Лабораторна робота № 5 Використання оператора циклу для розв’язання нелінійних скінчених (алгебричних чи трансцендентних) рівнянь методом Ньютона 1. Порядок виконання роботи 1.1. Скласти алгоритмічною мовою Фортран програму для розв’язання нелінійного рівняння методом Ньютона. 1.2. Відлагодити на комп’ютері складену програму. 1.3. Ввести числові дані та отримати результат. 1.4. Скласти звіт про роботу й захистити його. 2. Вказівки до виконання роботи Суть методу Ньютона, відомого ще під назвою методу дотичної, полягає у тому, що задавшись нульовим наближенням  EMBED Equation.DSMT4 
 кореня рівняння  EMBED Equation.DSMT4 
 (за нульове наближення кореня можна прийняти довільне значення х з інтервалу його пошуку), шукаємо його перше наближення  EMBED Equation.DSMT4 
 де  EMBED Equation.DSMT4 
 – поправка кореня на першій ітерації, яка обчислюється за формулою  EMBED Equation.DSMT4 
 Тут  EMBED Equation.DSMT4 
 – значення лівої частини рівняння, обчислене за нульовим  EMBED Equation.DSMT4 
 наближенням кореня,  EMBED Equation.DSMT4 
 – значення похідної лівої частини рівняння, обчислене за цим же наближенням. Далі, за першим наближенням  EMBED Equation.DSMT4 
 кореня на другій ітерації знаходимо його друге наближення і т.д. Ітераційний процес має вигляд  EMBED Equation.DSMT4 
 де  EMBED Equation.DSMT4 
 Ітераційний процес припиняють, коли задовольняється нерівність  EMBED Equation.DSMT4 
 де ε – задана похибка. Метод Ньютона гарантує збіжність тільки за таких умов: – на інтервалі пошуку кореня функція є монотонною, тобто перша похідна не змінює знаку  EMBED Equation.DSMT4 
 – на інтервалі пошуку кореня друга похідна не змінює знаку  EMBED Equation.DSMT4 
 – нульове  EMBED Equation.DSMT4 
 наближення кореня вибране так, що  EMBED Equation.DSMT4 
 Схема алгоритму розв’язання нелінійного скінченого рівняння методом Ньютона зображена на рис. 13. Ця схема алгоритму містить лічильник кількості ітерацій, про який уже йшлося вище. 1 Початок Кінець 10 так ні 13 Кінець ні 11 8 так  EMBED Equation.DSMT4 
 9 Повідомлення  EMBED Equation.DSMT4 
 5  EMBED Equation.DSMT4 
 4 3 2 Введення  EMBED Equation.DSMT4 
  EMBED Equation.DSMT4 
 6  EMBED Equation.DSMT4 
 7  EMBED Equation.DSMT4 
  EMBED Equation.DSMT4 
 12 Виведення x, j Рис. 13. Схема алгоритму розв’язання нелінійного скінченого рівняння методом Ньютона із використанням лічильника кількості ітерацій Увага! Метод Ньютона, на відміну від обох попередніх, вимагає на кожній ітерації крім обчислення значення функції  EMBED Equation.DSMT4 
 ще обчислення значення її похідної  EMBED Equation.DSMT4 
 Вираз цієї похідної для функції, заданої аналітично, слід знайти самостійно. Приклад. Необхідно скласти програму визначення методом Ньютона кореня рівняння  EMBED Equation.DSMT4 
 з точністю  = 0,0001 на інтервалі від а=0 до b=1,5. (Тут рівняння таке ж, як і у лабораторних роботах №3 і №4.) Похідна лівої частини рівняння має вигляд:  EMBED Equation.DSMT4 
 За нульове наближення кореня можна взяти будь-яке значення із заданого інтервалу, наприклад,  EMBED Equation.DSMT4 
 Один із можливих варіантів програми: Для виконання роботи за даною програмою слід виконати такі дії. Запустити програму і після появи на екрані дисплея повідомлення X0= ввести нульове наближення кореня, тобто 0,5 у довільному форматі, та натиснути клавішу “Enter”; після появи на екрані дисплея повідомлення EPS= ввести значення похибки 0.0001 та натиснути клавішу “Enter”; після появи на екрані дисплея повідомлення Jmax= ввести допустиме значення кількості ітерацій, наприклад, 30, та натиснути клавішу “Enter”. Програма автоматично введе вхідну інформацію, обчислить значення кореня, надрукує це значення та виконану кількість ітерацій до файла вихідної інформації: Korin = 0.1147439E+01 za 4 iteraciі і закінчить роботу. Значення кореня х та виконаної кількості ітерацій слід переписати з файла вихідної інформації. Увага! У даному випадку, обчислене значення кореня дещо відрізняється від знайдених у лабораторних роботах №3 і №4, однак знаходиться у межах заданої похибки. Рекомендується програму знаходження кореня запустити декілька разів, змінюючи при цьому нульове наближення кореня, значення похибки та допустиме значення кількості циклів, проаналізувати отримані результати і зробити висновки. У випадку невірно заданих вхідних даних чи помилки у програмі можливе повідомлення J > Jmax Вхідні дані для знаходження кореня нелінійного скінченого рівняння методом половинного ділення наведені у табл. 6 лабораторної роботи №3. Точність  = 0,0001.