Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
МЕТОДИ ЧИСЕЛЬНОГО РОЗВЯЗУВАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ.
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
Інститут комп’ютерних технологій, автоматики та метрології
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Захист інформації
Інформація про роботу
Рік:
2007
Тип роботи:
Лабораторна робота
Предмет:
Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем
Група:
ІБ
Варіант:
19
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ “ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА”
ІКТА, кафедра “Захист інформації”
Звіт
з ЛАБОРАТОРНої РОБОТи № 6
З КУРСУ “ Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем ”
НА ТЕМУ: “ МЕТОДИ ЧИСЕЛЬНОГО РОЗВЯЗУВАННЯ
диференціАЛЬНИХ рівнянь“
Варіант 19
виконав: ст. гр. ІБ-2
Львів – 2007
Мета роботи – ознайомлення з методами чисельного інтегрування диференційних рівнянь
Короткі теоретичні відомості
Диференціальним називається рівняння, в яке входять похідні невідомої функції.
Приклад:
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (1)
EMBED Equation.3 (2)
Диференціальне рівняння (ДР), що містить лише одну незалежну змінну і похідні за нею, називають звичайними (ДР). Це, наприклад, рівняння (1). ДР, що містить декілька незалежних змінних і похідні за ними, називають рівняння в частинних похідних
Порядком ДР називається найвищий порядок похідної (або диференціалу), який входить в рівняння. Звичайне ДР (ЗДР) EMBED Equation.3-го порядку в загальному випадку має незалежну змінну, невідому функцію та її похідні (або диференціал) до EMBED Equation.3-го порядку включно:
EMBED Equation.3 (3)
EMBED Equation.3 - незалежна змінна;
EMBED Equation.3- невідома функція (залежна змінна);
EMBED Equation.3- похідні цієї функції.
Диференціальне рівняння EMBED Equation.3-го порядку, розв’язане відносно старшої похідної, може бути записано у вигляді:
EMBED Equation.3 (4)
Щоб розв’язати ЗДР, необхідно мати значення залежної змінної та (або) її похідних при деяких значення незалежної змінної.
Якщо ці значення задані при одному значенні незалежної змінної - така задача називається задачею з початковими умовами або задачею Коші.
Якщо ці значення задаються при EMBED Equation.3 або більше значеннях незалежної змінної - задача називається крайовою.
Значення залежної змінної та її похідних називаються ще додатковими умовами, котрі в задачі Коші називаються початковими, а в крайовій задачі - граничними.
Задача Коші
Задача Коші формулюється так:
Нехай задане ДР
EMBED Equation.3 (5)
з початковими умовами EMBED Equation.3. Потрібно знайти функцію EMBED Equation.3, що задовольняє дане рівняння, та початкову умову. Для одержання чисельний розв’язку цієї задачі спочатку обчислюють значення похідної, а потім задаючи малий приріст EMBED Equation.3, переходять до нової точки
EMBED Equation.3
Положення нової точки визначають за нахилом кривої, обчисленому з допомогою ДР. Таким чином, графік чисельного розв’язку являє собою послідовність коротких прямолінійних відрізків, якими апроксимується істинна крива EMBED Equation.3. Сам чисельний метод визначає порядок дій при переході від даної точки кривої до наступної.
Існують дві групи методів розв’язування задачі Коші.
Однокрокові методи. В них для знаходження наступної точки на кривій EMBED Equation.3 потрібна інформація лише про попередній крок. (Однокроковими є метод Ейлера та методи Руте-Кутта.)
Багатокрокові (або методи прогнозування та коригування). Для знаходження наступної точки кривої EMBED Equation.3 вимагається інформація більш ніж про одну з попередніх точок. До них належать методи Адамса, Мілна, Хеммінга.
Це чисельні методи розв’язування ДР. Вони дають розв’язок у вигляді таблиці значень.
2.ЗАВДАННЯ ДО ЛАБОРАТОРНОЇ РОБОТИ
Розв’язати чисельним методом звичайне диференційне рівняння.
Таблиця ідентифікаторів констант, змінних, функцій, використаних у програмі, та їх пояснення:
Текст програми мовою С
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
#define z 1
void func (double *y, double *ys, double t)
{
ys[0]=y[0]+y[0]*t*t*t;
}
void Adams (
void f (double *y, double *ys, double x),
double *y, int n, double tn,
double tk, int m, double eps)
{
double *k1, *k2, *k3, *k4, *q0, *q1, *q2, *q3,
*ya, *y0, *y1, *y2, *y3, h, xi, eps2,
dq2, dq1, dq0, d2q1, d2q0, d3q0;
int i, j, flag = 0;
if (m < 4) m = 4;
if (tn >= tk)
{ printf ("\nNe pravilny argumenty\n");
abort ();
}
if ((k1 =(double*)malloc ((4 + 4 + 4 + 1) * n * sizeof (double))) == 0)
{ printf ("\nPomilka rozpodilennia pamiaty\n");
abort ();
}
k2 = k1 + n; k3 = k2 + n; k4 = k3 + n;
y0 = k4 + n; y1 = y0 + n; y2 = y1 + n; y3 = y2 + n;
ya = y3 + n;
q0 = ya + n; q1 = q0 + n; q2 = q1 + n; q3 = q2 + n;
h = (tk - tn) / m;
eps = fabs (eps);
start:
xi = tn;
for (j = 0; j < n; j++) y0[j] = y[j];
f (y0, q0, xi);
for (j = 0; j < n; j++) q0[j] *= h;
xi += h;
for (i = 0; i < 3; i++)
{
f (&y0[i * n], k1, xi);
for (j = 0; j < n; j++)
{
k1[j] *= h;
ya[j] = y0[i*n+j] + k1[j] / 2.;
}
f (ya, k2, xi + (h / 2.));
for (j = 0; j < n; j++)
{
k2[j] *= h;
ya[j] = y0[i*n+j] + k2[j] / 2.;
}
f (ya, k3, xi + h / 2.);
for (j = 0; j < n; j++)
{
k3[j] *= h;
ya[j] = y0[i*n+j] + k3[j];
}
f (ya, k4, xi + h);
for (j = 0; j < n; j++) k4[j] *= h;
for (j = 0; j < n; j++)
y0[(i+1)*n+j] = y0[i*n+j] + (k1[j] + 2. * k2[j] + 2 * k3[j] + k4[j]) / 6.;
f (&y0[(i+1)*n], &q0[(i+1)*n], xi);
for (j = 0; j < n; j++) q0[((i+1)*n)+j] *= h;
xi += h;
}
again:
for (j = 0; j < n; j++)
{
dq2 = q3[j] - q2[j]; dq1 = q2[j] - q1[j]; dq0 = q1[j] - q0[j];
d2q1 = dq2 - dq1; d2q0 = dq1 - dq0;
d3q0 = d2q1 - d2q0;
ya[j] = y3[j] + (q3[j] + (dq2 / 2.) + (5. * d2q1 / 12.) + (3. * d3q0 / 8.));
y0[j] = y1[j]; y1[j] = y2[j]; y2[j] = y3[j]; y3[j] = ya[j];
q0[j] = q1[j]; q1[j] = q2[j]; q2[j] = q3[j];
}
f (y3, q3, xi);
for (j = 0; j < n; j++) q3[j] *= h;
xi += h;
if (xi < tk) goto again;
if (flag == 0)
flag = 1;
else
{
for (j = 0; j < n; j++)
{ eps2 = fabs (((y3[j] - y2[j]) / y2[j]));
if (eps2 > eps) break;
}
if (j == n)
{
for (j = 0; j < n; j++) y[j] = y3[j];
free (k1);
return;
}
}
h /= 2.;
goto start;
}
int main (void)
{
double y[z], xs, xe;
int i;
y[0] = 1;
xs = .0; xe = .1;
printf ("x = %5.3lg, y(%4.2lg) = %10.3lg\n", xs, xs, y[0]);
for (i = 0; i < 20; i++)
{
Adams (func, y, 1, xs, xe, 10, 1.e-3);
xs += 0.1; xe += 0.1;
printf ("x=%4.2lg, y(%4.2lf)=%4.4lf \n", xs, xs, y[0]);
}
return 0;
}
Результат роботи програми:
x= 0.1, y(0.10)=1.1045
x= 0.2, y(0.20)=1.2211
x= 0.3, y(0.30)=1.3517
x= 0.4, y(0.40)=1.5005
x= 0.5, y(0.50)=1.6736
x= 0.6, y(0.60)=1.8809
x= 0.7, y(0.70)=2.1370
x= 0.8, y(0.80)=2.4670
x= 0.9, y(0.90)=2.8947
x= 1, y(1.00)=3.4841
x= 1.1, y(1.10)=4.3243
x= 1.2, y(1.20)=5.5657
x= 1.3, y(1.30)=7.4801
x= 1.4, y(1.40)=10.5702
x= 1.5, y(1.50)=15.8406
x= 1.6, y(1.60)=25.3951
x= 1.7, y(1.70)=43.9590
x= 1.8, y(1.80)=83.0657
x= 1.9, y(1.90)=172.9941
x= 2, y(2.00)=401.5101
Висновок: на цій лабораторній роботі я ознайомився з методами чисельного інтегрування диференційних рівнянь
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора