполучення ланок дорівнює сумі передатних функцій ланок, що входять в дане сполучення
(2.43)
В загальному випадку для n-ланок вирази (2.41) і (2.43) відповідно будуть
(2.44)
Для зустрічно-паралельного сполучення ланок з від’ємним зворотним з’язком (рис.2.4), маємо
. (2.45)
Виключивши проміжні змінні, отримаємо
, (2.46)
звідки
. (2.47)
Порівнюючи рівняння (2.39), (2.47) отримаємо вираз для обчислення передатної функції зустрічно-паралельного сполучення ланок з від’ємним зворотним з’язком
. (2.48)
тут - передатна функція основної ланки; - передатна функція ланки зворотнього зв’язку. У випадку додатного зворотнього зв’язку (рис. 2.5), вираз (2.48) набуде вигляду
. (2.49)
Зворотний зв’язок може бути одиничним, тобто, коли вихідний сигнал безпосередньо без проміжних перетворень подається на елемент порівняння (рис. 2.6, 2.7), тоді у виразах (2.48), (2.49) відповідно, слід прийняти
. (2.50)
Розглянемо приклад визначення передатної функції системи при заданій структурі і передатних функціях її елементів (рис. 2.8).
Спочатку необхідно позначити всі вхідні і вихідні сигнали кожного елементу досліджуваної системи. Далі необхідно скласти систему рівнянь, що описує дану структуру і виключити з неї всі проміжні сигнали крім вихідної () і вхідних () дій. Оче видно, що кількість рівнянь такої системи буде визначатися кількістю елементів досліджуваної структури. Для структури рис. 2.8 маємо
(2.51)
Виключимо з цієї системи рівнянь змінні . Для простоти запису аргумент будемо опускати
(2.52)
З системи (2.52) виключимо
(2.53)
Для цього, щоб визначити передатну функцію за вхідною дією необхідно прийняти другу вхідну дію , тоді
(2.54)
Аналогічно прийнявши знайдемо передатну функцію за вхідною дією
(2.55)
Таким чином рівняння (2.53) можна записати у формі, аналогічній рівнянню (2.39)
. (2.56)
Передатні функції систем можна визначати і по-іншому. Зокрема, якщо виділити в системі локальні сполучення елементів передатні функції яких наперед відомі, то структуру системи можна суттєво спростити. Розглянемо спрощення структурної схеми системи для визначення її передатної функції. Нехай задана структура системи (рис. 2.9).
Прийнявши визначимо передаточну функцію системи за вхідною дією . Елементи , та , сполучені зустрічно-паралельно. Позначимо ці сполучення , (рис. 2.10), тоді згідно (2.48) і (2.49), маємо
, (2.57)
, (2.58)
Послідовне сполучення елементів з передатними функціями , , позначимо як (рис. 2.11), тоді
. (2.59)
Зустрічно-паралельне сполучення (рис. 2.11) дає нам вираз для передатної функції за вхідною дією
. (2.60)
Підставивши (2.57), (2.58), (2.59) в (2.60) отримаємо кінцевий результат
(2.61)
Прийнявши визначимо передаточну функцію системи за вхідною дією (рис. 2.12). На схемі рис. 2.13 функції , визначаються згідно (2.57), (2.58). Послідовне сполучення , , позначимо , (рис. 2.14), тоді
. (2.62)
Зустрічно-паралельне сполучення , (рис. 2.14) позначимо (рис. 2.15), тоді згідно (2.47), маємо
. (2.63)
Елементи , сполучені послідовно, тому
. (2.64)
Підставимо (2.62) в (2.63), а отриманий результат в (2.64), тоді
. (2.65)
Підставивши (2.57), (2.58) в (2.62), а отриманий результат в (2.65), маємо остаточний результат
. (2.66)
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора