Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
МЕТОДИ ЧИСЕЛЬНОГО ІНТЕГРУВАННЯ ФУНКЦІЙ.
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Системи автоматизованого проектуваня
Інформація про роботу
Рік:
2008
Тип роботи:
Лабораторна робота
Предмет:
Чисельні методи в інформатиці
Група:
КН-3
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
Міністерство освіти і науки України
Національний університет «Львівська політехніка»
кафедра САПР
Лабораторна робота №3
з курсу "Чисельні методи в інформатиці"
на тему:
МЕТОДИ ЧИСЕЛЬНОГО ІНТЕГРУВАННЯ ФУНКЦІЙ
Виконав: cт. гр. КН-3
Львів-2008
МЕТА РОБОТИ – ознайомлення із методами чисельного інтегру вання функцій та їх практичним застосуванням.
2. КОРОТКІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ
2.1. Загальний підхід до обчислення означених інтегралів
Якщо для визначеної і неперервної на проміжку функції f(x) ві дома первісна F(x), то означений інтеграл можна обчислити за фор мулою Ньютона-Лейбніца
, (1) де F'(x) = f(x).
Проте в багатьох випадках обчислити означений інтеграл за цією фор мулою неможливо, оскільки знайти первісну F(x) через елементарні функції, як правило, не вдається. Навіть тоді, коли її можна визначити, вона часто має досить складний і незручний для обчислень вигляд. Крім того, на практиці підінтегральна функція часто задається таблично і в такому разі аналітичні методи просто незастосовні. У цих випадках для обчислення означених інте гралів користуються чисельними методами.
Чисельне інтегрування – це обчислення значення означеного інтеграла через ряд значень підінтегральної функції та її похідних. Оскільки знаходжен ня числового значення означеного інтеграла з геометричного погляду можна тлумачити як обчислення площі криволінійної трапеції (її квадратури), то формули для наближеного обчислення означеного інтеграла називаються квадратурними.
Найширше застосовуються квадратурні формули, які дають можли вість наближено відшукувати значення інтеграла у вигляді лінійної комбінації кількох значень підінтегральної функції:
, (2) де – коефіцієнти формули (дійсні числа); – вузли формули.
Якщо задано деякий клас функцій і для нього будуємо квадратурну формулу типу (2), то коефіцієнти і вузли формули не повинні залежати від вибору функції f(x) з даного класу функцій.
Величина (3)
називається залишковим членом квадратурної формули (похибкою формули).
2.2. Квадратурні формули Ньютона-Котеса
Квадратурні формули Ньютона-Котеса будуються шляхом заміни під інтегральної функції інтерполяційним поліномом Лагранжа з рівновіддалени ми вузлами. Частковими випадками квадратурних формул Ньютона-Котеса є:
формули прямокутників: ; (4)
. (5)
Тут (4) – формула "лівих" прямокутників, а (5) – "правих".
формула трапецій: 6)
формула Сімпсона: (7)
У формулах (4) – (7): h – крок; n – кількість інтервалів розбиття; а і в – відповідно ліва і права межі інтегрування; – значення функції в i-му вузлі інтерполяції
2.3. Формула Чебишева
Формула (3) може бути приведена до вигляду:
(8) заміною змінних .
При виведенні формули Чебишева використовуються такі умови: кое фіцієнти рівні між собою; квадратурна формула (8) є точною для усіх поліномів до степеня n включно. Розміщення вузлів визначається, виходячи з цих умов.
Тоді формула (8) буде мати вигляд: . (9)
Для знаходження використаємо другу умову, згідно з якою формула (9) повинна бути точною для функції вигляду:
. (10)
Після підстановки цих функцій у (9), одержимо систему рівнянь: ;; .
Система рівнянь (11) має розв'язок при n<8 і n=9, і дозволяє знайти значення абсцис , у формулі Чебишева (9). У довідковій літературі наводя ться значення абсцис у формулі Чебишева.
2.4. Формула Гауса
Формула Гауса – це формула найвищої алгебраїчної точності. Для формули (8) найвища точність може бути досягнута для поліномів степеня (2n-1), які визначаються постійними i (i=1,2,...,n).
Коефіцієнти визначаються із системи рівнянь, одержаних на основі поліномів Лежандра; – нулі полінома Лежандра .
Формула (12)де – нулі полінома Лежандра називаються формулою Гауса.
У літературі наводяться обчислені елементи формули Гауса для . Оцінка похибки формули Гауса з n вузлами визначається із , (13)
де – максимальне значення 2n-ї похідної на проміжну .
ЛАБОРАТОРНЕ ЗАВДАННЯ
11
exsin(x)
-3.600000
0.012091
-3.400000
0.008528
-3.200000
0.002379
-3.000000
-0.007026
-2.800000
-0.020371
-2.600000
-0.038288
-2.400000
-0.061277
-2.200000
-0.089584
-2.000000
-0.123060
-1.800000
-0.160976
-1.600000
-0.201810
-1.400000
-0.243009
-1.200000
-0.280725
-1.000000
-0.309560
-0.800000
-0.322329
-0.600000
-0.309882
-0.400000
-0.261035
-0.200000
-0.162657
0.000000
0.000000
0.200000
0.242655
0.400000
0.580944
0.600000
1.028846
0.800000
1.596505
1.000000
2.287355
1.200000
3.094479
1.400000
3.996196
1.600000
4.950920
1.800000
5.891435
2.000000
6.718850
2.200000
7.296691
2.400000
7.445750
2.600000
6.940575
2.800000
5.508762
3.000000
2.834471
3.200000
-1.432065
3.400000
-7.657059
3.600000
-16.195467
Вибираємо 2 проміжки [-3;0] та [0;3.2].
ПРОМІЖОК [ -3;0]
Метод лівих прямокутників на відрізку [-3;0] для кількості інтервалів 10,100,1000.
10 -> -0.51429
100 -> -0.52116
1000 -> -0.52114
0,133773;
0,000058;
0,000019;
Метод правих прямокутників на відрізку [-3;0] для кількості інтервалів 10,100,1000.
10 -> -0.51218
100 -> -0.52095
1000 -> -0.52112
0,017174;
0,000345;
0,000019;
Метод трапецій на відрізку [-3;0] для кількості інтервалів 10,100,1000.
10 -> -0.51323
100 -> -0.52105
1000 -> -0.52113
0,015159;
0,000153;
0;
Метод Сімпсона на відрізку [-3;0] для кількості інтервалів 10,100,1000.
10 -> -0.52104
100 -> -0.52113
1000 -> -0.52113
0,000426;
0;
0;
Метод Чебешева на відрізку [-3;0] для степенів полінома 3,5,7.
3 -> -0.53908
5 -> -0.52095
7 -> -0.52111
0,034444;
0,000345;
0,000038;
Метод Гауса на відрізку [-3;0] для степенів полінома 2,4,6,8.
2 -> -0.56991
4 -> -0.52109
6 -> -0.52113
8 -> -0.52113 - точне значення
0,093604;
0,000077;
0;
ПРОМІЖОК [0;3.2]
Метод лівих прямокутників на відрізку [0;3.2] для кількості інтервалів 10,100,1000.
10 -> 12.029
100 -> 12.050
1000 -> 12.031
0;
0,001746;
0,000017;
Метод правих прямокутників на відрізку [0;3.2] для кількості інтервалів 10,100,1000.
10 -> 11.571
100 -> 12.004
1000 -> 12.027
0,038074;
0,002078;
0,000017;
Метод трапецій на відрізку [0;3.2] для кількості інтервалів 10,100,1000.
10 -> 11.800
100 -> 12.027
1000 -> 12.029
0,019037;
0,000017;
0;
Метод Сімпсона на відрізку [0;3.2] для кількості інтервалів 10,100,1000.
10 -> 12.026
100 -> 12.029
1000 -> 12.029
0,000249;
0;
0;
Метод Чебишева на відрізку [0;3.2] для степенів полінома 3,5,7.
3 -> 12.582
5 -> 12.024
7 -> 12.029
0,045972;
0,000416;
0;
Метод Гауса на відрізку [0;3.2] для степенів полінома 2,4,6,8.
2 -> 13.532
4 -> 12.028
6 -> 12.029
8 -> 12.029 – точне значення
0,124948;
0,000083
0;
Висновок
На цій лабораторній роботі я ознайомився із методами чисельного інтегру вання функцій та їх практичним застосуванням.
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора