Моделювання процесів теплопереносу.. Лабораторна робота з Моделювання. Робота № 200540

Перехід до торгівельного партнера Binance

Моделювання процесів теплопереносу.

Інформація про навчальний заклад

ВУЗ:

Національний університет Львівська політехніка

Інститут:

Не вказано

Факультет:

Не вказано

Кафедра:

Електронні обчислювальні машини

Інформація про роботу

Рік:

2015

Тип роботи:

Лабораторна робота

Предмет:

Моделювання

Група:

КІ-З

Завантажити

Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ Національний Університет “Львівська політехніка” Кафедра “Електронні обчислювальні машини” Лабораторна робота №2 з дисципліни “МОДЕЛЮВАННЯ” на тему : “Моделювання процесів теплопереносу” Виконав: Студент групи КІ-3 Львів – 2005 Мета роботи: Розробити програму для візуального відображення просторово-часового розподілу температури однорідного стержня шляхом чисельного інтегрування диференційного рівняння теплопровідності. Загальні відомості Одним із ефективних методів аналізу температурних режимів (як електронних пристроїв в цілому, так і окремих їх компонентів) є моделювання процесів теплопереносу за допомогою засобів обчислювальної техніки. Основою такого моделювання є чисельне інтегрування диференційних рівнянь, які описують процеси теплообміну. Рівняння теплопровідності (дифузії) у загальному випадку може бути записане наступним чином: EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* ARABIC \* MERGEFORMAT 1) де r - густина матеріалу об’єкту, p – коефіцієнт температуропроводності, q – коефіцієнт теплопередачі. Функція EMBED Equation.DSMT4 описує температуру об’єкту або різницю температур між температурою об’єкту та зовнішнього середовища. Функція EMBED Equation.DSMT4 визначає інтенсивність зовнішніх джерел тепла. Відомо, що рівняння GOTOBUTTON ZEqnNum155244 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum155244 \! \* MERGEFORMAT (1) належить до рівнянь параболічного типу. Для знаходження розв’язку цього рівняння в обмеженій частині простору необхідно задати певним чином початкові та граничні умови. Існує декілька типів граничних умов (граничні умови першого, другого та третього роду), в залежності від температурних режимів на границі області визначення рівняння (1). Початкові умови описують стан системи в початковий момент часу. Для рівняння GOTOBUTTON ZEqnNum155244 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum155244 \! \* MERGEFORMAT (1) задається неперервна функція EMBED Equation.DSMT4 : EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* ARABIC \* MERGEFORMAT 2) де G – область, в якій визначено функції EMBED Equation.DSMT4 та EMBED Equation.DSMT4 . Граничні умови визначають поведінку розв’язку на границі області G. Досліджувана система може знаходитись в контакті з іншими системами, які певним чином впливатимуть на неї. Характер цього впливу визначається типом граничних умов. Граничні умови першого роду : EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* ARABIC \* MERGEFORMAT 3) визначають значення функції EMBED Equation.DSMT4 на деякій поверхні S. Фізично це означає, що задається температура на границі області G. Граничні умови другого роду: EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* ARABIC \* MERGEFORMAT 4) визначають потік тепла через границю S. При цьому похідна визначена за напрямком зовнішньої нормальні до S. Граничні умови третього роду: EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* ARABIC \* MERGEFORMAT 5) дозволяють об’єднати граничні умови першого та другого роду та визначають теплообмін із зовнішнім середовищем за законом Ньютона. Граничні і початкові умови повинні бути узгодженими на поверхні S: EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* ARABIC \* MERGEFORMAT 6) Розглянемо однорідний стержень довжиною l. Кінці стержня контактують із іншими середовищем, через які може здійснюватися теплообмін. Вважатимемо, що стержень знаходиться в середовищі із деякою постійною температурою. Якщо під EMBED Equation.DSMT4 розглядати різницю температур між температурою стержня і температурою навколишнього середовища, то процес теплообміну може бути описаний за допомогою наступного рівняння теплопровідності: EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* ARABIC \* MERGEFORMAT 7) де EMBED Equation.DSMT4 - коефіцієнт температуропроводності, q – коефіцієнт теплопередачі. EMBED Visio.Drawing.6 Для такої системи розглянемо граничні умови третього роду, як найбільш загальні: EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* ARABIC \* MERGEFORMAT 8) Шляхом відповідного вибору функцій EMBED Equation.DSMT4 можна отримати граничні умови першого або другого роду. Зокрема, якщо через лівий кінець стержня проходить певний потік тепла, то покладаємо EMBED Equation.DSMT4 . Якщо температура правого кінця стержня підтримується постійною, то EMBED Equation.DSMT4 . Якщо через кінці стержня здійснюється теплообмін із зовнішнім середовищем за законом Ньютона (потік теплоти пропорційний градієнту температури), то EMBED Equation.DSMT4 . При цьому EMBED Equation.DSMT4 . Можна навести низку прикладів систем, процеси в яких описуються рівняннями (7) –(8). Корпус напівпровідникового приладу. З одного боку може міститися джерело тепла, тобто сам прилад, а з іншого – шасі пристрою або зовнішнє середовище. Відвід тепла від приладу здійснюється через теплопередачу до шасі та зовнішнього середовища. Радіатор для напівпровідникових приладів. Можливими є декілька варіантів розміщення приладів. Зокрема, прилади можуть бути розміщені з обох кінців стержня, а відвід тепла здійснюватиметься через теплообмін із зовнішнім середовищем уздовж стержня. Розглянемо реалізацію методу скінчених різниць (методу сіток) на прикладі рівняння MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT GOTOBUTTON ZEqnNum211270 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum211270 \! \* MERGEFORMAT (7) із граничними умовами GOTOBUTTON ZEqnNum666102 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum666102 \! \* MERGEFORMAT (8). Ідея методу полягає в заміні частинних похідних у рівнянні MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT GOTOBUTTON ZEqnNum211270 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum211270 \! \* MERGEFORMAT (7) різницевими співвідношеннями. З цією метою розіб’ємо двовимірну область D, що утворена просторовою координатою х, EMBED Equation.DSMT4 та часовою координатою t, EMBED Equation.DSMT4 , прямокутною сіткою із кроком h по x та кроком EMBED Equation.DSMT4 по часу. Під EMBED Equation.DSMT4 позначимо значення функції EMBED Equation.DSMT4 в вузлах сітки із координатами EMBED Equation.DSMT4 та EMBED Equation.DSMT4 . Не зменшуючи загальності покладемо у рівнянні MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT GOTOBUTTON ZEqnNum211270 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum211270 \! \* MERGEFORMAT (7) коефіцієнт температуропроводності EMBED Equation.DSMT4 та замінимо похідні різницевими співвідношеннями. Існує декілька варіантів апроксимації похідних. Використовуючи для обчислення похідних апроксимаційну схему першого порядку, отримуємо: EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* ARABIC \* MERGEFORMAT 9) EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* ARABIC \* MERGEFORMAT 10) Підставивши співвідношення GOTOBUTTON ZEqnNum545321 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum545321 \! \* MERGEFORMAT (9) та GOTOBUTTON ZEqnNum143612 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum143612 \! \* MERGEFORMAT (10) в MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT GOTOBUTTON ZEqnNum211270 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum211270 \! \* MERGEFORMAT (7) отримуємо наступну різницеву схему: EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* ARABIC \* MERGEFORMAT 11) Дана схема називається явною, оскільки дозволяє безпосередньо знайти значення EMBED Equation.DSMT4 за значенням EMBED Equation.DSMT4 , отриманими в попередній момент часу. Формулу GOTOBUTTON ZEqnNum211201 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum211201 \! \* MERGEFORMAT (11) можна переписати наступним чином: EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* ARABIC \* MERGEFORMAT 12) Серйозним недоліком явної різницевої схеми є необхідність забезпечення малого кроку по t. Дійсно, із GOTOBUTTON ZEqnNum887491 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum887491 \! \* MERGEFORMAT (12) випливає, що коли EMBED Equation.DSMT4 , MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* ARABIC \* MERGEFORMAT 13) то розв’язок буде нестійким. Значно менш чутливими до вибору кроку інтегрування є так звані неявні схеми. Вони можуть бути отримані, якщо значення похідної за координатою EMBED Equation.DSMT4 обчислювати не в момент часу EMBED Equation.DSMT4 , а в момент EMBED Equation.DSMT4 . Відповідно до цього маємо: EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* ARABIC \* MERGEFORMAT 14) Оскільки EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* ARABIC \* MERGEFORMAT 15) то отримуємо наступну неявну різницеву схему: EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* ARABIC \* MERGEFORMAT 16) Рівність GOTOBUTTON ZEqnNum603335 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum603335 \! \* MERGEFORMAT (16) можна записати у вигляді EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* ARABIC \* MERGEFORMAT 17) Співвідношенню GOTOBUTTON ZEqnNum488867 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum488867 \! \* MERGEFORMAT (17) в загальному випадку відповідає нескінченна система лінійних алгебраїчних рівнянь, яка у випадку обмеженої області D буде скінченої розмірності. Для знаходження розв’язку рівняння MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT GOTOBUTTON ZEqnNum211270 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum211270 \! \* MERGEFORMAT (7) за допомогою методу сіток необхідно записати дискретні наближення, що відповідають початковим та граничним умовам. Початкові умови GOTOBUTTON ZEqnNum497393 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum497393 \! \* MERGEFORMAT (2) можна подати наступним чином: EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* ARABIC \* MERGEFORMAT 18) Для запису граничних умов GOTOBUTTON ZEqnNum866018 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum866018 \! \* MERGEFORMAT (8) похідні замінюємо їх дискретними наближеннями, використовуючи апроксимаційні формули першого порядку: EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* ARABIC \* MERGEFORMAT 19) Розглянемо рекурентні співвідношення із урахуванням граничних та початкових умов для явної схеми типу GOTOBUTTON ZEqnNum301733 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum301733 \! \* MERGEFORMAT (12). Граничні та початкові умови. EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* ARABIC \* MERGEFORMAT 20) Рекурентні співвідношення із урахуванням граничних умов. EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* ARABIC \* MERGEFORMAT 21) EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* ARABIC \* MERGEFORMAT 22) Аналогічно можна отримати систему лінійних рівнянь для неявної схеми типу GOTOBUTTON ZEqnNum198128 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum198128 \! \* MERGEFORMAT (17). Для отримання більш компактних співвідношень введемо наступні позначення: EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* ARABIC \* MERGEFORMAT 23) Тоді система алгебраїчних рівнянь набуває вигляду: EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* ARABIC \* MERGEFORMAT 24) EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* ARABIC \* MERGEFORMAT 25) При використанні неявної схеми граничні умови записуються аналогічно та виражаються співвідношеннями GOTOBUTTON ZEqnNum897982 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum897982 \! \* MERGEFORMAT (20). Зауважимо, що співвідношення GOTOBUTTON ZEqnNum793999 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum793999 \! \* MERGEFORMAT (25) еквівалентне співвідношенню GOTOBUTTON ZEqnNum889261 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum889261 \! \* MERGEFORMAT (22), із заміною відліку часу в точці EMBED Equation.DSMT4 на відлік в точці EMBED Equation.DSMT4 . Порядок використання явної і неявної схеми є однаковим. Для вибраного значення EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 знаходимо значення EMBED Equation.DSMT4 за значеннями EMBED Equation.DSMT4 , використовуючи співвідношеннями GOTOBUTTON ZEqnNum311318 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum311318 \! \* MERGEFORMAT (21) GOTOBUTTON ZEqnNum135445 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum135445 \! \* MERGEFORMAT (22) для явної схеми, або шляхом розв’язку системи рівнянь GOTOBUTTON ZEqnNum406909 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum406909 \! \* MERGEFORMAT (24) із використанням співвідношень GOTOBUTTON ZEqnNum624478 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum624478 \! \* MERGEFORMAT (25), якщо схема є неявною. Коли EMBED Equation.DSMT4 , то значення EMBED Equation.DSMT4 знаходимо за співвідношеннями GOTOBUTTON ZEqnNum311262 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum311262 \! \* MERGEFORMAT (20), що випливають із граничних та початкових умов. Текст програми:

Лабораторна робота Моделювання

2015

Коментарі

Ви не можете залишити коментар. Для цього, будь ласка, або зареєструйтесь.

Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!

поділитись