Поліноміальна апроксимація нелінійних характеристик елементів.. Інструкція та методичні настанови з Моделювання об’єктів та систем. Робота № 203140

Перехід до торгівельного партнера Binance

Поліноміальна апроксимація нелінійних характеристик елементів.

Інформація про навчальний заклад

ВУЗ:

Національний університет Львівська політехніка

Інститут:

Не вказано

Факультет:

Не вказано

Кафедра:

Не вказано

Інформація про роботу

Рік:

2007

Тип роботи:

Інструкція та методичні настанови

Предмет:

Моделювання об’єктів та систем

Завантажити

Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):

Міністерство освіти і науки України Національний університет “Львівська політехніка” EMBED Word.Picture.8 Поліноміальна апроксимація нелінійних характеристик елементів Інструкція до лабораторної роботи № 1 з курсу “Моделювання об’єктів та систем” для студентів базового напрямку 60914 “Комп’ютеризовані системи, автоматика і управління” Затверджено на засiданнi кафедри “Комп’ютеризовані системи автоматики» Протокол № від . .2007 р. Львів 2007 Поліноміальна апроксимація нелінійних характеристик елементів: Інструкція до лабораторної роботи №1 з курсу “Моделювання процесів та елементів систем керування” для студентів базового напрямку 6.0914 “Комп’ютеризовані системи, автоматика і управління” / Укл.: У.Ю.Дзелендзяк, А.Г.Павельчак, В.В.Самотий – Львів: НУЛП, 2007.- 15 с. Укладачі: У.Ю.Дзелендзяк, к.т.н., ст.викл. А.Г.Павельчак, асистент В.В.Самотий, д.т.н., професор Відповідальний за випуск А.Й.Наконечний, д.т.н., професор Рецензент: І.М.Ковела, к.т.н., доцент Мета роботи – вивчити методи наближення нелінійних характеристик елементів систем керування поліноміальними функціями, а саме: поліномами Лагранжа, Тейлора та кубічними сплайнами; навчитися записувати програми у вигляді універсальних процедур для апроксимації нелінійних характеристик. ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ На практиці досить часто нелінійні характеристики елементів систем керування визначаються емпіричним шляхом, а тому задаються в табличному вигляді. Це означає, що нелінійні характеристики задаються лише декількома дискретними значеннями аргументу і функції. В подальших розрахунках, при аналізі режимів роботи цих елементів, нам необхідно мати їх неперервні характеристики. Для цього треба підібрати аналітичну функцію, яка б відображала емпіричну залежність. Найбільш зручною на практиці функцією є алгебричний поліном. Щоб його задати необхідно визначити певне число його коефіцієнтів. Широке застосування поліномів обмовлене тим, що від нього легко взяти похідну, обчислити інтеграл і т.д. Розглянемо кілька методів інтерполяції функції алгебричними поліномами. 1.1. Різницеві схеми Існує багато різницевих схем методів інтерполяції функцій. Найбільшого поширення набув метод Ньютона-Грегорі для інтерполювання “вперед”. Інтерполяційний поліном в цьому випадку має вигляд EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . (1) Наклавши умову збігу в дискретних точках значень функції та поліному запишемо систему рівнянь з якої визначимо коефіцієнти поліному EMBED Equation.3 . (2) Підставивши (1) в (2), отримаємо EMBED Equation.3 (3) Як бачимо це є система EMBED Equation.3 лінійних алгебричних рівнянь з трикутною матрицею. Розв’язуючи дану систему можна визначити коефіцієнти EMBED Equation.3 ... EMBED Equation.3 . Нехай дискретні значення функції EMBED Equation.3 отримані емпіричним шляхом є рівновіддаленими по вісі абсцис, тобто EMBED Equation.3 , (4) де EMBED Equation.3 - крок табуляції. Розв’язок системи рівнянь (3) зводиться до різницевих виразів для коефіцієнтів інтерполяції EMBED Equation.3 (5) Інтерполяційний поліном (1) з урахуванням отриманих залежностей (5) набуде вигляду EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (6) Формула (6) називається першою інтерполяційною формулою Ньютона. Вона використовує праві різниці. При застосуванні лівих різниць можна отримати другу інтерполяційну формулу Ньютона. Використання центральних різниць для отримання інтерполяційних формул приводить до формул Гауса, Стірлінга та Бесселя. 1.2. Кубічний сплайн У випадку коли ми хочемо виконати апроксимацію функції заданої у вигляді таблиці дуже часто використовують сплайн-функції, а найбільш поширеним є кубічний сплайн. Він дозволяє виконати апроксимацію функції за двома точками та значеннями похідних в цих точках. Таким чином, така апроксимація забезпечує проходження функції через задані точки з заданим нахилом. Такий підхід виявися дуже практичним бо дозволяє розбивати табличну функцію на частини і отримувати неперервну і гладку апроксимацію. Гладкість даної апроксимації забезпечується фіксацією першої похідної в усіх заданих точках апроксимації. Якщо розглянути сплайн-функцію 5-го порядку, тоді можна ще зафіксувати і значення другої похідної в точках апроксимації. Це забезпечить гладкість функції за першою похідною. Формула кубічного сплайну має вигляд EMBED Equation.3 (7) де EMBED Equation.3 - кубічний сплайн; EMBED Equation.3 - табличні значення функції; EMBED Equation.3 - крок сплайну; EMBED Equation.3 - значення похідних в точках апроксимації. Наведемо вирази для коефіцієнтів сплайну EMBED Equation.3 (8) де EMBED Equation.3 - табличні значення аргументу. Між іншим, крок сплайну слід визначати за формулою EMBED Equation.3 . 1.3. Метод вибраних точок Як і кубічний сплайн цей метод використовують, коли функція задана у вигляді таблиці значень аргументу і функції. Спочатку необхідно вибрати вираз для апроксимації, припустимо, що це буде рівняння параболи EMBED Equation.3 . (9) Отже для апроксимації нам необхідно визначити три коефіцієнти параболи EMBED Equation.3 . Для цього необхідно мати систему трьох лінійних алгебричних рівнянь. Візьмемо з таблиці перших три значення функції EMBED Equation.3 (10) Для цих значень запишемо систему рівнянь підставивши (10) в (9) EMBED Equation.3 (11) Розв’язавши систему лінійних алгебричних рівнянь (11) визначимо коефіцієнти апроксимації EMBED Equation.3 на відрізку EMBED Equation.3 Можна вибрати іншу апроксимаційну функцію і накладати різні умови. Наприклад, можна взяти поліном третього порядку EMBED Equation.3 . (12) Тут необхідно визначити чотири коефіцієнти EMBED Equation.3 . Для цього необхідно мати систему чотирьох алгебричних рівнянь. Візьмемо з таблиці перших три значення функції EMBED Equation.3 (13) і доповнимо їх ще однією умовою, а саме значенням похідної в середній точці EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . (14) Якщо така похідна не задана, то її можна обчислити наближено EMBED Equation.3 . (15) Слід зауважити, що це найпростіший вираз для обчислення похідної, тому він може давати значні похибки. Похідна кубічного поліному (12) буде мати вигляд EMBED Equation.3 . (16) Для значень (13), (14) складемо систему лінійних алгебричних рівнянь, підставивши значення вузлів апроксимації (13) в (12), а значення похідної у середньому вузлі (14) в (16) EMBED Equation.3 (17) Розв’язавши систему рівнянь (17) визначимо коефіцієнти апроксимації EMBED Equation.3 на відрізку EMBED Equation.3 2. ЗАВДАННЯ ДЛЯ ЛАБОРАТОРНОЇ РОБОТИ EMBED CorelDRAW.Graphic.12 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 Рис. 1 Завдання для лабораторної роботи дають із зазначенням номера апроксимуючої функції та варіанта чисельних значень координат вузлів апроксимації. В даній роботі необхідно виконати апроксимацію кривої намаґнечування. Крива намаґнечування задається двома точками, що відділяють лінійні зони від нелінійної (рис. 1). Координати цих точок позначені А(і1, 1), В(і2, 2). Для того, щоб виконати апроксимацію ділянки АВ поліномом, необхідні ще значення похідних в точках А, В. Для першої точки (А) похідна визначається безпосередньо за значеннями функції і аргументу у вузлі m1 = i1/1, (18) а для другої точки (В) похідна m2 задана. Тоді рівняння лінійної ділянки ОА визначається рівнянням прямої, що проходить через початок координат i() = m1 (19) Рівняння ділянки ВС описує зону насичення феромаґнетного осердя яку також можна вважати лінійною, тому i() = m2 + i0, (20) де вільний член і0 визначаємо за формулою i0 = i2 - m22 . (21) Таким чином, криву намаґнечування апроксимуємо виразом з вибором розрахункової формули, в якій є два рівняння прямої і одна нелінійна функція EMBED Equation.2 (22) 2.1. Домашня підготовка до роботи 1. Вивчити методи апроксимації нелінійних функцій. 2. Скласти блок-схему апроксимації кривої намаґнечення заданою функцією. 3. Згідно блок-схеми написати програму апроксимації кривої намаґнечення алгоритмічною мовою С. Вирази для апроксимуючих функцій 1. EMBED Equation.3 – кубічний сплайн (див. вирази (7), (8)) 2. EMBED Equation.3 3. EMBED Equation.3 4. EMBED Equation.3 5. EMBED Equation.3 Варіанти чисельних значень вузлів апроксимації Таблиця 1 2.2. Робота в лабораторії 1. Ввести в комп’ютер програму, написану мовою С згідно отриманим завданням. 2. Відлагодити програму. При необхідності скоригувати блок-схему алгоритму та програму у відповідності з виявленими логічними та синтаксичними помилками. 3. Результати апроксимації протабулювати від 0 до 1.12 і записати до текстового файлу у вигляді трьох стовпців , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 . 4. Використовуючи програму GRAFER нарисувати залежності EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 . 5. Остаточні версії блок-схеми, програми та отримані результати занести у звіт з лабораторної роботи. 6. Здати звіт з лабораторної роботи. 3. ЗМІСТ ЗВІТУ 1. Номер і назва лабораторної роботи. 2. Повний текст завдання. 3. Остаточна версія блок-схеми алгоритму. 4. Список ідентифікаторів констант, змінних, процедур і функцій, використаних у блок-схемі алгоритму і програмі, та їх пояснення. 5. Остаточна версія програми. 6. Результати роботи програми. 4. КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ До чого застосовують різницеві схеми? Яка різниця між інтерполюванням «вперед» і «назад»? Які переваги кубічних сплайнів у порівнянні з іншими інтерполяційними формулами? Як визначити інтерполяційні коефіцієнти в методі вибраних точок? СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ Навчальне видання Поліноміальна апроксимація нелінійних характеристик елементів: Інструкція до лабораторної роботи № 1з курсу “Моделювання процесів та елементів систем керування” для студентів базового напрямку 60914 “Комп’ютеризовані системи, автоматика і управління” Укладачі: Дзелендзяк Уляна Юріївна Павельчак Андрій Геннадійович Самотий Володимир Васильович

Інструкція та методичні настанови Моделювання об’єктів та систем

01.01.1970 03:01-

Коментарі

Ви не можете залишити коментар. Для цього, будь ласка, або зареєструйтесь.

Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!

Маєш корисні навчальні матеріали, які припадають пилом на твоєму комп'ютері? Розрахункові, лабораторні, практичні чи контрольні роботи — завантажуй їх прямо зараз і одразу отримуй бали на свій рахунок! Заархівуй всі файли в один .zip (до 100 МБ) або завантажуй кожен файл окремо. Внесок у спільноту – це легкий спосіб допомогти іншим та отримати додаткові можливості на сайті. Твої старі роботи можуть приносити тобі нові нагороди!

поділитись