Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Аналіз перехідного процесу в лінійному електричному колі.
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Кафедра теоретичної та загальної електротехніки
Інформація про роботу
Рік:
2002
Тип роботи:
Лабораторна робота
Предмет:
Теорія електричних кіл
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
УкраЇна
Міністерство освіти і науки
Національний університет “Львівська політехніка”
Кафедра теоретичної та загальної електротехніки
Аналіз перехідного процесу в лінійному електричному колі
Завдання та методичні вказівки
до комплексної контрольної роботи з дисципліни “Теорія електричних кіл” для студентів базового напряму “Комп’ютерна інженерія”
Затверджено на засіданні кафедри теоретичної та загальної електротехніки. Протокол № 11 від 20.06.2002 р.
Львів – 2002
Аналіз перехідного процесу в лінійному електричному колі: Завдання та методичні вказівки до комплексної контрольної роботи з дисципліни “Теорія електричних кіл” для студентів базового напряму “Комп’ютерна інженерія” / Укл. С. Й. Рендзіняк, В. І. Гудим, Н. П. Мусихіна – Львів: НУ “ЛП”, 2002. – 28 с.
Укладачі Рендзіняк С.Й., канд. техн. наук, доц., Гудим В.І., канд. техн. наук, доц., Мусихіна Н.П., ст. викл.
Відповідальний за випуск Стахів П.Г., д-р техн. наук, проф.
Рецензенти Синицький Л.А., д-р техн. наук, проф.,
Соколовський М.О., канд. техн. наук, доц.
Завдання
Для вказаної схеми необхідно розрахувати перехідні струми:
а) класичним методом;
б) за допомогою інтеґрала Дюамеля.
в) операторним методом;
Примітка:
Вихідні дані для виконання роботи приведені в табл. 4 та табл. 5.
Метод розрахунку, номер варіанта (групи), значення параметрів елементів схеми, тип вхідного сигналу та вихідної величини визначається викладачем.
Перехідний процес викликано вмиканням схеми на вхідний сигнал у момент часу t0 = 0, який діє на протязі часу tс.
Початкові значення напруг конденсаторів та струмів котушок індуктивності дорівнюють нулеві.
Рекомендації до виконання роботи приведені в методичних настановах.
Методичні настанови
Основні положення та терміни, які використовуються під час аналізу перехідних процесів у лінійних електричних колах.
Перехідний процес – це процес переходу координат режимів (струмів, потокозчеплень, напруг, зарядів) з одного усталеного значення до іншого. У реальних умовах перехідні процеси виникають після змін параметрів елементів електричних кіл, які викликані умовами забезпечення певних експлуатаційних режимів або аварійними режимами (пошкодження елементів). Ці зміни супроводжуються перерозподілом запасів електро магнетної енергії між реактивними елементами та залежать тільки від характеру самого кола, при цьому струми та напруги, викликані цими перерозподілами, називаються вільними складовими перехідних процесів комутації. Струми та напруги електричного кола, значення яких визначаються джерелами напруг чи струмів, називаються вимушеними складовими цих процесів.
Вище вказані зміни в електричних колах називаються комутаціями і, звичайно, на схемах вказуються позначеннями EMBED Visio.Drawing.5, що означає замикання ключа, та EMBED Visio.Drawing.5, що означає розмикання ключа. Таким чином комутація – це будь–яка зміна в електричному колі, яка зумовлює виникнення перехідного процесу. Реально це може бути раптова зміна параметрів елементів, тобто величини активного опору, індуктивності чи ємності, а також зміна напруги чи струму джерела живлення, або зміна структури електричного кола. У реальних умовах після замикання контакти вимикачів через пружність несучих конструкцій можуть короткочасно змінювати перехідний опір. Крім того замикання ключа відбувається за долі секунд. З метою полегшення розрахунків комутаційні процеси дещо ідеалізуються, зокрема приймається, що контакти вимикача замикаються миттєво, тобто час замикання чи розмикання контактів ключа та перехідний опір між контактами дорівнюють нулеві, а опір розімкнених контактів безмежно великий.
В теорії перехідних процесів існує два закони комутації, які визначаються умовами фізичного існування перехідних процесів. Ці фундаментальні закони виявлені експериментально і отримані аналітично на підставі закону збереження енергії.
Перший закон комутації – в котушці індуктивності у момент комутації струм (потокозчеплення) стрибком не змінюється. Формально перший закон комутації записується у вигляді
EMBED Equation.3 або EMBED Equation.3 , MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1)
де EMBED Equation.3 – потокозчеплення.
Другий закон комутації – у момент комутації напруга (заряд) конденсатора стрибком не змінюється. Формально другий закон комутації записується у вигляді
EMBED Equation.3 або EMBED Equation.3 , MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2)
де EMBED Equation.3 – заряд конденсатора.
Розрахунок перехідних процесів в електричних колах можна здійснювати класичним і операторним методами та з використанням інтеґралу Дюамеля. Перші два методи звичайно використовують для розрахунків у колах з постійним або синусоїдним джерелами енергії. Інтеґрал Дюамеля використовується для аналізу перехідних процесів з джерелом енергії, напруга чи струм якого змінюється стрибкоподібно чи за іншими законами, відмінними від синусоїдного. Класичний та операторний методи мають свої переваги та недоліки, тому вибір здійснюється з врахуванням конкретних умов завдання.
З врахуванням можливих труднощів під час визначення сталих інтеґрування операторний метод та метод інтеґрала Дюамеля мають у цих випадках переваги. Разом з тим під час використання цих методів виникає потреба розв’язання алгебричних рівнянь третього і вище степенів, що також пов’язано з відомими труднощами.
Необхідно пам’ятати, що, незалежно від вибраного методу, системи рівнянь формуються на основі законів Кірхгоффа.
Порядок розрахунку перехідного процесу класичним методом.
Наведемо узагальнений порядок або алгоритм аналізу перехідного процесу в лінійному електричному колі класичним методом чи у класичній формі.
Розраховуємо електричне коло до комутації і визначаємо струми в котушках індуктивності та напруги конденсаторів безпосередньо перед комутацією, тобто обчислюємо величини EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 , або EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 .
Розраховуємо електричне коло після комутації і визначаємо усталені значення струмів в котушках індуктивності та напруг конденсаторів після комутації теоретично для безмежно великого часу, коли перехідний процес цілковито завершується, тобто обчислюємо значення EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 , або EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 .
Складаємо систему лінійних диференціальних рівнянь схеми на підставі першого та другого законів Кірхгоффа після комутації в класичній формі (формі Коші) з постійними коефіцієнтами
EMBED Equation.DSMT4, MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3)
розв’язаній щодо всіх похідних (невідомі функції та їх похідні входять в кожне рівняння тільки в першій степені), де EMBED Equation.DSMT4 – початкові умови (умови Коші); EMBED Equation.DSMT4 – загальний розв’язок неоднорідної системи.
Загальний розв’язок неоднорідної системи
EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 4)
складається з двох компонент: EMBED Equation.DSMT4 – часткового розв’язку (вимушені складові) неоднорідної системи, та EMBED Equation.DSMT4 – загального розв’язку однорідної системи (вільні складові).
Форма загального розв’язку однорідної системи залежить від типу коренів характеристичного рівняння.
Формування характеристичного рівняння.
EMBED Visio.Drawing.5
Рис. 1
1) визначають вхідний опір Z(j) в комплексній формі щодо довільної вітки кола (рис. 1), для чого параметри джерел енергії прирівнюють нулеві. Якщо в колі є тільки один реактивний елемент, то краще розщеплювати вітку з цим елементом;
2) замінюють множник j в Z на ;
3) отриманий вираз прирівнюють нулеві Z()=0;
4) записаний як степеневий ряд чисельник й буде характеристичним рівнянням
EMBED Equation.DSMT4, MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 5)
яке відповідає системі рівнянь GOTOBUTTON ZEqnNum399621 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum399621 \! \* MERGEFORMAT (3). Порядок цього рівняння дорівнює числу незалежних початкових умов після комутації в схемі кола.
З одним реактивним елементом в електричному колі завжди матимемо характеристичне рівняння першого порядку та лише один корінь, а більша кількість реактивних елементів призводить до зростання порядку системи рівнянь і, відповідно, до зростання степеня характеристичного рівняння та кількості його коренів.
Вільний режим (загальний розв’язок однорідного диференціального рівняння)
Вільні складові будемо шукати в такому вигляді:
EMBED Equation.DSMT4,
де Kkl –сталі інтеґрування, λl – корені характеристичного рівняння GOTOBUTTON ZEqnNum869640 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum869640 \! \* MERGEFORMAT (5), n – порядок характеристичного рівняння, тобто число його коренів.
Загальний розв’язок залежить від типу коренів характеристичного рівняння:
а) EMBED Equation.DSMT4, якщо характеристичне рівняння має n різних дійсних коренів;
б) EMBED Equation.DSMT4, якщо характеристичне рівняння має m кратних коренів T;
в) EMBED Equation.DSMT4, якщо характеристичне рівняння має пару комплексно–спряжених коренів EMBED Equation.DSMT4, де – вільне згасання; – частота вільних коливань; Kk, k або Kk1, Kk2 – сталі інтеґрування;
г) EMBED Equation.DSMT4EMBED Equation.DSMT4, якщо будь–яка пара спряжених комплексних коренів має кратність m.
Частковий розв’язок неоднорідного диференціального рівняння
Узагальненого аналітичного виразу для знаходження часткового розв’язку неоднорідної системи з постійними коефіцієнтами не існує. Але в деяких спеціальних випадках можна надати певні рекомендації:
а) якщо EMBED Equation.DSMT4, де EMBED Equation.DSMT4 – поліном порядку n, то EMBED Equation.DSMT4, де EMBED Equation.DSMT4 – поліном порядку n за умови, що a не є коренем характеристичного рівняння GOTOBUTTON ZEqnNum848310 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum848310 \! \* MERGEFORMAT (5). Інакше EMBED Equation.DSMT4, де m – кратність, з якою a входить в число коренів характеристичного рівняння;
б) якщо EMBED Equation.DSMT4, то EMBED Equation.DSMT4, де EMBED Equation.DSMT4, EMBED Equation.DSMT4 – поліноми порядку n1 та n2, степінь яких не перевищує найбільшого степеня поліномів EMBED Equation.DSMT4 і EMBED Equation.DSMT4, та за умови, що a не є коренем характеристичного рівняння GOTOBUTTON ZEqnNum984423 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum984423 \! \* MERGEFORMAT (5). Інакше EMBED Equation.DSMT4, де m – кратність, з якою a входить в число коренів характеристичного рівняння.
Далі вводять запропонований вираз, диференціюючи його необхідне число разів, в систему рівннянь GOTOBUTTON ZEqnNum225662 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum225662 \! \* MERGEFORMAT (3) і визначають коєфіцієнти поліномів EMBED Equation.DSMT4 чи EMBED Equation.DSMT4, EMBED Equation.DSMT4.
Початкові умови
Початкові умови
EMBED Equation.DSMT4, тобто EMBED Equation.DSMT4
звичайно задають. Решта рівняння до числа n знаходять з вихідної системи рівнянь GOTOBUTTON ZEqnNum696499 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum696499 \! \* MERGEFORMAT (3) та загального розв’язку (4) шляхом поступового диференціювання змінних стану та заміни похідних виразами з попереднього рівняння
EMBED Equation.DSMT4
Коло другого порядку
Характеристичне рівняння набуває вигляд EMBED Equation.DSMT4; де дискримінантEMBED Equation.DSMT4. Якщо
а) D>0, то корені дійсні, різні, то
EMBED Equation.DSMT4;
EMBED Equation.DSMT4
або EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4;
б) D=0 – корені дійсні, однакові, тобто EMBED Equation.DSMT4, то
EMBED Equation.DSMT4;
EMBED Equation.DSMT4
або EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4;
в) D<0 – корені комплексно–спряжені, тобто EMBED Equation.DSMT4; де EMBED Equation.DSMT4; EMBED Equation.DSMT4, то
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
або EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4;EMBED Equation.DSMT4; EMBED Equation.DSMT4; EMBED Equation.DSMT4; EMBED Equation.DSMT4.
Приклад: розглянемо випадок, коли зовнішня дія не залежить від часу, на прикладі однієї змінної. Відомі початкові умови EMBED Equation.DSMT4.
Усталений режим EMBED Equation.DSMT4 визначається з розрахунку на постійному струмі; EMBED Equation.DSMT4; EMBED Equation.DSMT4 визначається з вузлових і контурних рівнянь та системи диференціальних рівнянь GOTOBUTTON ZEqnNum125896 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum125896 \! \* MERGEFORMAT (3):
а) D>0 – корені дійсні, різні EMBED Equation.DSMT4; EMBED Equation.DSMT4; EMBED Equation.DSMT4; EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4;
EMBED Equation.DSMT4; EMBED Equation.DSMT4;
б) D=0 – корені дійсні, однакові, тобто EMBED Equation.DSMT4; EMBED Equation.DSMT4; EMBED Equation.DSMT4;
EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4;
EMBED Equation.DSMT4; EMBED Equation.DSMT4;
в) D<0 – корені комплексно–спряжені, тобто EMBED Equation.DSMT4; EMBED Equation.DSMT4; EMBED Equation.DSMT4; EMBED Equation.DSMT4EMBED Equation.DSMT4; EMBED Equation.DSMT4;
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4;
EMBED Equation.DSMT4; EMBED Equation.DSMT4; EMBED Equation.DSMT4; EMBED Equation.DSMT4.
Порядок розрахунку перехідного процесу з використанням інтеґрала Дюамеля.
Інтеґрал Дюамеля для розрахунку перехідних процесів, як було відзначено раніше, використовується у разі відмінності форми джерела напруги чи струму від синусоїдної форми, наприклад, у разі джерел енергії трикутної, прямокутної, лінійно наростаючої чи спадаючої форми.
Спочатку визначимо реакцію кола на одиничну ЕРС e1(t) = 1 В як перехідну характеристику EMBED Equation.DSMT4 (якщо t<0, то e1(t) = 0, h(t) = 0). Звичайно цю характеристику знаходять класичним або операторним методом.
Реакція кола EMBED Equation.DSMT4 на дію неперервної в часі функції EMBED Equation.DSMT4визначається за інтеґралом Дюамеля:
1–ша форма EMBED Equation.DSMT4;
2–га форма EMBED Equation.DSMT4;
3–тя форма EMBED Equation.DSMT4;
4–та форма EMBED Equation.DSMT4;
5–та форма EMBED Equation.DSMT4;
6–та форма EMBED Equation.DSMT4.
Приклад: визначимо струм EMBED Equation.DSMT4 деякої вітки, якщо відома перехідна провідність EMBED Equation.DSMT4, відповідно на часових інтервалах, що задаються формою вхідної напруги (рис. 2)
EMBED Visio.Drawing.5
Рис. 2 Вхідна напруга EMBED Equation.DSMT4
а) EMBED Equation.DSMT4 для EMBED Equation.DSMT4;
б) EMBED Equation.DSMT4 для EMBED Equation.DSMT4, де EMBED Equation.DSMT4;
в) EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 для EMBED Equation.DSMT4, де EMBED Equation.DSMT4.
Операторний метод розрахунку перехідних процесів.
Порядок розрахунку перехідних процесів в електричних колах операторним методом, наведеним нижче, до певної міри, збігається із попередніми за винятком окремих пунктів.
Зображаємо операторну розрахункову схему, в яку крім зображень активних і реактивних (індуктивних і ємнісних) елементів та джерел енергії вводимо операторні зображення ненульових значень струмів (потокозчеплень) індуктивностей та напруг (зарядів) конденсаторів, як внутрішніх джерел енергії.
Для зображеної схеми записуємо систему алгебричних рівнянь в операторній формі за законами Кірхгоффа, за методом контурних струмів чи методом вузлових напруг, після розв’язання яких отримуємо операторні зображення шуканих струмів чи напруг.
Використовуючи формули переходу від зображення до оригіналу, отримуємо шукані струми чи напруги розрахункової схеми у функції часу.
Перетворення Лапласа
Функція f(t) (звичайно струм i(t) або напруга u(t)) дійсної змінної t, що називається ориґіналом, замінюється відповідною функцією F(p) комплексної змінної p=σ+jω, що називається зображенням, на підставі прямого перетворення Лапласа
EMBED Equation.DSMT4, або скорочено F(p) f (t) чи F(p) = ℒ(f (t)). MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 6)
Деякі найбільш вживані ориґінали та їх зображення наведені в табл. 1
Таблиця SEQ Таблица \* ARABIC 1
Найуживаніші ориґінали та їх зображення
* В таблиці кожну функцію оригіналу EMBED Equation.DSMT4 треба розуміти як EMBED Equation.DSMT4 .
Заступна схема в операторній формі
При утворенні заступної схеми:
по–перше, всі змінні величини замінюються на їх операторне зображення (i(t) на I(p), u(t) на U(p), e(t) на E(p));
по–друге, індуктивнсті L відображаються послідовною схемою (рис. 3а), операторне рівняння якої EMBED Equation.DSMT4, де i(t+0) – початкове значення струму в індуктивності,
по–третє, ємності C відображаються паралельною схемою (рис. 3б), операторне рівняння якої EMBED Equation.DSMT4, або послідовною схемою (рис. 3в), операторне рівняння якої EMBED Equation.DSMT4, де uC(t+0) – початкове значення напруги на ємності.
EMBED Visio.Drawing.5 EMBED Visio.Drawing.5 EMBED Visio.Drawing.5
а) б) в)
Рис. 3 Заступні схеми реактивних елементів в операторній формі
Перехід від операторного зображення до ориґіналу (теорема розкладання чи Хевісайда)
Якщо EMBED Equation.DSMT4 раціональний дріб, де знаменник F2(p)=0 не має кратних коренів, а також спільних коренів з чисельником F1(p)=0, то EMBED Equation.DSMT4, де pk – корені F2(p)=0 (степінь полінома чисельника m<n), а коефіцієнти Ak дорівнюють
EMBED Equation.DSMT4,
отже зображенню EMBED Equation.DSMT4 відповідає ориґінал EMBED Equation.DSMT4.
В залежності від типу коренів знаменника можливі деякі спрощені варіанти визначення складових ориґіналу:
а) якщо p1=0 (є постійна ЕРС або ДС), то EMBED Equation.DSMT4;
б) наявність синусоїдної ЕРС приводить до появи в знаменнику EMBED Equation.DSMT4, звідки маємо уявні спряжені корені p1=±jω0. Якщо корені комплексно–спряжені, то достатньо визначити складові для одного з цих коренів, а для іншого взяти спряжене значення цієї складової. Сума, що відповідає цим двом складовим, дорівнює подвоєному значенню дійсної частини одної з складових
EMBED Equation.DSMT4EMBED Equation.DSMT4,
де EMBED Equation.DSMT4; EMBED Equation.DSMT4;
в) якщо p1 – s–кратний корінь, то можна розкласти EMBED Equation.DSMT4 та
EMBED Equation.DSMT4.
Теорема запізнення (зміщення) ориґіналу
Якщо в зображенні присутній множник EMBED Equation.DSMT4, який з’являється звичайно внаслідок прямого перетворення лінійно зростаючих чи спадаючих функцій, то необхідно застосувати теорему зміщення ориґіналу
EMBED Equation.DSMT4EMBED Equation.DSMT4, де t0 > 0.
Приклад розрахунку
Згідно із варіантом обираємо схему, наприклад, зображену на рис. 4, яка вмикається на вхідний сигнал трикутної форми (рис. 5), з параметрами елементів R1 = 10 Ом, R2 = 20 кОм, R3 = 40 кОм, C = 5 мкФ, L = 20 Гн та вхідного сигналу U0 = –10 В, Um = 10 В, tc = 10 мс. Початкові значення напруг конденсаторів та струмів котушок індуктивностей приймають такими, що дорівнюють нулю.
Розрахувати напругу uL.
EMBED Visio.Drawing.5 EMBED Visio.Drawing.5
Рис. 4 Рис. 5
Характер зміни вхідної напруги визначає два моменти комутації: перший – в момент часу EMBED Equation.DSMT4 та другий – EMBED Equation.DSMT4 . Відповідно вихідна величина повинна мати свої аналітичні вирази між цими точками часу. Тому знаходження вихідної величини проводиться в два етапи: спочатку на часовому інтервалі EMBED Equation.DSMT4 з відомими початковими умовами, потім на інтервалі EMBED Equation.DSMT4 з початковими умовами, що визначаються значеннями змінних стану під час другої комутації.
Знаходження вихідної величини класичним методом
В електричному колі присутні два реактивні елементи, координати яких (напруги на конденсаторах та струми котушок індуктивностей) за законами комутації не можуть змінюватися стрибком, що змушує обчислювати значення цих змінних в момент комутації. Отже, необхідно сформувати систему диференціальних рівнянь стану, невідомими величинами якої є напруги на конденсаторах та струми котушок індуктивностей, визначивши похідні, а саме струми конденсаторів та напруги котушок індуктивності з вузлових і контурних рівнянь:
EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 7)
Отримана система рівнянь стану набуває вигляду
EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 8)
де EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 . Невідому величину знаходимо також з рівнянь GOTOBUTTON ZEqnNum602250 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum602250 \! \* MERGEFORMAT (7), власне напруга uL визначається з другого рівняння системи GOTOBUTTON ZEqnNum332573 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum332573 \! \* MERGEFORMAT (8).
Вхідна напруга задається виразом
EMBED Equation.DSMT4
де EMBED Equation.DSMT4 .
Підставивши чисельні значення в систему GOTOBUTTON ZEqnNum410395 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum410395 \! \* MERGEFORMAT (8), запишемо її в матричному вигляді
EMBED Equation.DSMT4 або EMBED Equation.DSMT4 , MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 9)
де EMBED Equation.DSMT4 – вектор змінних стану.
Визначимо характеристичне рівняння, прирівнявши нулеві повний комплексний опір між будь–якою парою розімкнутих точок схеми з нульовими параметрами джерел енергії та з одночасною заміною множника jω на λ:
EMBED Equation.DSMT4 , MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 10)
або в чисельному вигляді EMBED Equation.DSMT4 . Корені характеристичного рівняння є дійсними числами і дорівнюють
EMBED Equation.DSMT4 . MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 11)
Загальний розв’язок EMBED Equation.DSMT4 системи неоднорідних диференціальних рівнянь GOTOBUTTON ZEqnNum156672 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum156672 \! \* MERGEFORMAT (9) складається з часткового розв’язку системи неоднорідних рівнянь
EMBED Equation.DSMT4 , MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 12)
та загального розв’язку системи однорідних рівнянь у вигляді, який визначається типом характеристичних коренів GOTOBUTTON ZEqnNum647555 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum647555 \! \* MERGEFORMAT (11)
EMBED Equation.DSMT4 . MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 13)
На першому кроці визначаємо коефіцієнти часткового розв’язку GOTOBUTTON ZEqnNum407078 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum407078 \! \* MERGEFORMAT (12) в усталеному режимі, коли EMBED Equation.DSMT4 і загальним розв’язком однорідного рівняння GOTOBUTTON ZEqnNum100363 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum100363 \! \* MERGEFORMAT (13) можемо нехтувати (відзначимо, що в пасивних колах корені характеристичного рівняння завжди мають від’ємну дійсну частину). Підставивши вираз GOTOBUTTON ZEqnNum248306 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum248306 \! \* MERGEFORMAT (12) в систему рівнянь GOTOBUTTON ZEqnNum149188 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum149188 \! \* MERGEFORMAT (9), отримуємо на часовому проміжку EMBED Equation.DSMT4 поліном
EMBED Equation.DSMT4 .
Після упорядкування
EMBED Equation.DSMT4 прирівнюємо нулеві обидві складові полінома
EMBED Equation.DSMT4 ; EMBED Equation.DSMT4
та знаходимо відповідні коефіцієнти
EMBED Equation.DSMT4 ; EMBED Equation.DSMT4 . MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 14)
Загальний розв’язок неоднорідного рівняння GOTOBUTTON ZEqnNum389439 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum389439 \! \* MERGEFORMAT (9) тоді набуває вигляду
EMBED Equation.DSMT4 . MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 15)
На другому етапі з початкових умов визначаємо коефіцієнти загального розв’язку GOTOBUTTON ZEqnNum166830 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum166830 \! \* MERGEFORMAT (13)
EMBED Equation.DSMT4 . MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 16)
Доповнюємо цю умову ще одним матричним рівнянням, яке отримуємо після підстановки загального виразу GOTOBUTTON ZEqnNum979395 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum979395 \! \* MERGEFORMAT (15) в систему GOTOBUTTON ZEqnNum115171 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum115171 \! \* MERGEFORMAT (9)
EMBED Equation.DSMT4 .
В початковий момент часу t = 0 це рівняння спрощується
EMBED Equation.DSMT4 . MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 17)
Об’єднавши вирази GOTOBUTTON ZEqnNum897957 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum897957 \! \* MERGEFORMAT (16) і GOTOBUTTON ZEqnNum480324 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum480324 \! \* MERGEFORMAT (17) в одну матричну систему рівнянь
EMBED Equation.DSMT4 ,
знаходимо коефіцієнти загального розв’язку GOTOBUTTON ZEqnNum867409 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum867409 \! \* MERGEFORMAT (13)
EMBED Equation.DSMT4
Отже, між першою та другою комутаціями на проміжку EMBED Equation.DSMT4 змінні стану визначаються за наступним законом
EMBED Equation.DSMT4 , MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 18)
а напруга –
EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 19)
або EMBED Equation.DSMT4 . MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 20)
Бачимо, що формула GOTOBUTTON ZEqnNum360835 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum360835 \! \* MERGEFORMAT (20) є більш точною, ніж формула GOTOBUTTON ZEqnNum254203 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum254203 \! \* MERGEFORMAT (19), за рахунок меншої кількості алгебричних операцій, хоча не завжди вдається визначити вихідний параметр за такою спрощенною схемою.
Після другої комутації на проміжку EMBED Equation.DSMT4 знаходження напруги uL суттєво спрощується, тому що не потрібно знати на цьому інтервалі значення змінних стану. В цьому випадку загальний розв’язок приймає вигляд
EMBED Equation.DSMT4 . MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 21)
Значення напруги в усталеному режимі ( EMBED Equation.DSMT4 ) визначаємо безпосередньо з режиму на постійному струмі, а саме EMBED Equation.DSMT4 , отже й EMBED Equation.DSMT4 . А початкове значення в момент часу EMBED Equation.DSMT4 визначається з рівнянь GOTOBUTTON ZEqnNum812430 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum812430 \! \* MERGEFORMAT (19) та GOTOBUTTON ZEqnNum722676 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum722676 \! \* MERGEFORMAT (18) за умови виконання законів комутації
EMBED Equation.DSMT4 ; EMBED Equation.DSMT4 ;
EMBED Equation.DSMT4 .
В момент другої комутації спостерігається стрибок напруги котушки індуктивності, тому що за формулою GOTOBUTTON ZEqnNum762678 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum762678 \! \* MERGEFORMAT (19)
EMBED Equation.DSMT4 .
Для визначення коефіцієнтів K11 і K12 необхідно скласти дві початкові умови для напруги uL та її похідної. Якщо складання першої умови не викликає труднощів
EMBED Equation.DSMT4 , MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 22)
то для другої умови необхідно попередньо визначити аналітичний вираз похідної напруги uL з системи рівнянь GOTOBUTTON ZEqnNum758101 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum758101 \! \* MERGEFORMAT (8)
EMBED Equation.DSMT4 .
Продовжувати далі замінювати змінні iC та uL не варта, краще їх обчислити. Напруга котушки індуктивності вже відома, а струм конденсатора дорівнює
EMBED Equation.DSMT4 .
Отже,
EMBED Equation.DSMT4 . MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 23)
Розв’язавши обидва рівняння GOTOBUTTON ZEqnNum144532 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum144532 \! \* MERGEFORMAT (22) та GOTOBUTTON ZEqnNum255394 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum255394 \! \* MERGEFORMAT (23), отримуємо
EMBED Equation.DSMT4 ; EMBED Equation.DSMT4 .
Таким чином, напруга котушки індуктивності uL після другої комутації змінюється за законом
EMBED Equation.DSMT4 . MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 24)
Знаходження вихідної величини методом інтеґрала Дюамеля
Визначаємо перехідну характеристику за напругою EMBED Equation.DSMT4 класичним методом як вихідну реакцію кола на дію одиничної напруги EMBED Equation.DSMT4 .
Загальний розв’язок неоднорідного рівняння знаходимо за формулою
EMBED Equation.DSMT4 .
Коефіцієнт EMBED Equation.DSMT4 визначаємо з усталеного режиму на постійному струмі
EMBED Equation.DSMT4 .
Коефіцієнти EMBED Equation.DSMT4 і EMBED Equation.DSMT4 визначаємо з початкових умов
EMBED Equation.DSMT4
У другому виразі необхідно ввести початкові значення безпосередньо похідних від змінних стану, які визначаємо з рівнянь стану GOTOBUTTON ZEqnNum601687 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum601687 \! \* MERGEFORMAT (8), а саме:
EMBED Equation.DSMT4 .
Отже, цей вираз набуває вигляду
EMBED Equation.DSMT4 .
Обчисливши коефіцієнти EMBED Equation.DSMT4 та EMBED Equation.DSMT4 , записуємо перехідну характеристику за напругою у вигляді
EMBED Equation.DSMT4 . MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 25)
На інтервалі часу EMBED Equation.DSMT4 напруга EMBED Equation.DSMT4 визначається за інтеґралом Дюамеля як
EMBED Equation.DSMT4 .
Підставивши чисельні значення, отримуємо
EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 26)
На інтервалі часу EMBED Equation.DSMT4 напруга EMBED Equation.DSMT4 визначається за інтеґралом Дюамеля як
EMBED Equation.DSMT4
Після обчислень отримуємо
EMBED Equation.DSMT4 . MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 27)
Знаходження вихідної величини операторним методом
Операторне зображення напруги котушки індуктивності визначаємо за допомогою імпульсної перехідної характеристики Ku(p)
EMBED Equation.DSMT4,
де E(p) – операторне зображення вхідної напруги обчислюється за прямим перетворенням Лапласа
EMBED Equation.DSMT4
З довідника [2] використаємо інтеґрал EMBED Equation.DSMT4 .
Імпульсну перехідну характеристику визначаємо як чисельно рівну їй напругу при вмиканні схеми на імпульсну функцію
EMBED Equation.DSMT4.
Отже,
EMBED Equation.DSMT4
Зображення шуканої напруги складається з двох компонент
EMBED Equation.DSMT4.
Спочатку знайдемо ориґінал першого зображення напруги
EMBED Equation.DSMT4
за теоремою розкладання як EMBED Equation.DSMT4, якщо корені однократні, де коефіцієнти розкладання обчислюються за формулою
EMBED Equation.DSMT4.
Корені полінома знаменника EMBED Equation.DSMT4 дорівнюють: EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 . Результати обчислень зведемо в таблицю 2.
Отже, перша складова напруги залежить від часу за формулою
EMBED Equation.DSMT4.
Для другого зображення напруги
EMBED Equation.DSMT4
коефіцієнти розкладання обчислюються за формулою
EMBED Equation.DSMT4,
результати обчислень яких також зведемо в таблицю 3.
Таблиця SEQ Таблица \* ARABIC 2
Результати обчислень
Таблиця SEQ Таблица \* ARABIC 3
Результати обчислень
Тоді друга складова напруги залежить від часу за формулою
EMBED Equation.DSMT4,
а шукана напруга з врахуванням теореми зміщення ориґіналу набуває вигляду
EMBED Equation.DSMT4
тобто
EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 28)
Висновки
Порівнянюючи отримані результати, а саме, формули GOTOBUTTON ZEqnNum244394 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum244394 \! \* MERGEFORMAT (20) і GOTOBUTTON ZEqnNum134589 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum134589 \! \* MERGEFORMAT (24), GOTOBUTTON ZEqnNum355285 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum355285 \! \* MERGEFORMAT (26) і GOTOBUTTON ZEqnNum240631 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum240631 \! \* MERGEFORMAT (27) та GOTOBUTTON ZEqnNum595191 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum595191 \! \* MERGEFORMAT (28), відмічаємо, що найбільш точні результати отримуються за допомогою метода інтеґрала Дюамеля за рахунок меншого числа обчислювальних операцій.
Графіки отриманої напруги uL, а також інших координат, які додатково обчислені з метою кращого ознайомлення з характером перехідного процесу в колах другого порядку, зображені на рис. 6 та 7.
Рис. 6 Графіки часових залежностей напруг віток
Рис. 7 Графіки часових залежностей струмів віток
Додатки
Таблиця SEQ Таблица \* ARABIC 4
Параметри схеми
Таблиця SEQ Таблица \* ARABIC 5
Перелік варіантів схем
EMBED Visio.Drawing.5 EMBED Visio.Drawing.5
EMBED Visio.Drawing.5 EMBED Visio.Drawing.5
EMBED Visio.Drawing.5 EMBED Visio.Drawing.5
EMBED Visio.Drawing.5 EMBED Visio.Drawing.5
Рис. 8 Типи вхідних сигналів
Таблиця SEQ Таблица \* ARABIC 6
TOC \o "1-3"
1. Завдання PAGEREF _Toc530479521 \h 3
2. Методичні настанови PAGEREF _Toc530479522 \h 3
2.1 Основні положення та терміни, які використовуються під час аналізу перехідних процесів у лінійних електричних колах. PAGEREF _Toc530479523 \h 3
2.2 Порядок розрахунку перехідного процесу класичним методом. PAGEREF _Toc530479524 \h 5
2.2.1 Формування характеристичного рівняння. PAGEREF _Toc530479525 \h 6
2.2.2 Вільний режим (загальний розв’язок однорідного диференціального рівняння) PAGEREF _Toc530479526 \h 6
2.2.3 Частковий розв’язок неоднорідного диференціального рівняння PAGEREF _Toc530479527 \h 7
2.2.4 Початкові умови PAGEREF _Toc530479528 \h 8
2.2.5 Коло другого порядку PAGEREF _Toc530479529 \h 8
2.3 Порядок розрахунку перехідного процесу з використанням інтеґрала Дюамеля. PAGEREF _Toc530479530 \h 12
2.4 Операторний метод розрахунку перехідних процесів. PAGEREF _Toc530479531 \h 13
2.4.1 Перетворення Лапласа PAGEREF _Toc530479532 \h 14
2.4.2 Заступна схема в операторній формі PAGEREF _Toc530479533 \h 16
2.4.3 Перехід від операторного зображення до ориґіналу (теорема розкладання чи Хевісайда) PAGEREF _Toc530479534 \h 16
2.4.4 Теорема запізнення (зміщення) ориґіналу PAGEREF _Toc530479535 \h 17
3. Приклад розрахунку PAGEREF _Toc530479536 \h 18
3.1 Знаходження вихідної величини класичним методом PAGEREF _Toc530479537 \h 18
3.2 Знаходження вихідної величини методом інтеґрала Дюамеля PAGEREF _Toc530479538 \h 23
3.3 Знаходження вихідної величини операторним методом PAGEREF _Toc530479539 \h 24
3.4 Висновки PAGEREF _Toc530479540 \h 27
4. Додатки PAGEREF _Toc530479541 \h 28
Перелік рекомендованих джерел
[1] Перхач В.С. Теоретична електротехніка. – Київ: Вища школа, 1992.
[2] Двайт Г.Б. Таблица интегралов и другие математические формулы. – М:Наука, 1977, 228 с.
Навчальне видання
Аналіз перехідного процесу в лінійному електричному колі
Завдання та методичні вказівки до комплексної контрольної роботи з дисципліни “Теорія електричних кіл” для студентів базового напряму “Комп’ютерна інженерія”
Укладачі Рендзіняк Сергій Йосипович
Гудим Василь Ількович
Мусихіна Наталія Павлівна
Редактор
Комп’ютерне складання
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора