Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
СИНТЕЗ І АНАЛІЗ СИГНАЛІВ В БАЗИСІ ФУНКЦІЙ УОЛША, РАДАМАХЕРА ТА ХААРА.
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Кафедра теоретичної радіотехніки та радіовимірювання (ТРР)
Інформація про роботу
Рік:
2003
Тип роботи:
Методичні вказівки
Предмет:
Сигнали та процеси в радіоелектроніці
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ “ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА”
Кафедра теоретичної радіотехніки і радіовимірювань
СИНТЕЗ І АНАЛІЗ СИГНАЛІВ В БАЗИСІ ФУНКЦІЙ УОЛША,
РАДАМАХЕРА ТА ХААРА
Методичні вказівки до лабораторної роботи № 5
з предмету “Сигнали та процеси в радіоелектроніці”
для студентів базового напряму “Радіотехніка”
ЗАТВЕРДЖЕНО
на засіданні кафедри
“Теоретична радіотехніка
та радіовимірювання”
Протокол № 4 від 27 листопада 2003 р.
Львів 2003
Синтез і аналіз сигналів в базисі функцій Уолша, Радамахера та Хаара. Методичні вказівки до лабораторної роботи №5 з предмету “Сигнали та процеси в радіоелектроніці” для студентів базового напряму “Радіотехніка” /Упорядники: Желяк Р.І., Мелень М.В.- Львів: НУ ЛП, 2003. - с. 13.
Упорядники: Желяк Р.І., доц., канд. техн. наук,
Мелень М.В., доц., канд. техн. наук.
Рецензенти: Волочій Б.Ю., доц., канд. техн. наук,
Бондарєв А.П., доц., канд. техн. наук.
Відповідальний за випуск: Надобко О.В., доц., канд. техн. наук.
© Желяк Р.І., Мелень М.В., 2003
1. МЕТА РОБОТИ
Метою роботи е вивчення методів аналізу і синтезу складних сигналів за допомогою систем ортогональних функцій Уолша, Радамахера та Хаара.
2. ОСНОВНІ ПОЛОЖЕННЯ
З математики відомо, що довільну складну функцію EMBED Equation.3 завжди можна подати у вигляді суми простих (елементарних) функцій EMBED Equation.3 , тобто подати її у вигляді узагальненого ряду Фур’є:
EMBED Equation.3 , (1)
де EMBED Equation.3 - коефіцієнти узагальненого ряду Фур’є – значення проекцій складної функції EMBED Equation.3 на координатні осі багатовимірного простору, що задаються простими елементарними функціями EMBED Equation.3 .
З (1) випливає, що будь який складний сигнал EMBED Equation.3 можна точно описати безмежною сумою зважених ортогональних елементарних сигналів EMBED Equation.3 , тобто розкласти його в узагальнений ряд Фур’є. Проте при практичному розв’язку багатьох інженерних задач замість ряду (1) використовують вкорочений ряд Фур’є:
EMBED Equation.3 , (2)
який описує заданий сигнал з деякою допустимою похибкою, середньоквадратичне значення якої залежить від числа врахованих коефіцієнтів ряду N і оцінюється виразом:
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . (3)
Величина називається середньою квадратичною похибкою апроксимації (подання) рядом EMBED Equation.3 заданого сигналу s(t).
Якщо для неперервного сигналу можна вибрати ai так, щоб при збільшенні кількості членів ряду величина ставала достатньо малою, то сукупність ортогональних функцій {fi (t)} називається повною, а ряд (4) в цьому випадку називається збіжним в середньому.
В загальному випадку елементарні функції EMBED Equation.3 можуть бути довільними, проте, якщо потрібно забезпечити умову взаємної незалежності значень коефі-цієнтів EMBED Equation.3 узагальненого ряду Фур’є, елементарні функції EMBED Equation.3 повинні задоволь-няти умову ортогональності на деякому відрізку часу (t1, t2):
EMBED Equation.3 , (4)
де EMBED Equation.3
У цьому випадку сукупність функцій називають системою ортогональних функцій на відрізку (t1, t2).
Якщо при цьому додатково виконується умова:
EMBED Equation.3 , (5)
то систему елементарних функцій { EMBED Equation.3 } називають ортонормованою.
При цьому для періодичних сигналів EMBED Equation.3 (n – довільне ціле число; Т – період повторення) елементарні функції повинні задовольняти умову періодич-ності EMBED Equation.3 .
Неважко довести, що використання при розкладі сигналу EMBED Equation.3 в ряд (1) елементарних ортогональних або ортонормованих функцій EMBED Equation.3 дозволяє одноз-начно визначати коефіцієнти EMBED Equation.3 ряду у вибраному координатному базисі:
EMBED Equation.3 . (6)
Аналіз показує, що визначення коефіцієнтів ряду EMBED Equation.3 за формулою (6) забез-печує мінімальну середню квадратичну похибку апроксимацію сигналу рядом (1) або (2).
Вибір виду ортогональних функцій, за якими проводиться розклад складного сигналу на суму елементарних сигналів залежить від форми і властивостей складного сигналу. Так для періо-дичних сигналів, миттєве значення яких стрибко-подібно змінюється в часі найчастіше використо-вуються системи ортогональних функцій Уолша, Радамахера, Хаара. Це системи прямокутних функцій, які легко формуються за допомогою сучасних інтегральних цифрових мікросхем.
EMBED Visio.Drawing.4
Найбільш простими для практичної реаліза-ції є функції Радамахера (рис. 1), які утворю-ються з синусоїдальних функцій за допомогою співвідношення
Рис. 1. Перші чотири функції Радамахера.
EMBED Equation.3 (7)
де аргумент EMBED Equation.3 - безрозмірний час, тобто час, нормований до інтервалу T= t2 -t1, в межах якого розглядається поведінка функцій, а ціле додатнє число k - порядок функції. Символ siqn (сигнум - функція) - означає функцію
EMBED Equation.3 . (8)
Відповідно до (7) і (8) функції Радамахера приймають одне з двох значень: + 1 або -1 і мають вигляд меандру.
Оскільки функції Радамахера задовольняють умови (2) і (3), то вони утво-рюють систему ортонормованих функцій. Проте усі функції Радамахера є непар-ними відносно середини інтервалу визначення і тому їх не можна використовувати для апроксимації сигналів s, симетричних відносно моменту EMBED Equation.3. Це означає, що система функцій Радамахера є неповною системою ортонормованих функцій.
Найбільш простий спосіб формування повної ортонормованої системи функцій Уолша базується на взаємозв’язку функцій Уолша з функціями Радамахера. У цьому випадку їх формують утворюючи добутки степенів відповідних функцій Радамахера. Позначаються функції Уолша як wal(,), де - аргумент – нормований час, який в межах заданого інтервалу T = t2 - t1 змінюється від 0 до 1, а - порядковий номер функції.
Перші вісім функцій Уолша приведені на рис. 2.
EMBED Visio.Drawing.4
Рис. 2. Перші вісім функцій Уолша.
Кожна функція Уолша, wal(,), яка входить в систему N = 2n функцій, є добутком степенів перших n функцій Радамахера.
Принцип знаходження показників цих степенів пояснюється в табл. 1.
Т а б л и ц я 1
У таблиці використані наступні позначення: - порядковий номер функції; m - m-u - розряд представлення числа у двійковій системі числення, тобто
EMBED Equation.3 (9)
Символ означає порозрядне підсумування по модулю 2.
Показаний у таблиці спосіб побудови функцій Уолша можна записати аналі-тично для довільного N = 2n у вигляді співвідношення:
EMBED Equation.3. (10)
Спосіб нумерації функцій в системі називається впорядкуванням. Функції Уолша, сформовані на основі виразу (10), називаються впорядкованими по Уолшу. В [I] можна ознайомитися з іншими способами впорядкування функцій Уолша - по Пелі і по Адамару.
Функції Уолша можна використати як систему функцій для спектрального (негармонічного) подання сигналу. Якщо довільний сигнал s() є інтегрованим в межах інтервалу 0 1, то його можна подати рядом Фур’є в системі функцій Уолша (або просто рядом Фур’є – Уолша)
EMBED Equation.3 (11)
з коефіцієнтами
EMBED Equation.3. (12)
Поза границями інтервалу [0, 1] ряд (11) описує періодичну функцію sk, де k - довільне ціле число. Результати розкладу сигналу s() за допомогою співвід-ношень (11) і (12) можна зобразити на спектральній діаграмі, відкладаючи на горизонтальній осі порядкові номери функцій Уолша, а на вертикальній - значення коефіцієнтів Ai. Таку діаграму називають спектром сигналів в базисі функцій Уолша.
З можливості подання довільного сигналу s() рядом Фур’є - Уолша випливає можливість синтезу (утворення) довільного сигналу на інтервалі [0, 1], форма якого залежить від співвідношення коефіцієнтів Ai. Так, гармонічне коливання s()=sin() описується за допомогою перших 16 функцій Уолша виразом:
EMBED Equation.3, (13)
EMBED Visio.Drawing.4
а cпектр цього сигналу в базисі функцій Уолша приведений на рис. 3, а.
Рис. 3. Спектр сигналу s()=sin() в базисі функцій Уолша – а) та його часові діаграми – б).
Сума функцій Уолша з цими ваговими коефіцієнтами дає ступінчастий сигнал (рис. 3, б), який досить добре наближається до синусоїдного сигналу.
При розкладі на відрізку [0, 1] довільної неперервної функції EMBED Equation.3 в рівномір-но збіжний ряд може бути використана як базисна система ортогональних функцій Хаара { EMBED Equation.3 }. При цьому необхідно безрозмірний аргумент EMBED Equation.3 функцій Хаара замінити на t, де коефіцієнт =1/T задає необхідний часовий масштаб функцій і має розмірність часу в мінус першій степені. Графіки деяких функцій Хаара зображені на рис. 4.
При визначенні функцій Хаара використовується поняття двійкових відрізків - відрізки, які можуть бути отримані шляхом ділення відрізку [0, 1] на 2m-1 рівних частин. Ці відрізки вважаються замкнутими зліва і відкритими справа, якщо їх пра-
вий кінець відрізняється від 1. Якщо правий кінець дорівнює 1, то відрізок вважа ється замкнутим також справа. Таким чином, двійкові відрізки - це відрізки [0, 1],
EMBED Visio.Drawing.4
Рис. 4. Графіки перших восьми функцій Хаара.
[0, 1/2], [1/2, 1], [0, 1/4], [1/4, 1/2], [1/2, 3/4], [3/4, 1], [0, 1/8], Відрізки [1/4, 3/4] або [5/8, 7/8] двійковими не вважаються.
Для двійкових відрізків введемо таке позначення:
EMBED Unknown
де j змінюється від 1 до 2m-1, a m = 1,2,... .
Звичайно, у випадку j = 2 m-1 треба вважати l замкнутим також справа. При цьому для кожного m виконується рівність
lm1 + lm2 + lm3 +..... + lm2m-1 = [0, 1].
Поряд з двійковою нумерацією використовують також просту нумерацію, поклавши lmj = ln , де n = 2m-1 + j. Проте, при такій нумерації n = 2, 3, ... відрізок з n= 1 буде відсутнім.
Ліву і праву половини lmj будемо позначати l-mj і l+mj , так що l-mj + l+mj =lmj.
Систему функцій Хаара { EMBED Equation.3 } зручно будувати групами: група номер m міс-тить 2m-1 функцій { EMBED Equation.3 }, j=1, 2, ... , 2m-1; m=1, 2, ... , причому перша функція EMBED Equation.3 = 1 залишається поза групами.
Функції Хаара описуються виразом:
EMBED Unknown
Для кращого розуміння розглянемо приклад розклад у ряд Фур”є-Хаара періо-дичного коливання стрибкоподібної форми, часова залежність якого показана на рис. 5, а.
EMBED Visio.Drawing.4
Рис. 5. Часові діаграми – б) та спектр сигналу s(t) – а) в базисі функцій Хаара.
Порівнюючи часову діаграму сигналу s(t) та показані на рис. 4. графіки перших восьми функцій Хаара отримаємо наступні значення коефіцієнтів ряду Фур”є-Хаара:
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 .
Отже задане періодичне коливання стрибкоподібної форми описується за допомогою перших 8 функцій Хаара виразом:
EMBED Equation.3. (14)
Сума функцій Хаара з розрахованими ваговими коефіцієнтами дає ступінчас-тий сигнал, форма якого показана на рис. 5, а.
3. КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ
Яка система функцій називається ортогональною системою ?
Яка система функцій називається ортонормованою системою ?
Які системи ортогональних функцій Ви знаєте ?
Як формується система ортогональних функцій Радамахера ?
Як формується система ортогональних функцій Уолша ?
Як формується система ортогональних функцій Хаара ?
Як вибираються амплітуди (коефіцієнти) окремих функцій Радамахера, Уол-ша, Хаара при синтезі заданого сигналу ?
Як за допомогою функцій Радамахера, Уолша, Хаара можна синтезувати сиг-нал заданої форми?
Чи можна варіацією амплітуд (коефіцієнтів) окремих функцій покращити точ-ність синтезу сигналу ?
Від чого залежить точність синтезу заданого сигналу?
Який спектр називається спектром сигналу в базисі функцій Радамахера, Уолша, Хаара ?
Чи є різниця між спектрами при розкладі того ж сигналу в спектрі за допо-могою ряду Фур’є-Радамахера, ряду Фур’є-Уолша і ряду Фур’є-Хаара?
4. РОЗРАХУНКОВЕ ЗАВДАННЯ
На основі викладених теоретичних положнь:
1. розрахувати спектр в базисі розривних функцій (до 8-ми коефіцієнтів ряду) і побудувати спектральні діаграми одного із заданих викладачем сигналу:
а. EMBED Equation.3;
б. EMBED Equation.3;
в. EMBED Equation.3
г. EMBED Equation.3
2. Використовуючи результати аналізу просумувати з відповідними коефіцієн-тами функції Уолша, Радамахера та Хаара і нарисувати графіки утвореного (синтезованого) сигналу.
3. Оцінити абсолютну похибку синтезу заданого сигналу як різницю між зада-ним сигналом і частковими сумами елементарних складових. Різницю доцільно визначати в 20-ти рівновіддалених точках в межах періоду повто-рення заданого сигналу. Максимальне значення похибки синтезу сигналу при цьому буде дорівнювати модулю максимальної різниці.
4. Визначити середню квадратичну похибку синтезованого сигналу, як відно-шення суми квадратів різниць до кількості точок, в яких вони визначались.
5. ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНА ЧАСТИНА
Експериментальна частина передбачає лабораторну перевірку результатів правильності розрахунків для заданих викладачем сигналів. Для цього використо-вується спеціалізований лабораторний макет, пердня панель якого приведена на рис. 6. Він складається з 12-ти генераторів гармонічних сигналів, 12-ти генераторів функцій Уолша, Радамахера та Хаара і 12-ти входового суматора сигналів.
На передню панель макета виведені:
Вимикач живлення;
перемикач виду генерованих функцій;
ручки потенціометрів, за допомогою яких встановлюються потрібні амплітуди функцій;
ручки потенціометрів, за допомогою яких встановлюються потрібні початкові фази гармонічних функцій;
гнізда, які дозволяють побачити осцилограми вибраних функцій;
Рис. 6. Передня панель лабораторного макету.
гніздо синхронізації осцилографа;
гніздо для спостереження сигналу на виході суматора.
Після перевірки викладачем результатів розрахунків потрібно:
ввімкнути живлення лабораторного макету і перемикачем виду функцій встановити режим генерування потрібних функцій;
під’єднати вхід синхронізації осцилографа до гнізда “синхронізація” на лабораторному макеті і ввімкнути режим синхронізації “зовнішня”;
за допомогою ручок потенціометрів “Амплітуда” встановити необхідні амплітуди окремих функцій;
за допомогою ручок потенціометрів “Фаза” встановити необхідні почат-кові фази (виконується тільки для гармонічних функцій). Зміну значеннь амплітуд та фаз окремих складових доцільно проводити послідовно: спочатку першої, потім другої і т. д., контролюючи при цьому осцилог-рафом рівень окремих складових на відповідних гніздах макету;
під’єднати вхід вертикальної розгортки осцилографа до гнізда для спостереження сигналу на виході суматора і зрисувати з екрана осци-лографа синтезований сигнал у відповідному базисі вибраних функцій, строго притримуючись масштабу зображення. Після цього потрібно визначити похибку синтезу;
міняючи в невеликих межах амплітуди (фази) окремих функцій відносно розрахованих значень, оцінити їх вплив на форму вихідного сигналу і величину похибки синтезу.
6. ЗМІСТ ЗВІТУ
Звіт по лабораторній роботі повинен містити:
1. Результати розрахунків спектральних коефіцієнтів і графіки синтезованого сигналу за допомогою перших восьми функцій Уолша, Радамахера та Хаара.
2. Графіки експериментально синтезованих сигналів, зрисованих з екрана осцилографа з строгим додержанням масштабу.
3. Результати оцінки точності синтезу.
4. Порівняння розрахункових і експериментальних даних.
5. Висновки.
7. ЛІТЕРАТУРА
1. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы: учебник для вузов. – 4-е изд. Перераб. и доп. - М.: Советское радио, 1986, с. 429-445.
2. Клодовский Д.Д. Теория передачи сигналов. - М.: Связь, 1973, с. 64-70.
3. Френк Л. Теория сигналов. - М.: Советское радио, 1974, с. 61-68.
Навчальне видання
Синтез і аналіз сигналів в базисі функцій Уолша, Радамахера та Хаара. Методичні вказівки до лабораторної роботи №5 з предмету “Сигнали та процеси в радіоелектроніці” для студентів базового напряму “Радіотехніка”.
Укладачі: Р.І. Желяк, М.В. Мелень.
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора