Міністерство освіти і науки України Національний університет «Львівська політехніка» кафедра САПР
Лабораторна робота №2 з курсу "Чисельні методи в інформатиці" на тему: МЕТОДИ НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦІЙ Виконав: [ім’я автора приховано] Львів-2008 1. МЕТА РОБОТИ Мета роботи - ознайомлення з методами наближення функцій та їх практичним застосуванням. 2. ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТИНА 2.1. Формулювання задачі наближення функцій Вважають, що на множині дійсних чисел X визначено деяку дійсну функцію
, якщо кожному числу x з цієї множини поставлено у відповідність одне дійсне число y з множини Y. На практиці часто трапляються випадки, коли знайти значення y для відповідних x досить важко. Крім того, часто аналітичний вираз функції
взагалі невідомий, а відомі лише її значення у скінченній кількості точок. Ці значення можуть бути знайдені в результаті спостережень чи вимірювань в якому-небудь експерименті, або в результаті обчислень. Тому викликає потреба вихідну функцію
наближено замінити (апроксимувати) деякою іншою функцією
, в певному розумінні близькою до
і такою, що простіше обчислюється чи досліджується. Тоді при всіх значеннях аргументу з множини Х вважають
Функцію
, називають апроксимуючою. Близькість функцій
і
можна, зокрема, оцінювати в метричних просторах за допомогою відстані
. По-різному вводячи відстань, дістають різні конкретні випадки задачі апроксимації. Часто апроксимуючу функцію
беруть у вигляді лінійної комбінації функцій деякого класу, які утворюють скінченну чи зчисленну множину
, причому будь-яка скінченна система елементів
лінійно незалежна. Тобто
беруть у вигляді:
, (1) де
– сталі коефіцієнти. Як функції
часто використовують многочлени. Функцію
в цьому випадку називають узагальненим многочленом. Надалі розглядатимемо наближення функцій узагальненими многочленами. У цьому випадку задачу апроксимації можна сформулювати так. Задано функцію f(x). Потрібно знайти такий узагальнений многочлен
, підібрати його коефіцієнти
, щоб відхилення (в деякому розумінні) функції f(x) від
на заданій множині Х було найменшим. Нехай у точках
з відрізку [а,в] відомі значення функції y=f(x):
. Розглянемо один з випадків апроксимації, що називається інтерполяцією. Суть його полягає в тому, що коефіцієнти
многочлена (1) добирають так, щоб у точках x
(i=0,1,..,n) значення функцій
і f(x) збігалися, тобто:
(i=0,1,..,n). (2) Точки x
(i=0,1,..,n) називаються вузлами інтерполювання, а многочлен
– інтерполяційним многочленом. Формулу y=
, знайдену для обчислення значень функції y=f(x), називають інтерполяційною. Задача інтерполювання матиме єдиний розв'язок, якщо при будь-якому розміщенні вузлів (серед яких немає таких, що збігаються
) визначник системи (2) не дорівнюватиме нулю. Системи функцій, які задовольняють таку умову, називають системами Чебишова. Очевидно, вимога лінійної незалежності системи
є необхідною умовою для того, щоб ця система функцій була системою Чебишова. При інтерполюванні узагальнений многочлен будують за деякою Чебишовською системою функцій. На практиці систему
часто беруть у вигляді послідовності невід'ємних степенів змінної x, тобто:
(i=0,1,..,n). Тут узагальнені многочлени є звичайними алгебраїчними многочленами.
. Інтерполювання в цьому випадку називається поліноміальним, або параболічним. 2.2. Інтерполяційний многочлен Лагранжа Нехай у точках x
(i=0,1,..,n)
, з відрізка [а,в] задано значення функції y=f(x) : y
=f(x
). Треба побудувати такий поліном
(степеня, не вищого за n), який у вузлах
набуває тих самих значень, що й функція y=f(x), тобто:
(i=0,1,..,n). (3) Щоб дістати інтерполяційний многочлен в явному вигляді, не обов'язково розв'язувати систему лінійних рівнянь, його можна побудувати безпосередньо так, щоб задовольнялась умова (3). Многочлен
шукається у вигляді лінійної комбінації деяких многочленів степеня n, причому коефіцієнтами цієї лінійної комбінації будуть задані значення функції y=f(x) у вузлах, тобто:
, (4) де
(i=0,1,..,n) – поки що невідомі многочлени степеня n. З умови (3) випливає, що многочлени
мають задовольняти умову:
. Тоді:
. (5) Інтерполяційний многочлен, записаний у вигляді (5), називається інтерполяційним многочленом Лагранжа. Многочлени
називаються коефіцієнтами Лагранжа. Величина:
, (6) яка характеризує близькість полінома L
(x) до функції f(x) у деякій точці x відрізка [а,в] називається залишковим членом інтерполяційної формули
, який визначає величину похибки. Оцінка для
записується у вигляді:
, (7) де
. Якщо вузли рівновіддалені, тобто
i=1,2,..,n, то оцінка для залишкового члена набирає вигляду:
(8) де
. Таким чином, для випадку рівновіддалених вузлів
. З оцінки (7) видно, що величина похибки многочлена Лагранжа залежить від того, як вибрано вузли інтерполювання (вони визначають функцію
. Оцінити
при довільному розміщенні вузлів інтерполювання досить складно. Коли вузли рівновіддалені, то поблизу центрального вузла інтерполяційні екстремуми функції
невеликі, поблизу крайніх вузлів дещо більші, а якщо x виходить за крайні вузли, то
швидко зростає. Знаходження значень y=f(x), якщо значення аргументу x лежить між крайніми вузлами, називають інтерполюванням, а якщо лежить поза крайніми вузлами – то екстраполюванням. З попереднього випливає, що при екстраполяції далеко за крайні вузли похибка може бути досить великою. Оскільки значення
часто задаються наближено, то навіть і тоді, коли всі проміжні обчислення виконуються точно, результат дістаємо з похибкою. Це неусувна похибка. Неусувна похибка формули Лагранжа не перевищує величини:
, (9) де
– максимальне значення абсолютних похибок величин y=f(x) (i=0,1,2,...,n). Остання похибка при
(відповідно
) порівняно мала і дуже повільно зростає із збільшенням n. У процесі обчислень виникає також похибка при заокругленні проміжних результатів. Практично цю похибку можна зробити значно меншою порівняно із неусувною (похибкою обмеження), якщо проміжні обчислення проводити з більшою кількістю цифр, ніж це вимагається для табличних значень f(x). При оцінці похибки результату слід враховувати і похибку остаточного заокруглення. Повна похибка інтерполювання дорівнює сумі всіх перелічених вище похибок. 2.3. Скінченні різниці. Інтерполяційні многочлени Ньютона Нехай
– значення деякої функції y=f(x), що відповідають рівновіддаленим значенням аргументу
. Величина
називається скінченною різницею першого порядку функції f(x)в точці
(з кроком h) і позначається
або
, тобто
. Скінченна різниця другого порядку в точці xi визначається рівностями:
. Скінченна різниця n-го порядку функції y=f(x) в точці
визначається рекурентною формулою:
, де


Скінченні різниці зручно розміщувати у вигляді таблиці: Така таблиця називається діагональною таблицею різниць. Всі різниці будемо записувати цілими числами в одиницях молодшого розряду значень функції у вузлах інтерполювання. Можна записати формулу:
, (10) де
– біномні коефіцієнти. Остання формула виражає скінченні різниці через значення функції у вузлових точках. Нехай для функції y=f(x) задано її значення
для значень аргументу, які утворюють арифметичну прогресію
(i=0,1,...,n), де h – крок таблиці. Треба побудувати многочлен
степінь якого був би не більшим за n, а значення його у вузлах інтерполювання збігалися б із значенням функції y=f(x); тобто:
(i=0,1,2,...,n). (11) Многочлен
визначається у вигляді:
(12) Коефіцієнти
у (12) визначають так, щоб виконувались умови (11). Після деяких перетворень і застосування раніше введених означень скінченних різниць отримують співвідношення:
(13) Формула (13) називається першою інтерполяційною формулою Ньютона. Доведено, що існує лише один інтерполяційний многочлен n-го степеня, значення якого у вузлах інтерполяції
дорівнюють значенням функції
. Тому інтерполяційний поліном (13) збігатиметься з інтерполяційним многочленом Лагранжа, побудованим для цього випадку. Ці многочлени тільки записані в різних формах. Формулу Ньютона (13) можна подати в зручнішому для користування вигляді. Для цього вводять нову безрозмірну змінну t за формулою
, або
. Тоді формула (13) набирає вигляду:
(14) Цей вигляд першої інтерполяційної формули Ньютона називають формулою Ньютона для інтерполювання вперед. Таку назву вона отримала тому, що в ній використовуються значення функції, дані у вузлах, які містяться вправо від
(вперед, вниз по стовпчику). Для інтерполювання в кінці таблиці користуються іншою формулою вигляду:
(15) Це є друга інтерполяційна формула Ньютона для інтерполювання назад. У ній використовуються скінченні різниці, розміщені в діагональній таблиці різниць по діагоналі знизу вгору. Оскільки інтерполяційні формули Лагранжа і Ньютона – різні форми запису інтерполяційного многочлена, то оцінки залишкових членів формул Ньютона будуть такими, як і для формули Лагранжа, побудованої за такими самими даними. Тому у повну похибку результату, знайденого за формулами Ньютона, крім похибки методу, входитиме неусувна похибка, а також похибка округлення. Формулу Ньютона, як і формулу Лагранжа, можна використати і для екстраполювання, тобто для обчислення значення функції в точках, які лежать за межами таблиці. Очевидно, що перша інтерполяційна формула Ньютона застосовується для інтерполювання вперед (t>0) і екстраполювання назад (t<0), а друга – для інтерполювання назад (t<0) та екстраполювання вперед (t>0). ЛАБОРАТОРНЕ ЗАВДАННЯ Для заданого варіанту обчислити значення функції в 5 різних точках для двох різних інтервалів по методу Лагранжа та Ньютона. Дослідити вплив степені полінома (n1=1,2,3 n2=5,6,7 n3=8,9,10) на точність одержаних результатів 11 ln(x2)  
1) ● Вибираємо 1 відрізок: 0.2…0.8. Обчислення проводиться в точках: 0.1; 0.3; 0.5; 0.7; 0.9. Початкові дані: X( 1)= .20000 Y( 1)= -3.2189 X( 2)= .40000 Y( 2)= -1.8326 X( 3)= .60000 Y( 3)= -1.0217 У точці X= 0.10000 одержано L= -4.1278 Точне значне LT= -4.6052

У точці X= 0.30000 одержано L= -2.4538 Точне значне LT= -2.4079 δ=0.01906 У точці X= 0.50000 одержано L= -1.3552 Точне значне LT= -1.3863 δ=0.02244 У точці X= 0.70000 одержано L= -0.83195 Точне значне LT= -0.71335 δ=0.16626 У точці X= 0.90000 одержано L= -0.48406 Точне значне LT= -0.21072 δ=7.90995 Початкові дані: X( 1)= .20000 Y( 1)= -3.2189 X( 2)= .25000 Y( 2)= -2.7726 X( 3)= .40000 Y( 3)= -1.8326 X( 4)= .55000 Y( 4)= -1.1957 X( 5)= .65000 Y( 5)= -.86157 X( 6)= .80000 Y( 6)= -.44629 У точці X= 0.10000 одержано L= -4.4746 Точне значне LT= -4.6052 δ=0.02836 У точці X= 0.30000 одержано L= -2.4064 Точне значне LT= -2.4079 δ=0.00062 У точці X= 0.50000 одержано L= -1.3871 Точне значне LT= -1.3863 δ=0.26730 У точці X= 0.70000 одержано L= -0.71509 Точне значне LT= -0.71335 δ=0.00244 У точці X= 0.90000 одержано L= -.15624 Точне значне LT= -0.21072 δ=0.632 Початкові дані: X( 1)= .20000 Y( 1)= -3.2189 X( 2)= .25000 Y( 2)= -2.7726 X( 3)= .35000 Y( 3)= -2.0996 X( 4)= .40000 Y( 4)= -1.8326 X( 5)= .45000 Y( 5)= -1.5970 X( 6)= .55000 Y( 6)= -1.1957 X( 7)= .60000 Y( 7)= -1.0217 X( 8)= .65000 Y( 8)= -.86157 X( 9)= .80000 Y( 9)= -.44629 У точці X= 0.10000 одержано L= -4.5605 Точне значне LT= -4.6052 δ=0.00971 У точці X= 0.30000 одержано L= -2.4079 Точне значне LT= -2.4079 δ=0.00000 У точці X= 0.50000 одержано L= -1.3863 Точне значне LT= -1.3863 δ=0.00000 У точці X= 0.70000 одержано L= -0.71324 Точне значне LT= -0.71335 δ=0.00015 У точці X= 0.90000 одержано L= -0.23958 Точне значне LT= -0.21072 δ=0.13696Графік значень δ при n=3,6,9 y точці X= 0.10000 :
Графік значень δ при n=3,6,9 y точці X= 0.30000 :
 Графік значень δ при n=3,6,9 y точці X= 0.50000 :
Графік значень δ при n=3,6,9 y точці X= 0.70000 :
Графік значень δ при n=3,6,9 y точці X= 0.90000 :
● Вибираємо 2 відрізок: 9.5..10.1. Обчислення проводиться в точках: 9.4; 9.6; 9.8; 10.0; 10.2. Початкові дані: X( 1)= 9.5000 Y( 1)= 4.5026 X( 2)= 9.7500 Y( 2)= 4.5545 X( 3)= 10.100 Y( 3)= 4.6251 У точці X= 9.4000 одержано L= 4.4814 Точне значне LT= 4.4814 δ=0 У точці X= 9.6000 одержано L= 4.5235 Точне значне LT= 4.5235 δ=0 У точці X= 9.8000 одержано L= 4.5648 Точне значне LT= 4.5648 δ=0 У точці X= 10.000 одержано L= 4.6052 Точне значне LT= 4.6052 δ=0 У точці X= 10.2000 одержано L= 4.6448 Точне значне LT= 4.6448 δ=0 Початкові дані: X( 1)= 9.5000 Y( 1)= 4.5026 X( 2)= 9.6500 Y( 2)= 4.5339 X( 3)= 9.7500 Y( 3)= 4.5545 X( 4)= 9.8500 Y( 4)= 4.5749 X( 5)= 9.9500 Y( 5)= 4.5951 X( 6)= 10.100 Y( 6)= 4.6251 У точці X= 9.4000 одержано L= 4.4814 Точне значне LT= 4.4814 δ=0 У точці X= 9.6000 одержано L= 4.5235 Точне значне LT= 4.5235 δ=0 У точці X= 9.8000 одержано L= 4.5648 Точне значне LT= 4.5648 δ=0 У точці X= 10.000 одержано L= 4.6052 Точне значне LT= 4.6052 δ=0 У точці X= 10.2000 одержано L= 4.6448 Точне значне LT= 4.6448 δ=0 Початкові дані: X( 1)= 9.5000 Y( 1)= 4.5026 X( 2)= 9.5500 Y( 2)= 4.5131 X( 3)= 9.6500 Y( 3)= 4.5339 X( 4)= 9.7000 Y( 4)= 4.5443 X( 5)= 9.7500 Y( 5)= 4.5545 X( 6)= 9.8500 Y( 6)= 4.5749 X( 7)= 9.9500 Y( 7)= 4.5951 X( 8)= 10.050 Y( 8)= 4.6151 X( 9)= 10.100 Y( 9)= 4.6251 У точці X= 9.4000 одержано L= 4.4814 Точне значне LT= 4.4814 δ=0 У точці X= 9.6000 одержано L= 4.5235 Точне значне LT= 4.5235 δ=0 У точці X= 9.8000 одержано L= 4.5648 Точне значне LT= 4.5648 δ=0 У точці X= 10.000 одержано L= 4.6052 Точне значне LT= 4.6052 δ=0 У точці X= 10.2000 одержано L= 4.6448 Точне значне LT= 4.6448 δ=0 2) Вибираємо 1 відрізок: 0.2…0.8. Обчислення проводиться в точках: 0.1; 0.3; 0.5; 0.7; 0.9. Початкові дані: X( 1)= .20000 Y( 1)= -3.2189 X( 2)= .48000 Y( 2)= -1.4679 X( 3)= .76000 Y( 3)= -.54887 ( H= .28000 ) У ТОЧЦІ X= .10000 ОДЕРЖАНО: ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= -4.0458 ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= -4.0458 ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= -4.6052 δ=0.12147 У ТОЧЦІ X= .30000 ОДЕРЖАНО: ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= -2.4980 ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= -2.4980 ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= -2.4079 δ=0.03741 У ТОЧЦІ X= .50000 ОДЕРЖАНО: ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= -1.3747 ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= -1.3747 ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= -1.3863 δ=0.00836 У ТОЧЦІ X= .70000 ОДЕРЖАНО: ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= -.67579 ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= -.67579 ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= -.71335 δ=0.05265 У ТОЧЦІ X= .90000 ОДЕРЖАНО: ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= -.40129 ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= -.40129 ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= -.21072 δ=0.90437
Початкові дані: X( 1)= .20000 Y( 1)= -3.2189 X( 2)= .32000 Y( 2)= -2.2789 X( 3)= .44000 Y( 3)= -1.6420 X( 4)= .56000 Y( 4)= -1.1596 X( 5)= .68000 Y( 5)= -.77132 X( 6)= .80000 Y( 6)= -.44629 ( H= .12000 ) У ТОЧЦІ X= .10000 ОДЕРЖАНО: ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= -4.4405 ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= -4.4405 ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= -4.6052 δ=0.03576 У ТОЧЦІ X= .30000 ОДЕРЖАНО: ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= -2.4087 ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= -2.4087 ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= -2.4079 δ=0.00033 У ТОЧЦІ X= .50000 ОДЕРЖАНО: ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= -1.3866 ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= -1.3866 ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= -1.3863 δ=0.00022 У ТОЧЦІ X= .70000 ОДЕРЖАНО: ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= -.71369 ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= -.71369 ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= -.71335 δ=0.00048 У ТОЧЦІ X= .90000 ОДЕРЖАНО: ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= -.18337 ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= -.18337 ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= -.21072 δ=0.12979
Початкові дані: X( 1)= .20000 Y( 1)= -3.2189 X( 2)= .27000 Y( 2)= -2.6187 X( 3)= .34000 Y( 3)= -2.1576 X( 4)= .41000 Y( 4)= -1.7832 X( 5)= .48000 Y( 5)= -1.4679 X( 6)= .55000 Y( 6)= -1.1957 X( 7)= .62000 Y( 7)= -.95607 X( 8)= .69000 Y( 8)= -.74213 X( 9)= .76000 Y( 9)= -.54887 ( H= .70000E-01) У ТОЧЦІ X= .10000 ОДЕРЖАНО: ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= -4.5563 ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= -4.5563 ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= -4.6052 δ=0.01061 У ТОЧЦІ X= .30000 ОДЕРЖАНО: ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= -2.4079 ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= -2.4079 ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= -2.4079 δ=0 У ТОЧЦІ X= .50000 ОДЕРЖАНО: ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= -1.3863 ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= -1.3863 ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= -1.3863 δ=0 У ТОЧЦІ X= .70000 ОДЕРЖАНО: ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= -.71334 ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= -.71334 ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= -.71335 δ=0.00001 У ТОЧЦІ X= .90000 ОДЕРЖАНО: ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= -.23522 ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= -.23522 ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= -.21072 δ=0.12103
Графік значень δ при n=3,6,9 y точці X= 0.10000 :
Графік значень δ при n=3,6,9 y точці X= 0.30000 :
 Графік значень δ при n=3,6,9 y точці X= 0.50000 :
Графік значень δ при n=3,6,9 y точці X= 0.70000 :
 Графік значень δ при n=3,6,9 y точці X= 0.1000 :
  ● Вибираємо 2 відрізок: 9.5..10.1. Обчислення проводиться в точках: 9.4; 9.6; 9.8; 10.0; 10.2.  ПОЧАТКОВІ ДАНІ : X( 1)= 9.5000 Y( 1)= 4.5026 X( 2)= 9.7900 Y( 2)= 4.5627 X( 3)= 10.080 Y( 3)= 4.6211 ( H= .29000 ) У ТОЧЦІ X= 9.4000 ОДЕРЖАНО: ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= 4.4814 ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= 4.4814 ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= 4.4814 У ТОЧЦІ X= 9.6000 ОДЕРЖАНО: ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= 4.5235 ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= 4.5235 ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= 4.5235 У ТОЧЦІ X= 9.8000 ОДЕРЖАНО: ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= 4.5648 ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= 4.5648 ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= 4.5648 У ТОЧЦІ X= 10.000 ОДЕРЖАНО: ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= 4.6052 ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= 4.6052 ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= 4.6052 У ТОЧЦІ X= 10.200 ОДЕРЖАНО: ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= 4.6448 ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= 4.6448 ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= 4.6448 ПОЧАТКОВІ ДАНІ : X( 1)= 9.5000 Y( 1)= 4.5026 X( 2)= 9.6200 Y( 2)= 4.5277 X( 3)= 9.7400 Y( 3)= 4.5525 X( 4)= 9.8600 Y( 4)= 4.5770 X( 5)= 9.9800 Y( 5)= 4.6012 X( 6)= 10.100 Y( 6)= 4.6251 ( H= .12000 ) У ТОЧЦІ X= 9.4000 ОДЕРЖАНО: ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= 4.4814 ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= 4.4814 ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= 4.4814 У ТОЧЦІ X= 9.6000 ОДЕРЖАНО: ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= 4.5235 ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= 4.5235 ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= 4.5235 У ТОЧЦІ X= 9.8000 ОДЕРЖАНО: ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= 4.5648 ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= 4.5648 ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= 4.5648 У ТОЧЦІ X= 10.000 ОДЕРЖАНО: ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= 4.6052 ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= 4.6052 ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= 4.6052 У ТОЧЦІ X= 10.200 ОДЕРЖАНО: ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= 4.6448 ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= 4.6448 ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= 4.6448 ПОЧАТКОВІ ДАНІ : X( 1)= 9.5000 Y( 1)= 4.5026 X( 2)= 9.5700 Y( 2)= 4.5173 X( 3)= 9.6400 Y( 3)= 4.5318 X( 4)= 9.7100 Y( 4)= 4.5463 X( 5)= 9.7800 Y( 5)= 4.5607 X( 6)= 9.8500 Y( 6)= 4.5749 X( 7)= 9.9200 Y( 7)= 4.5891 X( 8)= 9.9900 Y( 8)= 4.6032 X( 9)= 10.060 Y( 9)= 4.6171 ( H= .70000E-01) У ТОЧЦІ X= 9.4000 ОДЕРЖАНО: ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= 4.4814 ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= 4.4814 ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= 4.4814 У ТОЧЦІ X= 9.6000 ОДЕРЖАНО: ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= 4.5235 ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= 4.5235 ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= 4.5235 У ТОЧЦІ X= 9.8000 ОДЕРЖАНО: ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= 4.5648 ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= 4.5648 ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= 4.5648 У ТОЧЦІ X= 10.000 ОДЕРЖАНО: ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= 4.6052 ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= 4.6052 ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= 4.6052 У ТОЧЦІ X= 10.200 ОДЕРЖАНО: ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= 4.6446 ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= 4.6446 ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= 4.6448  Висновок Під час виконання лабораторної роботи було ознайомлено з методами наближення функцій та їх практичним застосуванням. Було обчислено значення ф-ції в 5 різних точках по методу Лагранжа і Ньютона і знайдено відносні похибки отриманих результатів. З результатів розрахунків та графіків можна зробити висновок, що збільшення кількості вузлів приводить до зменшення похибок обчислень.