Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Моделювання процесів теплопереносу.
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Електронні обчислювальні машини
Інформація про роботу
Рік:
2005
Тип роботи:
Лабораторна робота
Предмет:
Моделювання
Група:
КІ-З
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
Національний Університет “Львівська політехніка”
Кафедра “Електронні обчислювальні машини”
Лабораторна робота №2
з дисципліни “МОДЕЛЮВАННЯ”
на тему : “Моделювання процесів теплопереносу”
Виконав:
Студент групи КІ-3
Львів – 2005
Мета роботи:
Розробити програму для візуального відображення просторово-часового розподілу температури однорідного стержня шляхом чисельного інтегрування диференційного рівняння теплопровідності.
Загальні відомості
Одним із ефективних методів аналізу температурних режимів (як електронних пристроїв в цілому, так і окремих їх компонентів) є моделювання процесів теплопереносу за допомогою засобів обчислювальної техніки. Основою такого моделювання є чисельне інтегрування диференційних рівнянь, які описують процеси теплообміну.
Рівняння теплопровідності (дифузії) у загальному випадку може бути записане наступним чином:
EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* ARABIC \* MERGEFORMAT 1)
де r - густина матеріалу об’єкту, p – коефіцієнт температуропроводності, q – коефіцієнт теплопередачі. Функція EMBED Equation.DSMT4 описує температуру об’єкту або різницю температур між температурою об’єкту та зовнішнього середовища. Функція EMBED Equation.DSMT4 визначає інтенсивність зовнішніх джерел тепла.
Відомо, що рівняння GOTOBUTTON ZEqnNum155244 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum155244 \! \* MERGEFORMAT (1) належить до рівнянь параболічного типу. Для знаходження розв’язку цього рівняння в обмеженій частині простору необхідно задати певним чином початкові та граничні умови. Існує декілька типів граничних умов (граничні умови першого, другого та третього роду), в залежності від температурних режимів на границі області визначення рівняння (1).
Початкові умови описують стан системи в початковий момент часу. Для рівняння GOTOBUTTON ZEqnNum155244 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum155244 \! \* MERGEFORMAT (1) задається неперервна функція EMBED Equation.DSMT4 :
EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* ARABIC \* MERGEFORMAT 2)
де G – область, в якій визначено функції EMBED Equation.DSMT4 та EMBED Equation.DSMT4 .
Граничні умови визначають поведінку розв’язку на границі області G. Досліджувана система може знаходитись в контакті з іншими системами, які певним чином впливатимуть на неї. Характер цього впливу визначається типом граничних умов.
Граничні умови першого роду :
EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* ARABIC \* MERGEFORMAT 3)
визначають значення функції EMBED Equation.DSMT4 на деякій поверхні S. Фізично це означає, що задається температура на границі області G.
Граничні умови другого роду:
EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* ARABIC \* MERGEFORMAT 4)
визначають потік тепла через границю S. При цьому похідна визначена за напрямком зовнішньої нормальні до S.
Граничні умови третього роду:
EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* ARABIC \* MERGEFORMAT 5)
дозволяють об’єднати граничні умови першого та другого роду та визначають теплообмін із зовнішнім середовищем за законом Ньютона.
Граничні і початкові умови повинні бути узгодженими на поверхні S:
EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* ARABIC \* MERGEFORMAT 6)
Розглянемо однорідний стержень довжиною l. Кінці стержня контактують із іншими середовищем, через які може здійснюватися теплообмін. Вважатимемо, що стержень знаходиться в середовищі із деякою постійною температурою.
Якщо під EMBED Equation.DSMT4 розглядати різницю температур між температурою стержня і температурою навколишнього середовища, то процес теплообміну може бути описаний за допомогою наступного рівняння теплопровідності:
EMBED Equation.DSMT4
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* ARABIC \* MERGEFORMAT 7)
де EMBED Equation.DSMT4 - коефіцієнт температуропроводності, q – коефіцієнт теплопередачі.
EMBED Visio.Drawing.6
Для такої системи розглянемо граничні умови третього роду, як найбільш загальні:
EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* ARABIC \* MERGEFORMAT 8)
Шляхом відповідного вибору функцій EMBED Equation.DSMT4 можна отримати граничні умови першого або другого роду. Зокрема, якщо через лівий кінець стержня проходить певний потік тепла, то покладаємо EMBED Equation.DSMT4 . Якщо температура правого кінця стержня підтримується постійною, то EMBED Equation.DSMT4 . Якщо через кінці стержня здійснюється теплообмін із зовнішнім середовищем за законом Ньютона (потік теплоти пропорційний градієнту температури), то EMBED Equation.DSMT4 . При цьому EMBED Equation.DSMT4 . Можна навести низку прикладів систем, процеси в яких описуються рівняннями (7) –(8).
Корпус напівпровідникового приладу. З одного боку може міститися джерело тепла, тобто сам прилад, а з іншого – шасі пристрою або зовнішнє середовище. Відвід тепла від приладу здійснюється через теплопередачу до шасі та зовнішнього середовища.
Радіатор для напівпровідникових приладів. Можливими є декілька варіантів розміщення приладів. Зокрема, прилади можуть бути розміщені з обох кінців стержня, а відвід тепла здійснюватиметься через теплообмін із зовнішнім середовищем уздовж стержня.
Розглянемо реалізацію методу скінчених різниць (методу сіток) на прикладі рівняння MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT GOTOBUTTON ZEqnNum211270 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum211270 \! \* MERGEFORMAT (7) із граничними умовами GOTOBUTTON ZEqnNum666102 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum666102 \! \* MERGEFORMAT (8). Ідея методу полягає в заміні частинних похідних у рівнянні MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT GOTOBUTTON ZEqnNum211270 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum211270 \! \* MERGEFORMAT (7) різницевими співвідношеннями. З цією метою розіб’ємо двовимірну область D, що утворена просторовою координатою х, EMBED Equation.DSMT4 та часовою координатою t, EMBED Equation.DSMT4
, прямокутною сіткою із кроком h по x та кроком EMBED Equation.DSMT4 по часу.
Під EMBED Equation.DSMT4 позначимо значення функції EMBED Equation.DSMT4 в вузлах сітки із координатами EMBED Equation.DSMT4 та EMBED Equation.DSMT4 . Не зменшуючи загальності покладемо у рівнянні MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT GOTOBUTTON ZEqnNum211270 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum211270 \! \* MERGEFORMAT (7) коефіцієнт температуропроводності EMBED Equation.DSMT4 та замінимо похідні різницевими співвідношеннями. Існує декілька варіантів апроксимації похідних. Використовуючи для обчислення похідних апроксимаційну схему першого порядку, отримуємо:
EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* ARABIC \* MERGEFORMAT 9)
EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* ARABIC \* MERGEFORMAT 10)
Підставивши співвідношення GOTOBUTTON ZEqnNum545321 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum545321 \! \* MERGEFORMAT (9) та GOTOBUTTON ZEqnNum143612 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum143612 \! \* MERGEFORMAT (10) в MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT GOTOBUTTON ZEqnNum211270 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum211270 \! \* MERGEFORMAT (7) отримуємо наступну різницеву схему:
EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* ARABIC \* MERGEFORMAT 11)
Дана схема називається явною, оскільки дозволяє безпосередньо знайти значення EMBED Equation.DSMT4 за значенням EMBED Equation.DSMT4 , отриманими в попередній момент часу. Формулу GOTOBUTTON ZEqnNum211201 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum211201 \! \* MERGEFORMAT (11) можна переписати наступним чином:
EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* ARABIC \* MERGEFORMAT 12)
Серйозним недоліком явної різницевої схеми є необхідність забезпечення малого кроку по t. Дійсно, із GOTOBUTTON ZEqnNum887491 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum887491 \! \* MERGEFORMAT (12) випливає, що коли
EMBED Equation.DSMT4 , MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* ARABIC \* MERGEFORMAT 13)
то розв’язок буде нестійким. Значно менш чутливими до вибору кроку інтегрування є так звані неявні схеми. Вони можуть бути отримані, якщо значення похідної за координатою EMBED Equation.DSMT4 обчислювати не в момент часу EMBED Equation.DSMT4 , а в момент EMBED Equation.DSMT4 . Відповідно до цього маємо:
EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* ARABIC \* MERGEFORMAT 14)
Оскільки
EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* ARABIC \* MERGEFORMAT 15)
то отримуємо наступну неявну різницеву схему:
EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* ARABIC \* MERGEFORMAT 16)
Рівність GOTOBUTTON ZEqnNum603335 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum603335 \! \* MERGEFORMAT (16) можна записати у вигляді
EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* ARABIC \* MERGEFORMAT 17)
Співвідношенню GOTOBUTTON ZEqnNum488867 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum488867 \! \* MERGEFORMAT (17) в загальному випадку відповідає нескінченна система лінійних алгебраїчних рівнянь, яка у випадку обмеженої області D буде скінченої розмірності.
Для знаходження розв’язку рівняння MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT GOTOBUTTON ZEqnNum211270 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum211270 \! \* MERGEFORMAT (7) за допомогою методу сіток необхідно записати дискретні наближення, що відповідають початковим та граничним умовам. Початкові умови GOTOBUTTON ZEqnNum497393 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum497393 \! \* MERGEFORMAT (2) можна подати наступним чином:
EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* ARABIC \* MERGEFORMAT 18)
Для запису граничних умов GOTOBUTTON ZEqnNum866018 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum866018 \! \* MERGEFORMAT (8) похідні замінюємо їх дискретними наближеннями, використовуючи апроксимаційні формули першого порядку:
EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* ARABIC \* MERGEFORMAT 19)
Розглянемо рекурентні співвідношення із урахуванням граничних та початкових умов для явної схеми типу GOTOBUTTON ZEqnNum301733 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum301733 \! \* MERGEFORMAT (12).
Граничні та початкові умови.
EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* ARABIC \* MERGEFORMAT 20)
Рекурентні співвідношення із урахуванням граничних умов.
EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* ARABIC \* MERGEFORMAT 21)
EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* ARABIC \* MERGEFORMAT 22)
Аналогічно можна отримати систему лінійних рівнянь для неявної схеми типу GOTOBUTTON ZEqnNum198128 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum198128 \! \* MERGEFORMAT (17). Для отримання більш компактних співвідношень введемо наступні позначення:
EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* ARABIC \* MERGEFORMAT 23)
Тоді система алгебраїчних рівнянь набуває вигляду:
EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* ARABIC \* MERGEFORMAT 24)
EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* ARABIC \* MERGEFORMAT 25)
При використанні неявної схеми граничні умови записуються аналогічно та виражаються співвідношеннями GOTOBUTTON ZEqnNum897982 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum897982 \! \* MERGEFORMAT (20). Зауважимо, що співвідношення GOTOBUTTON ZEqnNum793999 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum793999 \! \* MERGEFORMAT (25) еквівалентне співвідношенню GOTOBUTTON ZEqnNum889261 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum889261 \! \* MERGEFORMAT (22), із заміною відліку часу в точці EMBED Equation.DSMT4 на відлік в точці EMBED Equation.DSMT4 .
Порядок використання явної і неявної схеми є однаковим. Для вибраного значення EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 знаходимо значення EMBED Equation.DSMT4 за значеннями EMBED Equation.DSMT4 , використовуючи співвідношеннями GOTOBUTTON ZEqnNum311318 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum311318 \! \* MERGEFORMAT (21) GOTOBUTTON ZEqnNum135445 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum135445 \! \* MERGEFORMAT (22) для явної схеми, або шляхом розв’язку системи рівнянь GOTOBUTTON ZEqnNum406909 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum406909 \! \* MERGEFORMAT (24) із використанням співвідношень GOTOBUTTON ZEqnNum624478 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum624478 \! \* MERGEFORMAT (25), якщо схема є неявною. Коли EMBED Equation.DSMT4 , то значення EMBED Equation.DSMT4 знаходимо за співвідношеннями GOTOBUTTON ZEqnNum311262 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum311262 \! \* MERGEFORMAT (20), що випливають із граничних та початкових умов.
Текст програми:
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора