Міністерство освіти і науки України Національний університет „Львівська політехніка” Кафедра фотограмметрії та геоінформатики Лабораторна робота №3 З дисципліни «Основи картографії» на тему: Побудова локсодромії і ортодромії на картографічних сітках деяких картографічних проекцій Львів-2006 Мета роботи–закріпити теоретичні знання з курсу „Основи картографії” за темою „Побудова локсодромії і ортодромії для різних картографічних проекцій”. Послідовність виконання роботи Розгляд загальних положень: визначення ортодромії і локсодромії, їх графічне зображення і побудова на різних картографічних проекціях. Обчислення проміжних точок ортодромії та локсодромії, азимутів цих ліній і ортодромічної поправки. Визначення віддалі між пунктами вздовж ортодромії та локсодромії. Побудова на картографічній сітці ортодромії та локсодромії. Локсодромія – лінія, що перетинає меридіани в проекції під одним і тим же кутом. На картографічних сітках різних проекцій лінія локсодромії зображується по-різному. Так, наприклад, у рівнокутній циліндричній проекції, де меридіани і паралелі на карті зображуються взаємно перпендикулярними лініями, локсодромія є прямою лінією, що перетинає меридіани під одним і тим же кутом. Проекції, в яких локсодромія зображується прямою лінією, ще називають локсодромічними. Для нанесення локсодромії на карту, побудовану у рівнокутній циліндричній проекції, досить з’єднати початкову (пункт А) і кінцеву (пункт В) точки. Це зручне і очевидне прокладання шляху прямою лінією обумовило застосування карт, побудованих у цій проекції, в морській навігації та авіації. У разі необхідності прокладки локсодромії на картах іншої проекції координати її проміжних точок знімають з карти рівнокутної циліндричної проекції. Ортодромія – це найкоротша віддаль між пунктами. На картографічних сітках різних проекцій ортодромія зображується по-різному. Зокрема, на картах, побудованих у рівнокутній циліндричній проекції ортодромія зображується у вигляді складної трансцендентної кривої. На картах, побудованих у перспективній проекції з центром проектування, що знаходиться в центрі земної кулі, ортодромія зображується у вигляді прямої лінії. Ці проекції мають назву гномонічних чи центральних проекцій і вони є частковим випадком азимутальних проекцій. Лінії локсодромії та ортодромії називають лініями положення. Їх використовують для розв’язання практичних задач на картах. Побудова на карті ортодромії і локсодромії. Побудова ортодромії. На картах, побудованих у перспективній центральній (поперечній гномонічній) проекції ортодромію отримують, з’єднавши прямою лінією два пункти, задані географічними координатами φ і λ. Якщо прийняти земну поверхню умовно за кулю, то ортодромія в проекції є зображенням дуги великого кола на кулі. Для карти, побудованій в іншій проекції (зокрема в циліндричній) послідовність нанесення ортодромії наступна: визначають географічні координати ряду точок ортодромії, що лежать на дузі великого кола, яка з’єднує задані точки А і В. Кількість проміжних точок залежить від потреб точності побудови ортодромії та практичних задач; за отриманими географічними координатами ці точки переносять на карту і з’єднують плавною кривою. Побудова локсодромії. Нанесення локсодромії на карту, яка побудована в прямій рівнокутній циліндричній проекції (проекції Меркатора) аналогічне нанесенню ортодромії на карту, побудовану у центральній (гномонічній) перспективній проекції. На картографічну сітку проекції Меркатора за географічними координатами φ, λ наносять пункти А і В та з’єднують їх прямою лінією, що дає зображення локсодромії. Для карт, складених в інших проекціях (зокрема в азимутальній чи конічній) послідовність нанесення локсодромії наступна: визначають географічні координати проміжних точок локсодромії між пунктами А і В; переносять отримані проміжні точки на картографічну сітку даної карти і з’єднують їх плавною кривою. Обчислення проміжних точок ортодромії і локсодромії, азимутів цих ліній та ортодромічної поправки. Виконаємо обчислення проміжних точок ортодромії і локсодромії, азимутів цих ліній та ортодромічної поправки на контрольному прикладі. 2.1. Обчислення широт проміжних точок ортодромії і азимута в її початковій точці (А). Для обчислень скористаємося формулами: tg φi = tg φA · cosec(u) · sin [(u – λA) +λi], (1) де ctg u = ctg φA · tg φB · cosec (λB – λA) – ctg (λB – λA), (2) ctg άopm = ctg u · sin φA . (3) 2.2. Обчислення широт проміжних точок локсодромії і її азимута άлок . Обчислення виконуються за формулами: tg άлок = (λB – λA) / (DB – DA) = 3840΄/ 2316,2΄ = 1,65789 , άлок = 58,9˚ , Di = DA + (λi – λA) · ctg άлок , (4) DA = 3456,8΄; ctg άлок = 0,60324 . D , хвил. – меридіональні частини (див. додаток 9 [1] ). Значення широт точок локсодромії φі визначаються за допомогою таблиці (додаток 9 [1]) за знайденими значеннями D΄. 2.3. Визначення кута між локсодромією і ортодромією (ортодромічна поправка) в проекції Меркатора. Ортодромічна поправка для початкового пункту ортодромії обчислюється за формулою: δ = (λB – λA) · sin φm / 2 , (5) де φm = (φА + φВ) / 2 = 59,5˚ ; δ=64˚ · 0,4308 = 27,6˚. Тоді азимут ортодромії в початковому пункті А: άopm = άлок – δ = 58,9˚ - 27,6˚ = 31,3˚ Визначення віддалей між пунктами вздовж ортодромії і локсодромії. Визначення віддалі між пунктами вдовж ортодромії. Віддаль вздовж ортодромії σ для поверхні кулі спочатку обчислюється в хвилинах дуги за формулою: cos σ = sin φA · sin φB + cos φA · cos φB · cos (λB – λA), (6) а потім переводиться в кілометри за формулою: Sopm = R · σ / ρ΄ , (7) де середній радіус кривизни земної поверхні R вибирають з додатку 1 [1] для середнього значення широт пунктів А і В. Для нашого прикладу φср = (φА + φВ)/2 = 59,5˚, а R = 6388,61 км. Обчислення віддалі вздовж локсодромії. Для поверхні еліпсоїда її визначають за формулою: Sлок = (SB – SA) · sec άлок , (8) де SA , SB – довжини дуг меридіанів від екватора до паралелей з широтами φА , φВ (їх вибирають з додатку 6 [1]). Для поверхні кулі віддаль вздовж локсодромії визначають за формулою: Sлок = R · sec άлок · (φB – φA) / ρ˚. (9) В проекції Меркатора Sлок визначають за формулами: Sлок = (хВ - хА) · sec άлок = (уВ - уА) · cosec άлок , (10) де хА , хВ – абсциси, які в проекції Меркатора називають меридіональ-ними частинами D і визначають за формулою: х = D = (rk/Моd) · lg tg(45˚+φ/2) = (rk /Моd) · lg U. (11) Тут rk – радіус кулі на широті φk головної паралелі, де масштаб довжин в проекції Меркатора рівний одиниці; Моd = 0,43429448 – коефіцієнт (модуль) переходу від натуральних логарифмів до десяткових, а lg U вибирають з таблиць (додаток 3 [1]) за значеннями широт пунктів А і В. Для широти φk = ± 60° з додатку 4 [1] радіус паралелі рівний rk = 3197,158 км. Ординати уА , уВ визначають за формулою: y = (rk / ρ˚) · λ˚. (12) Визначення віддалей вздовж ортодромії і локсодромії шляхом вимірювань по карті. Для нормальної рівнокутної циліндричної проекції Меркатора ці віддалі визначають з врахуванням часткових масштабів довжин для кожної виміряної ділянки ортодромії і локсодромії. Sopm = ∑ (∆Sopm)/[(μo·106)·m] Sлок = ∑ (∆Sлок)/[(μo·106)·m] де ∆Sopm , ∆Sлок (мм) – виміряні відрізки ортодромії і локсодромії; m – масштаб довжин, який відповідає середній широті кожного відрізка.