Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
МЕХАНІЧНІ КОЛИВАННЯ І ХВИЛІ.
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2024
Тип роботи:
Теорія
Предмет:
Фізика
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
Розділ 3. МЕХАНІЧНІ КОЛИВАННЯ І ХВИЛІ
Коливання – це рухи або процеси, які повторюються у часі.
Залежно від фізичної природи коливання поділяються на:
механічні,
електричні,
електромеханічні,
електромагнітні,
акустичні.
Залежно від зовнішньої дії коливання можуть бути:
вільними – здійснюються за рахунок енерґії, що була початково надана системі,
вимушеними – здійснюються за рахунок енерґії, яку система одержує в процесі руху
3.1. Характеристики гармонічних коливань
Коливання називаються гармонічними якщо величина, що коливається, змінюється в часі за косинусоїдальним (синусоїдальним) законом:
EMBED Equation.3 φ0); (3.1)
швидкість: EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 φ0) EMBED Equation.3 φ0) ; (3.1а)
прискорення:
EMBED Equation.3 φ0) EMBED Equation.3 φ0) (3.1б)
x – зміщення – відхилення тіла від положення рівноваги; А – амплітуда коливань – найбільше відхилення тіла від
положення рівноваги;
φ EMBED Equation.3 φ0) фаза коливань, визначає положення тіла у
момент часу t;
φ0 початкова фаза коливань, визначає положення тіла у момент
часу t=0;
EMBED Equation.3 власна циклічна частота;
Т – період – час здійснення одного повного коливання.
Зв’язок між періодом і власною циклічною частотою коливань має вигляд:
EMBED Equation.3 . (3.2)
3.2. Пружинний маятник
Пружинний маятник – це тверде тіло, підвішене на абсолютно пружній невагомій пружині, яке під дією пружної сили може здійснювати гармонічні коливання .
Якщо тіло висить нерухомо (рис.3.1Б), то пружина видовжена на xст (статичний розтяг) порівняно з ненавантаженою пружиною (рис.3.1А), а умова рівноваги тіла запишеться у вигляді:
EMBED Equation.3 , (3.3)
де - kxст =Fст ( k – коефіцієнт жорсткості пружини).
EMBED PBrush
Рис.3.1
Якщо тіло вивести з положення рівноваги (рис.3.1В), то на нього буде діяти додатково сила пружності:
EMBED Equation.3 (3.4)
і другий закон Ньютона запишеться у вигляді:
EMBED Equation.3 . (3.5)
Врахувавши (3.3), рівняння (3.5) подамо у вигляді:
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 , або EMBED Equation.3 (3.6) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 0, тому можна представити EMBED Equation.3 . (3.7)
З врахуванням (3.7) рівняння (3.6) прийме вигляд:
EMBED Equation.3 . (3.8)
Розв’язок (3.8) є рівнянням гармонічних коливань:
EMBED Equation.3 φ0) (3.9)
Період коливань визначаються масою тіла і жорсткістю пружини:
EMBED Equation.3 . (3.10)
3.3. Фізичний маятник
EMBED PBrush
Рис.3.2
Фізичний маятник - це тверде тіло довільної форми, яке під дією сили тяжіння здійснює коливання навколо EMBED Equation.3 нерухомої горизонтальної осі, що не проходить через центр маси тіла.
При відхиленні маятника від положення рівноваги на кут виникає обертальний момент (рис.3.2):
EMBED Equation.3 , (3.11)
де EMBED Equation.3 складова сили тяжіння яка повертає
маятник у положення рівноваги.
Використавши рівняння динаміки обертального руху твердого тіла:
EMBED Equation.3 , (3.12) EMBED Equation.3
де J0 – момент інерції маятника відносно осі, що проходить
через точку О;
EMBED Equation.3 кутове прискорення маятника
EMBED Equation.3 , (3.13)
одержимо:
EMBED Equation.3 , (3.14)
або: EMBED Equation.3 (3.15)
Позначивши: EMBED Equation.3 , (3.16)
одержуємо диференціальне рівняння коливань маятника:
EMBED Equation.3 . (3.17)
Якщо кут відхилення EMBED Equation.3 малий ( EMBED Equation.3 ), то EMBED Equation.3 ; рівняння (3.17) набуде вигляду:
EMBED Equation.3 . (3.18)
і його розв’язком є рівняння гармонічних коливань:
EMBED Equation.3 φ0), (3.19)
де EMBED Equation.3 - максимальний кут відхилення;
Період коливань фізичного маятника:
EMBED Equation.3 . (3.20)
Позначимо: EMBED Equation.3 , тоді EMBED Equation.3 . (3.21)
Зведена довжина фізичного маятника Lзв – це довжина такого математичного маятника, період коливань якого співпадає з періодом коливань даного фізичного маятника.
Оборотний маятник – це фізичний маятник, який має дві осі обертання, паралельні одна одній (О та О’ ). Ці осі знаходяться на віддалі Lзв. Точка О’називається центром гойдання. Точка підвісу О і центр гойдання О’ мають властивість взаємозамінності: при перенесенні точки підвісу у центр гойдання О’ попередня точка підвісу О стане новим центром гойдання. Період коливань при цьому не зміниться.
3.4. Математичний маятник
Математичний маятник – це підвішена на невагомій нерозтяжній нитці матеріальна точка, яка під дією сили тяжіння може здійснювати періодичні коливання.
Математичний маятник можна розглядати як частинний випадок фізичного маятника, вся маса якого зосереджена в одній точці – центрі мас.
Період коливань такого маятника:
EMBED Equation.3 , ( 3.22)
де L – довжина нитки.
Таким чином, період коливань математичного маятника:
EMBED Equation.3 ( 3.23)
Коливання математичного маятника, як і фізичного, є гармонічними лише при малих кутах відхилення.
3.5. Крутильний маятник
Крутильний маятник – це тверде тіло, закріплене на жорсткій підвісці, яке може здійснювати крутильні коливання під дією сил пружності деформації кручення підвіски .
При закручуванні маятника на кут EMBED Equation.3 виникає момент пружної сили, який намагається повернути маятник у положення рівноваги
M = - f EMBED Equation.3 , (3.24)
EMBED PBrush
де f модуль кручення дротини, який залежить від розмірів
і пружних властивостей матеріалу дротини.
Рис.3.3
Оскільки після закручування маятник буде здійснювати обертальний рух навколо своєї вертикальної осі, яка проходить через точку підвісу вздовж дротини, то:
EMBED Equation.3 M = J EMBED Equation.3 , (3.25)
де J– момент інерції маятника відносно осі закручування.
Врахувавши (3.13), (3.24), рівняння (3.25) запишемо у вигляді:
EMBED Equation.3 , (3.26)
або:
EMBED Equation.3 . (3.27)
Ввівши позначення :
EMBED Equation.3 , (3.28)
отримаємо диференціальне рівняння гармонічних коливань крутильного маятника:
EMBED Equation.3 . (3.29)
Розв’язком (3.28) є рівняння гармонічних коливань:
EMBED Equation.3 φ0). (3.30)
Період коливань крутильного маятника:
EMBED Equation.3 . (3.31)
3.6. Згасаючі коливання
Реальні механічні коливання здійснюються при наявності сил опору середовища. Тому механічна енерґія коливної системи з часом зменшується, а самі коливання загасають. Сила опору середовища переважно пропорційна швидкості руху тіла, що здійснює коливання:
EMBED Equation.3 , (3.32)
де r – коефіцієнт опору середовища,
знак ( - ) вказує на протилежний напрям сили опору
і швидкості руху.
Нехай тіло масою m під дією пружної сили kx і сили опору EMBED Equation.3 здійснює коливання вздовж осі OX. Рівняння руху такого тіла:
EMBED Equation.3 , (3.33)
або: EMBED Equation.3 . (3.34)
Позначивши:
EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ,
де EMBED Equation.3 коефіцієнт згасання,
запишемо диференціальне рівняння згасаючих коливань:
EMBED Equation.3 . (3.35)
Якщо EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , розв’язком (3.35) є рівняння:
EMBED Equation.3 φ0), (3.36)
яке описує гармонічні коливання з циклічною частотою EMBED Equation.3 і змінною у часі амплітудою EMBED Equation.3 при початко-
вій амплітуді А0 (рис.3.4)
X
T
An+1
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
An
A0
t
Рис.3.4
EMBED Equation.3
EMBED CorelDRAW.Graphic.12
Період згасаючих коливань: EMBED Equation.3 . (3.37)
Декрементом згасання D називається відношення амплітуд двох послідовних коливань:
EMBED Equation.3 . (3.38)
Лоґарифмічним декрементом згасання називається фізична величина:
EMBED Equation.3 . (3.39)
Часом релаксації коливальної системи EMBED Equation.3 називається проміжок часу протягом якого амплітуда коливань зменшується в е разів (е – основа натурального лоґарифму)
Коефіцієнтом згасання називається фізична величина, обернена до часу релаксації:
EMBED Equation.3 . (3.40)
Nе – число коливань, після здійснення яких амплітуда зменшується в е разів, так що EMBED Equation.3 = NеT.
EMBED Equation.3= EMBED Equation.3 Т = EMBED Equation.3 . (3.41)
Отже лоґарифмічний декремент згасання це фізична величина, обернена до числа коливань Ne, після здійснення яких амплітуда зменшується в е разів.
Добротністю системи називається фізична величина:
EMBED Equation.3 , (3.42)
де Е – енерґія системи у даний момент часу;
EMBED Equation.3 E – енерґія, втрачена протягом одного періоду.
Отже добротність системи тим більша, чим менші втрати
енерґії системи EMBED Equation.3 E. Можна показати, що:
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 Ne . (3.43)
3.7. Механічні хвилі
Хвиля – це процес поширення коливань у просторі. При поширенні хвилі частинки середовища не втягуються у поступальний рух, а лише коливаються навколо положень рівноваги. При цьому частинки обмінюються енерґією. Тому хвилі переносять енерґію без перенесення речовини.
Механічні (пружні) хвилі це процес поширення коливань у пружному середовищі. Хвилі бувають поздовжніми і поперечними.
У випадку поперечної хвилі частинки середовища коливаються в напрямі, перпендикулярному до напряму поширення хвилі. Поперечні хвилі поширюються у середовищах, в яких виникають пружні сили при деформації зсуву, тобто в твердих тілах. Поперечна хвиля може поширюватися також на поверхні рідини.
Швидкість поширення поперечної хвилі:
EMBED Equation.3 , (3.44)
де G – модуль зсуву,
EMBED Equation.3 густина середовища.
У випадку поздовжньої хвилі частинки середовища коливаються у напрямі поширення хвилі. Поздовжні хвилі поширюються у середовищах, де виникають пружні сили при
деформаціях стиску (розтягу), тобто у твердих тілах, рідинах і газах. Швидкість поширення поздовжньої хвилі:
EMBED Equation.3 , (3.45)
де Е – модуль Юнґа,
EMBED Equation.3 густина середовища.
Для опису хвиль поряд з такими характеристиками, як амплітуда, період, частота, фаза використовують поняття:
хвильовий фронт – ґеометричне місце точок середовища, до яких доходять коливання в даний момент часу;
хвильова поверхня – ґеометричне місце точок, які коливаються в однаковій фазі. За формою хвильової поверхні розрізняють плоскі, сферичні і інші хвилі;
промінь –лінія, перпендикулярна до хвильової поверхні;
довжина хвилі (EMBED Equation.3) – найменша відстань між двома точками середовища у напрямі, перпендикулярному до напряму поширення, які коливаються в однаковій фазі;
швидкість хвилі (u) – швидкість поширення постійної фази хвилі;
хвильове число EMBED Equation.3 .
Довжина хвилі, швидкість, період і частота зв’язані співвідношеннями:
EMBED Equation.3= uT;
u = EMBED Equation.3 ν.
Плоска біжуча хвиля
Хвилі, які переносять у просторі енерґію, називаються біжучими. Якщо плоска хвиля поширюється вздовж осі OX, то EMBED Equation.3 -зміщення з положення рівноваги частинок, що коливаються, залежить від їхніх координат x та часу t, тобто EMBED Equation.3 .
ζ
Частинка В знаходиться на відстані x від джерела коливань О (рис.3.5) . Якщо коливання частинок, які лежать в площині x=0, описуються функцією EMBED Equation.3 , то частинка В коливатиметься за таким же законом, але її коливання будуть запізнюватися у часі порівняно з коливаннями джерела на EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
B
λ
0
x
X
u
Рис.3.5
EMBED CorelDRAW.Graphic.12
Тому рівняння біжучої хвилі має вигляд:
EMBED Equation.3 . (3.46)
Якщо плоска хвиля поширюється у протилежному напрямі, то:
EMBED Equation.3 . (3.47)
У загальному випадку:
EMBED Equation.3 [ EMBED Equation.3 φ0] . (3.48)
Враховуючи :
EMBED Equation.3 ,
надамо рівнянню плоскої хвилі вигляду:
EMBED Equation.3 φ0). (3.49)
Інтерференція хвиль. Стоячі хвилі.
Хвилі називаються когерентними, якщо вони мають однакову частоту і різниця їх фаз залишається постійною в часі:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 φ (φ1 – φ2)
Інтерференція – це явище перерозподілу енергії хвиль в просторі з утворенням стійких в часі областей максимуму і мінімуму енерґії, яке відбувається в результаті накладання когерентних хвиль.
Особливим випадком інтерференції є утворення стоячих хвиль.
Стоячі хвилі – це результат накладання двох біжучих когерентних хвиль з однаковими амплітудами, які поширюються назустріч одна одній:
EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 φ EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 .
Рівняння вказаних хвиль відповідно мають вигляд:
EMBED Equation.3 ; (3.50)
EMBED Equation.3 . (3.51)
При додаванні цих рівнянь отримаємо рівняння стоячої хвилі:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 (3.52)
Амплітуда стоячої хвилі залежить від координати x:
EMBED Equation.3 . (3.53)
В точках середовища, де
EMBED Equation.3 (m = 0, 1, 2, …), (3.54)
амплітуда Аст досягає максимального значення, яке дорівнює 2А.
Ці точки називаються пучностями стоячої хвилі.
В точках середовища, де
EMBED Equation.3 (m = 0, 1, 2, …), (3.55)
амплітуда Аст = 0.
Ці точки називаються вузлами стоячої хвилі.
З рівнянь (3.54) і (3.55) отримаємо координати пучностей та вузлів:
EMBED Equation.3 ; (3.56)
EMBED Equation.3 . (3.57)
Відстань між двома сусідніми вузлами (або пучностями) стоячої хвилі називають довжиною стоячої хвилі EMBED Equation.3 :
EMBED Equation.3 . (3.58)
Всі точки стоячої хвилі між двома вузлами коливаються з різними амплітудами, але з однаковими фазами.
Стояча хвиля не переносить енерґію, тому що падаюча і відбита хвилі однакової амплітуди несуть однакову енерґію в протилежних напрямках.
Якщо середовище, від якого відбувається відбивання, менш густе, то в місці відбивання отримується пучність, якщо більш густе – вузол.
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора