Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Програмування чисельного інтегрування функції.
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2024
Тип роботи:
Лабораторна робота
Предмет:
Основи програмування та алгоритмічні мови
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
Лабораторна робота № 9
Програмування чисельного інтегрування функції
1. Порядок виконання роботи
1.1. Скласти алгоритмічною мовою Фортран програму чисельного інтегрування функції.
1.2. Відлагодити на комп’ютері складену програму.
1.3. Ввести числові дані та отримати результат.
1.4. Скласти звіт про роботу й захистити його.
2. Вказівки до виконання роботи
2.1. Чисельне інтегрування функції
В задачах електромеханіки досить часто виникає необхідність обчислення означених інтегралів.
Якщо функція неперервна на якомусь інтервалі і відома її первісна, то означений інтеграл від цієї функції в границях інтервалу можна обчислити за формулою Ньютона-Лейбніца. Однак на практиці у багатьох випадках інтегрування функції внаслідок її складності пов’язане із значними труднощами, а в окремих випадках нездійсненне. Крім того, дуже часто підінтегральна функція задається таблично (іноді графічно) і тоді можливість аналітичного інтегрування відпадає. У таких випадках застосовуються методи чисельного інтегрування, тобто знаходження означеного інтеграла чисельними методами.
Чисельне інтегрування є наближеним і полягає в обчисленні означеного інтеграла на підставі використання протабульованої функції, тобто значень підінтегральної функції у вузлах.
Для чисельного інтегрування функції, заданої аналітично, її необхідно перед інтегруванням протабулювати.
Геометрична інтерпретація означеного інтеграла EMBED Equation.DSMT4 – це площа, яка обмежується графіком функції EMBED Equation.DSMT4 , віссю абсцис і вертикальними прямими EMBED Equation.DSMT4 що відповідають абсцисам а, b границь інтервалу інтегрування (рис. 19).
Серед чисельних методів інтегрування широке застосування отримали методи прямокутників, трапецій і Сімпсона (парабол).
2.1.1. Метод прямокутників
Метод прямокутників передбачає обчислення означеного інтеграла за формулою (варіант 1)
EMBED Equation.DSMT4
де N – кількість рівновіддалених вузлів на інтервалі інтегрування; EMBED Equation.DSMT4 – значення підінтегральної функції у її EMBED Equation.DSMT4 вузлах, EMBED Equation.DSMT4 – крок аргументу функції. За цим методом підінтегральна функція замінюється ступінчастою лінією, а сам означений інтеграл – сумою площ прямокутників, як зображено на рис. 19.
Заміна підінтегральної функції ступінчастою лінією у методі прямокутників приводить до обчислення інтеграла з деякою похибкою. Так, як видно з рис. 19, для заданої функції отримане значення інтеграла буде меншим, бо при його обчисленні не враховуються площі криволінійних трикутників на ділянках зростання функції. Очевидно, що чим менша величина кроку, тим вища точність обчислення інтеграла.
a
x
b
0
y
y1
y2
y3
yN–1
yN
h
xN
xN–1
x3
x2
x1
…
x = b
x = a
Рис. 19. Геометрична інтерпретація означеного інтеграла методом прямокутників (варіант 1)
Означений інтеграл також може бути обчислений методом прямокутників за формулою (варіант 2)
EMBED Equation.DSMT4
Геометрична інтерпретація означеного інтеграла для цього випадку зображена на рис. 20.
y2
y1
x
b
a
0
y
y3
yN–1
yN
h
xN
xN–1
x3
x2
x1
…
Рис. 20. Геометрична інтерпретація означеного інтеграла методом прямокутників (варіант 2)
Приклад. Для заданої функції
EMBED Equation.DSMT4
скласти програму її чисельного інтегрування методом прямокутників у діапазоні від a до b при заданій у цьому діапазоні кількості N рівновіддалених вузлів.
Один із можливих варіантів програми:
Обчислення означеного інтеграла може здійснювати і підпрограма. Один із можливих варіантів такої програми з використанням підпрограми обчислення методом прямокутників означеного інтеграла, який передбачає використання для обчислення підінтегральної функції підпрограми-функції, має вигляд:
2.1.2. Метод трапецій
При обчисленні означеного інтеграла методом трапецій він наближено замінюється площею трапецій, утворених ламаною лінією, яка апроксимує задану підінтегральну функцію (рис. 21). У цьому випадку означений інтеграл обчислюється за формулою
EMBED Equation.DSMT4
З порівняння рис. 19, 20 і 21 видно, що метод трапецій дає точніші результати обчислення означеного інтеграла, ніж метод прямокутників.
x
b
a
0
y
y1
y2
y3
yN–1
yN
h
xN
xN–1
x3
x2
x1
…
Рис. 21. Геометрична інтерпретація означеного інтеграла методом трапецій
Один із можливих варіантів фрагменту програми:
Тут слід звернути увагу на те, що змінна S містить суму значень функції у її всіх вузлах, а формула обчислення означеного інтеграла методом трапецій передбачає, що значення функції для першого та останнього вузла повинно множитися на коефіцієнт 1/2.
2.1.3. Метод Сімпсона
Ще точніше, у порівнянні з методом трапецій, можна обчислити означений інтеграл методом Сімпсона, за яким трапеції розглядаються як криволінійні. У межах кожної такої трапеції підінтегральна функція замінюється інтерполяційним поліномом другого порядку, побудованим за значеннями функції в трьох вузлах трапеції: на її початку, в середині та кінці. Формула Сімпсона обчислення означеного інтеграла має вигляд:
EMBED Equation.DSMT4
Увага! У методі Сімпсона кількість N вузлів повинна бути непарною. Тут слід звернути увагу на коефіцієнт (1, 4 чи 2), на який множиться значення функції у n-му EMBED Equation.DSMT4 вузлі: для усіх парних вузлів це коефіцієнт 4, для першого та останнього вузла коефіцієнт 1, а для решти непарних вузлів – коефіцієнт 2.
Один із можливих варіантів фрагменту програми, де передбачено вибір коефіцієнта, на який множиться значення функції у вузлі:
У цьому фрагменті програми оператор
IF (I/2*I .EQ. I) AK = 4.
присвоює значення коефіцієнту AK = 4. лише для парних І. Для непарних I (див. попередній оператор) він залишається рівним 2.
2.1.4. Обчислення методом Сімпсона означеного інтеграла із заданою точністю
Вибір більшої кількості N вузлів на інтервалі інтегрування дає можливість підвищити точність обчислення значення інтеграла, однак вимагає збільшення об’єму пам’яті комп’ютера і часу на обчислення. Тому доцільно при розрахунку означеного інтеграла задаватися точністю обчислень ε.
Для обчислення означеного інтеграла із заданою точністю ε організовують ітераційний цикл, збільшуючи на кожній ітерації кількість М = N–1 ділянок розбиття заданого інтервалу у два рази. Так, якщо на першій ітерації кількість ділянок розбиття є М1, то на другій ітерації ця кількість збільшується вдвічі, тобто М2 = 2М1 і т.д. На і-тій ітерації
EMBED Equation.DSMT4
Ітераційний процес закінчується, коли модуль різниці наближених значень означеного інтеграла і-ої та EMBED Equation.DSMT4 -ої ітерації не перевищує заданої точності ε.
Далі наведено текст підпрограми SIMP обчислення методом Сімпсона означеного інтеграла із заданою точністю. Ця підпрограма міститься у програмному забезпеченні даної дисципліни.
2.2. Завдання
Скласти програму обчислення означеного інтеграла чисельними методами прямокутників, трапецій та Сімпсона. Ця програма повинна складатися із основної програми та підпрограм. Основна програма має бути призначена для введення вхідної інформації і виведення результатів обчислень, а кожна із підпрограм – для обчислення означеного інтеграла одним із заданих методів. У цій програмі слід використати наведену підпрограму SIMP обчислення означеного інтеграла методом Сімпсона із заданою точністю. Для обчислення підінтегральної функції – використати підпрограму-функцію.
Порівняти отримані різними методами значення означеного інтегралу.
Дані для розрахунку наведені в табл. 10. Точність ε = 0,0001.
Таблиця 10
Дані для обчислення означеного інтеграла
Список літератури
1. Алексеев В. Е., Ваулин А. С., Петрова Г. Б. Вычислительная техника в инженерных и экономических расчетах. Сборник задач и упражнений: Учеб. пособие для вузов / Под ред. А. В. Петрова. – М.: Высш. шк., 1984. – 136 с., ил.
2. Бартеньев О. В. Современный Фортран. – 2-е изд., испр. – М.: «Диалог-МИФИ», 1998. – 397 с.
3. Бартеньев О. В. Фортран для студентов. – М.: «Диалог-МИФИ», 1999. – 400 с.
4. Бартеньев О. В. Visual Fortran: новые возможности. – М.: «Диалог-МИФИ», 1999. – 304 с.
5. Белецки Я. Фортран 77: Пер. с польск. О. И. Гуськовой / Под ред. В. Р. Носова; Предисл. В. Р. Носова. – М.: Высш. шк., 1991. – 207 с.: ил.
6. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. – 13-е изд., исправленное. – М.: Наука, 1986. – 544 с.
7. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. – М.: Наука, 1970. – 664 с.
8. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. – 4-е издание. – М.: Наука, 1978. – 832 с.
9. Программирование на Фортране 77: Пер. с англ./ Дж. Ашкрофт, Р. Элдридж, Р. Полсон, Г. Уилсон. – М.: Радио и связь, 1990. – 272 с.: ил.
10. Рудавський Ю. К., Костробій П. П., Луник Х. П., Уханська Д. В. Лінійна алгебра та аналітична геометрія: Навч. посібник. – Львів: Видавництво Державного Університету “Львівська політехніка”, 1999. – 262 с.
11. Соловьев П. В. Fortran для персонального компьютера. – М.: Арист, 1991. – 223 с.
12. Уорд Т., Бромхед Э. Фортран и искусство программирования персональных ЭВМ: Пер. с англ. – М.: Радио и связь, 1993. – 352 с.: ил.
13. Фигурнов В. Э. IBM для пользователя. – М.: Финансы и статистика, 1990. 240 с.: ил.
14. Штыков В. В. FORTRAN & WIN32 API: Создание программного интерфейса для Windows средствами современного Фортрана. – М.: «Диалог-МИФИ», 2001. – 304 с.
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора