Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
ІТЕРАЦІЙНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2007
Тип роботи:
Лабораторна робота
Предмет:
Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем
Група:
ІБ
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ "ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА"
ІТЕРАЦІЙНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ
ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ
Лабораторна робота № 3
з курсу
" Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем "
Виконав:
Студент гр. ІБ-1
Львів – 2007
Мета роботи – ознайомлення з ітераційними методами розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь.
1.Короткі теоретичні відомості.
Ітераційні методи розв’язування систем лінійних
алгебраїчних рівнянь
До ітераційних методів належать: метод простої ітерації, метод Зейделя, метод верхньої релаксації та інші.
Метод простої ітерації.
Нехай дано лінійну систему
(1)
Розглянемо матриці
Тоді систему (1) можна записати у вигляді матричного рівняння
(2)
Будемо вважати, що діагональні коефіцієнти (і = 1, 2,…, n).
Розв’яжемо перше рівняння системи (1) відносно , друге відносно і т.д. Тоді одержимо еквівалентну систему
(3)
де , при ; , при ;
; ;
Іноді кажуть, що система (3) зведена до нормального вигляду.
Введемо матриці ( та (
Систему (3) запишемо у вигляді
(4)
Систему (3) будемо розв’язувати методом послідовних наближень. За нульове наближення позначимо, наприклад, стовпчик вільних членів . Далі послідовно будуємо матриці-стовпці:
– перше наближення
– друге наближення і т.д.
Будь-яке (k + 1)-е наближення обчислюється за формулою:
, (k = 0, 1, 2, …) (5)
В розгорнутому вигляді .
Якщо послідовність наближень має границю
, (6)
то ця границя є розв’язком системи (3).
На практиці ітераційний процес припиняють, коли , де ( – гранична абсолютна похибка.
Приклад. Розв’язати систему методом простої ітерації:
.
Зведемо систему до нормального вигляду
(7)
або в матричній формі
(8)
За нульові наближення коренів системи приймаємо
.
Підставляємо ці значення в праві частини рівняння (7). Одержимо перші наближення коренів
Далі знаходимо другі і треті наближення коренів
Таким чином, , ( ) – метод простої ітерації.
Умови збіжності ітераційного процесу
Нехай задано зведена до нормального вигляду система лінійних рівнянь
Умова збіжності: якщо сума модулів елементів рядків або модулів елементів стовпців матриці α менша ніж 1, то процес ітерації для даної системи збігається до єдиного розв’язку незалежно від вибору вектора початкових наближень.
Для системи
або ,
де – сума модулів по стовпцях
Аналогічно можна було б перевірити виконання умови збіжності, беручи суми модулів елементів рядків.
Наведена вище умова являється достатньою, але не необхідною. Це означає, що якщо умова виконується, то процес буде збіжним. Коли ж умова не виконується, то це ще не означає, що процес буде розбіжним.
Для системи лінійних рівнянь, заданих у вигляді
,
метод простої ітерації збігається, якщо модулі діагональних коефіцієнтів для кожного рівняння системи більші, ніж суми модулів всієї решти коефіцієнтів (не враховуючи вільних членів).
Приклад:
(9)
(10)
(11)
Дещо простішій програмній реалізації піддається наступна формула методу простих ітерацій:
(13)
Звідки вона береться? Відомо, що при зведенні системи до вигляду кожне представляється у вигляді
або .
Якщо зняти обмеження j ( i, то цю формулу можна переписати у такому вигляді
.
Звідси випливає, що
.
2.ЗАВДАННЯ ДО ЛАБОРАТОРНОЇ РОБОТИ
Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь методами простої ітерації або Зейделя.
,
3. Блок-схема алгоритму програми.
4. Список ідентифікаторів констант, змінних, процедур і функцій, використаних в програмі, та їх пояснення.
5. Остаточно відлагоджений текст програми.
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора