Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Обчислення спектральних характеристик сигналу.
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Електронні обчислювальні машини
Інформація про роботу
Рік:
2006
Тип роботи:
Лабораторна робота
Предмет:
Обробка сигналів
Група:
КІ-4
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
Міністерство освіти і науки України
Національний університет „Львівська політехніка”
Кафедра електронних
обчислювальних машин
Звіт
про виконання лабораторної роботи № 4
з курсу „ Обробка сигналів ”
Тема:
Обчислення спектральних характеристик сигналу
Виконав:
ст. гр. КІ-4
Львів – 2006
Мета роботи: Дослідити дискретне перетворення Фур'є (ДПФ) і алгоритм швидкого перетворення Фур'є (ШПФ) за основою два як засіб ефективного обчислення спектральних характеристик періодичних і неперіодичних сигналів, а також фільтрації і апроксимації сигналів.
Завдання
Порядок виконання роботи
Теоретичні відомості
Прямим та оберненим дискретним перетворенням Фур'є (ДПФ) називають пару взаємно однозначних лінійних перетворень виду (1), (2)
EMBED Equation.3 (пряме) (1)
EMBED Equation.3 (обернене) (2)
де EMBED Equation.3,EMBED Equation.3.
Пряме дискретне перетворення Фур'є (1) призначено для виконання Фур’є-аналізу, тобто визначає спектральні компоненти (складові) EMBED Equation.3 сигналу EMBED Equation.3. Обернене перетворення Фур'є (2) забезпечує Фур’є-синтез сигналу EMBED Equation.3 за заданим набором спектральних компонент EMBED Equation.3. У загальному випадку послідовності EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 - комплексні. Якщо ж EMBED Equation.3 - дійсна послідовність, то EMBED Equation.3 є комплексно спряженою: EMBED Equation.3, EMBED Equation.3, EMBED Equation.3. Для дійсних сигналів спектральні компоненти з номерами EMBED Equation.3 відповідають від’ємним частотам і не мають фізичного змісту.
Швидким перетворенням Фур'є (ШПФ) називають групу алгоритмів, що суттєво зменшують обчислювальні затрати при обчисленні прямого чи оберненого перетворень у порівнянні з безпосереднім способом, що ґрунтується на формулах (1) чи (2). Серед відомих алгоритмів ШПФ найпростішу структуру має алгоритм Кулі-Тьюкі за основою два (ШПФ2). Його основна ідея полягає в рекурсивному (при EMBED Equation.3) зведенні EMBED Equation.3-точкових (EMBED Equation.3) перетворень до двох EMBED Equation.3-точкових. При часовому проріджені з цією метою застосовується формула розкладу (3)
EMBED Equation.3 (3)
де EMBED Equation.3, EMBED Equation.3, EMBED Equation.3. Якщо обчислюється EMBED Equation.3-точкове перетворення комплексної послідовності, то кількість операцій комплексного множення EMBED Equation.3 і додавання EMBED Equation.3 в алгоритмі ШПФ рівні:EMBED Equation.3, EMBED Equation.3. У порівнянні з безпосереднім способом обчислення перетворень (1) чи (2), який потребує EMBED Equation.3 комплексних множень і EMBED Equation.3 комплексних додавань, обчислювальні затрати суттєво скорочуються - приблизно в EMBED Equation.3 раз (наприклад, при EMBED Equation.3- в сотні раз).
Крім ноpмуючого постійного множника EMBED Equation.3, в оберненому ДПФ маємо комплексно-спряжені повертаючі множникиEMBED Equation.3. Для уникнення розробки алгоритму швидкого оберненого ДПФ використовуємо рівність EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 , що отримується з (2) в результаті операції комплексного спряження. Інакше кажучи, для обчислення оберненого ДПФ послідовності EMBED Equation.3 за допомогою алгоритму прямого ШПФ достатньо: знайти комплексно спряжену послідовність EMBED Equation.3; обчислити її пряме ДПФ - EMBED Equation.3; виконати операції комплексного спряження і множення на нормуючий множник отриманої послідовності: EMBED Equation.3* .
Спектральний аналіз неперіодичних сигналів. Для неперіодичного сигналу EMBED Equation.3 спектральне представлення описується парою інтегральних перетворень
EMBED Equation.3, (пряме), (4)
EMBED Equation.3, (обернене).(5)
При цьому має місце рівність Парсеваля (6),
EMBED Equation.3. (6)
Нехай EMBED Equation.3 для EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 і одночасно EMBED Equation.3 для EMBED Equation.3. Покладемо EMBED Equation.3, EMBED Equation.3, EMBED Equation.3. Тоді для наближеного обчислення EMBED Equation.3 у виразі (4), використовуючи формулу чисельного інтегрування прямокутників, отримуємо вираз (7)
EMBED Equation.3, EMBED Equation.3. (7)
Таким чином, для обчислення спектру неперіодичного сигналу EMBED Equation.3 (з кроком EMBED Equation.3 у смузі (EMBED Equation.3) ) можна скористатися формулою ДПФ і, як наслідок, алгоритмами ШПФ. Для підвищення роздільної здатності (зменшення EMBED Equation.3 в EMBED Equation.3 раз) потрібно фактично чи формально (для фінітних сигналів, що рівні нулю при EMBED Equation.3) збільшити EMBED Equation.3 (в EMBED Equation.3 раз), доповнивши послідовність EMBED Equation.3 нульовими відліками: EMBED Equation.3 при EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 при EMBED Equation.3. Для розширення смуги аналізу в EMBED Equation.3 раз зменшуємо EMBED Equation.3 (збільшуємо в EMBED Equation.3 раз EMBED Equation.3).
Спектральний аналіз періодичних сигналів. Нехай EMBED Equation.3- періодичний сигнал з періодом EMBED Equation.3, тобто для довільних EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3, EMBED Equation.3 має місце рівність: EMBED Equation.3. Якщо сигнал EMBED Equation.3 описується неперервною або кусочно-неперервною функцією, то його можна подати у вигляді ряду Фур'є
EMBED Equation.3, (8) EMBED Equation.3, (9)
де EMBED Equation.3- основна гармоніка.
Коефіцієнти EMBED Equation.3 називають частотним спектром, EMBED Equation.3 - амплітудним спектром, EMBED Equation.3 - фазовим спектром періодичного сигналу EMBED Equation.3. Нехай EMBED Equation.3, EMBED Equation.3. Співставлення виразів (1) і (9) засвідчує, що пряме ДПФ наближено (за формулою чисельного інтегрування прямокутників) коефіцієнти розкладу сигналу в ряд Фур'є: EMBED Equation.3, EMBED Equation.3.
Рівність Парсеваля тут має вигляд: EMBED Equation.3.
При збільшенні EMBED Equation.3, зменшенні EMBED Equation.3, похибка (методу) такого задання зменшується. Подібне має місце і при оберненому перетворенні, тобто наближенні сигналу відрізком ряду Фур'є, коли обмежуються границі сумування в (8).
Фільтрація сигналів. Математично процес фільтрації полягає у перетворенні спектру сигналу у відповідності з заданою функцією, що визначає спектральну характеристику фільтра. Приклади найпростіших фільтрів: 1) ідеальний фільтр нижніх частот, котрий гасить (обнулює) спектральні компоненти для EMBED Equation.3; 2) смуговий фільтр, котрий гасить компоненти, що розташовані поза деякою смугою. При цьому навіть наближене зберігання енергетичних залежностей за рівністю Парсеваля тут не вимагається.
Апроксимація сигналів. Апроксимація сигналів на основі перетворення Фур'є є частковим випадком фільтрації і полягає у селекції тільки частини коефіцієнтів ряду Фур'є (спектральних компонент), у котрих зосереджена необхідна (для забезпечення заданої точності апроксимації) частина енергії сигналу.
Текст програми:
clc; clear all; close all
A=6; c=9; f=c;
T=2*f;
m=10; N=2^m; p=N/8;
k1=N/2-p; k2=N/2+p;
dt=T/N;
t=-c:dt:f-dt;
t11=[t(1:N/2)]; t12=[t(N/2+1:N)];
k=A/c; x11=k*t11+A;
l=-A/f; x12=l*t12+A;
x=[x11 x12]; %Задання вхідного сигналу
Sx=fft(x, length(x))/N; %Знаходження прямого перетворення Фур'є
subplot(3, 1, 1), plot(t, x), title('Input data');
subplot(3, 1, 2), plot(1:N, real(Sx)), title('Real part series Fourier');
subplot(3, 1, 3), plot(1:N, imag(Sx)), title('Imag part series Fourier');
figure(2)
Sx1=[Sx(1:k1), zeros(1, k2-k1), Sx(k2+1:N)]; %Прорідження спектру
subplot(4, 1, 1), plot(1:N, real(Sx)),title('Real part series Fourier');
subplot(4, 1, 2), plot(1:N, real(Sx1)),title('Real part modif series Fourier');
subplot(4, 1, 3), plot(1:N, imag(Sx)),title('Imag part series Fourier');
subplot(4, 1, 4), plot(1:N, imag(Sx1)),title('Imag part modif series Fourier');
x1= N*ifft(Sx, length(Sx)); %Знаходження оберненого перетворення Фур'є
xm1= N*ifft(Sx1, length(Sx1));
dif=x-xm1;
figure(3)
subplot(4, 1, 1), plot(t, x), title('Input data');
subplot(4, 1, 2), plot(t, real(x1)), title('Real part output signal');
subplot(4, 1, 3), plot(t, real(xm1)), title('Real part modif output signal');
subplot(4, 1, 4), plot(t, real(dif)), title('Different Real part');
Результати Фур’є-синтезу сигналу за вихідною і модифікованою спектральними послідовностями (у табличному вигляді) та їх графіки
Висновки: виконуючи дану лабораторну роботу я дослідив дискретне перетворення Фур’є (ДПФ) і алгоритм швидкого перетворення Фур’є (ШПФ) як засіб ефективного обчислення спектральних характеристик періодичних і неперіодичних сигналів, а також фільтрації та апроксимації сигналів.
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора