Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
ПОХИБКИ ОБЧИСЛЮВАЛЬНИХ ПРОЦЕСІВ.
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2008
Тип роботи:
Лабораторна робота
Предмет:
Чисельні методи в інформатиці
Група:
КН-3
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ
ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ "ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА"
ЗВІТ
до лабораторної роботи №1
на тему:
ПОХИБКИ ОБЧИСЛЮВАЛЬНИХ ПРОЦЕСІВ
з курсу "Чисельні методи в інформатиці"
Виконав: ст. гр. КН.-3
Львів 2008
1. МЕТА РОБОТИ
Мета роботи – ознайомлення із механізмами виникнення та оцінки похибок у числовому результаті.
2. ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТИНА
2.1. Класифікація похибок
Похибка – це різниця між істинним значенням величини (вважаючи це істинне значення відомим) і його наближеним значенням. Тобто:
(1)
де – похибка; х – точне значення величини; – наближення значення величини.
У багатьох випадках знак похибки невідомий. Тоді доцільно користу ватися абсолютною похибкою наближеного числа.
(2)
Найчастіше число х невідоме і, відповідно, не можна визначити і абсо лютну похибку. У такому разі корисно замість невідомої теоретичної абсо лютної похибки ввести її оцінку зверху, так звану граничну абсолютну похибку.
Під граничною абсолютною похибкою наближеного числа розумі ється будь-яке число, не менше від абсолютної похибки цього числа. Звідси випливає, що точне число обмежене границями:
. (3)
Практично вигідно як вибирати якомога менше при даних обстави нах число, яке задовольняє нерівність (3).
Відносною похибкою наближеного числа х називається відношення абсолютної похибки цього числа до модуля відповідного точного числа х , тобто:
. (4)
Граничною відносною похибкою даного наближеного числа назива ється будь-яке число, не менше від відносної похибки цього числа. За визначенням маємо:
. (5)
Оскільки , то замість формули (4) часто використовують формулу:
. (6)
Звідси по відомій граничній відносній похибці отримуємо межі точ ного числа, які умовно записують так:
. (7)
У процесі числового розв'язання деякої задачі доводиться мати справу із трьома основними видами похибок:
похибки, що містяться у початковій інформації;
похибки, що виникають при обмеженні нескінченного математич ного процесу скінченним числом операцій (похибки обмеження);
похибки, що виникають внаслідок необхідності подавати число у вигляді скінченної послідовності цифр (похибки заокруглення).
Кожну із цих похибок можна представити в абсолютній та відносній формах.
2.2. Похибки у початковій інформації
Похибки вхідної інформації виникають внаслідок неточності вимірювань, грубих промахів або через неможливість представити необхідну величину скінченним дробом.
Багато чисел не можна представити точно обмеженим числом значу щих цифр. Наприклад, число , яке є ірраціональним числом. Неможливо точно представити і періодичні дроби.
Часто буває також, що дроби, які є скінченими в одній системі числен ня, стають нескінченними в іншій.
2.3. Похибки обмеження
Похибки обмеження визначаються тими числовими методами, які були використані для розв'язання задачі.
Наприклад, при обчисленні функції синуса за допомогою степеневого ряду:
(8)
неможливо використати всі члени ряду, оскільки ряд є нескінченним. Обчис лення обмежуються скінченним числом членів. Наприклад, до х7 або х9. Від кинуті члени ряду (а їх число нескінченне) вносять деяку похибку в результат обчислень. Ця похибка називається похибкою обмеження, оскільки вона ви никає внаслідок обмеження нескінченного математичного процесу.
Дуже багато процесів, що використовуються при обчисленнях, є не скінченними, так що аналіз похибок обмеження дуже важливий.
2.4. Похибки заокруглення
Навіть, якщо припустити, що початкова інформація не містить ніяких похибок, а всі обчислювальні процеси є скінченними і не приводять до похи бок обмеження, то в і такому випадку присутній третій тип похибок – похибки заокруглення. Оскільки обчислювальні машини завжди працюють із скінченною кількістю значущих цифр, то потреба в заокругленні виникає досить часто.
Кожна із чотирьох арифметичних операцій дає в результаті число, яке можна представити у вигляді двох доданків:
. (9)
У даному випадку має t значущих цифр. Звичайне “заокруглення” означає, що з величиною проводять якусь дію, що залежить від величини . Дуже часто ніяка дія не виконується, тобто просто відкидається. Такий принцип реалізовано у багатьох трансляторах з ФОРТРАНу.
У такому випадку відносна похибка становитиме:
. 10)
Тобто при реалізації такого принципу максимальна похибка заокруг лення дійсного числа не залежить від величини цього числа, а залежить тільки від кількості значущих цифр в комірці пам'яті ЕОМ. Частіше викори стовують так зване симетричне заокруглення:
. (11)
(12)
де має той самий знак, що й . Додавання відповідає додаванню одиниці до наймолодшого розряду, якщо відкинуте число починається з цифри 5 або більшої.
Максимально можлива відносна похибка для даного способу:
. (13)
3. Хід роботи
3.1. Дослідження похибок обчислення.
Для заданого варіанту дослідити вплив величини аргументу на результати обчислень функції sin(x) і cos(x) по степеневому ряду
11
-24…+19 -2…+3
14
0,2,3
DC S
Результати обчислень:
Значення х
[-24;19]
Без нормування
Нормування -PI - +PI
Нормування -PI/2 - +PI/2
Sin
(real)
Cos
(double)
Sin
(real)
Cos
(double)
Sin
(real)
Cos
(double)
-24
2439
6,07E-06
4,41E+00
-1,48E-04
-3,655
-1,85E-04
-20,69
-31003
2,99E-06
-1,30E-01
-2,48E-04
0,1527
-3,11E-04
-17,38
-19,97
2,41E-07
5,17E-02
-6,52E-04
6,90E-03
-8,15E-04
-14,08
-0,4304
2,38E-08
7,64E-04
1,15E-03
-1,97E-04
1,44E-03
-10,77
1,47E-02
1,96E-10
-1,22E-05
3,01E-04
1,22E-05
3,76E-04
-7,462
-1,01E-03
2,45E-12
-3,23E-05
1,67E-04
-100
-1,00E+02
-4,154
4,92E-05
2,10E-14
-2,81E-05
1,11E-04
-2,81E-05
8,32E-05
-0,8462
0
0
0,00E+00
0,00E+00
-100
-1,00E+02
2,462
2,84E-05
0
2,84E-05
0,00E+00
2,84E-05
-1,40E-05
5,769
3,27E-04
3,32E-13
1,15E-04
-3,91E-05
-100
-1,00E+02
9,077
-1,10E-03
-1,29E-12
1,57E-04
-2,51E-05
2,27E-04
-3,14E-05
12,38
-1,038
1,95E-10
7,09E-04
-2,55E-05
-100
-1,00E+02
15,69
-114,6
1,40E-09
9,67E-03
-2,17E-06
9,44E-03
-2,44E-06
19
-145,6
1,30E-07
-1,29E-03
3,15E-05
-100
-1,00E+02
Значення х
[-3;2]
Без нормування
Нормування -PI - +PI
Нормування -PI/2 - +PI/2
Sin
(real)
Cos
(double)
Sin
(real)
Cos
(double)
Sin
(real)
Cos
(double)
-3
6,34E-05
1,12E-14
6,34E-05
1,12E-14
1,37E-04
-2,47E-06
-2,615
0
0
0
0
3,56E-05
-1,01E-05
-2,231
-1,51E-05
0
-1,51E-05
0
1,51E-05
-2,23E-05
-1,846
6,19E-06
0
6,19E-06
0
6,19E-06
-6,13E-05
-1,462
0
1,27E-14
0
1,27E-14
-100
-1,00E+02
-1,077
0
0
0
0
-100
-1,00E+02
-0,6923
0
0
0
0
-100
-1,00E+02
-0,3077
0
0
0
0
-100
-1,00E+02
7,69E-02
0
1,11E-14
0
1,11E-14
-100
-1,00E+02
0,4615
0
0
0
0
-100
-1,00E+02
0,8462
0
1,68E-14
0
1,68E-14
-100
-1,00E+02
1,231
-6,32E-06
0
-6,32E-06
0
-100
-1,00E+02
1,615
5,97E-06
-3,11E-14
5,97E-06
-3,11E-14
0
-3,88E-04
2
0
2,67E-14
0
2,67E-14
0
-3,79E-05
Для проміжку [-24;19]
Без нормування
Sin (Звичайна точність)
Cos (Подвійна точність)
Нормування -PI - +PI
Sin (Звичайна точність)
Cos (Подвійна точність)
Нормування -PI/2 - +PI/2
Sin (Звичайна точність)
Cos (Подвійна точність)
Для проміжку [-3;2]
Без нормування
Sin (Звичайна точність)
Cos (Подвійна точність)
Нормування -PI - +PI
Sin (Звичайна точність)
Cos (Подвійна точність)
Нормування -PI/2 - +PI/2
Sin (Звичайна точність)
Cos (Подвійна точність)
3.2. Дослідження похибок заокруглення.
Провести сумування елементів масиву. Дослідити вплив порядку сумування (без сортування, сортування по зростанню, сортування по спаданню) на величину похибки заокруглення.
11
12
132
901
N=12
ПРОСТЕ СУМУВАННЯ:
S= 141833000.00000000000 SD= 141832995.90803620000
СУМУВАННЯ ПО ЗРОСТАННЮ:
SMIN= 141833000.00000000000 SDMIN= 141832995.90803620000
СУМУВАННЯ ПО СПАДАННЮ:
SMAX= 141833000.00000000000 SDMAX= 141832995.90803620000
N=132
ПРОСТЕ СУМУВАННЯ:
S= 1305808000.0000000000 SD= 1305807828.8963000000
СУМУВАННЯ ПО ЗРОСТАННЮ:
SMIN= 1305808000.0000000000 SDMIN= 1305807828.8963000000
СУМУВАННЯ ПО СПАДАННЮ:
SMAX= 1305808000.0000000000 SDMAX= 1305807828.8963000000
N=901
ПРОСТЕ СУМУВАННЯ:
S= 9565391000.0000000000 SD= 9565395731.0803220000
СУМУВАННЯ ПО ЗРОСТАННЮ:
SMIN= 9565394000.0000000000 SDMIN= 9565395731.0803200000
СУМУВАННЯ ПО СПАДАННЮ:
SMAX= 9565387000.0000000000 SDMAX= 9565395731.0803150000
Висновки
На цій лабораторній роботі я ознайомився з механізмами виникнення та оцінки похибок у числовому результаті
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора