Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Надійність систем захисту інформації
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2024
Тип роботи:
Лекція
Предмет:
Інші
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
Надійність та діагностика є однією з основних інженерних проблем, яка до сьогодні не вирішена. Надійність пов’язана з надлишковістю, тому при розрахунку інженерних задач надійності використовуються певні коефіцієнти запасу. Надійність з»явилася 50-60 рр. тому в такому розумінні як зараз.
Причини, пов’язані з проблемою надійності:
Різке зростання складності сучасної техніки, які нараховують в собі 10-тки і 100-ні мільйонів елементів;
Інтенсивністю режимів роботи систем або їх складових частин;
Складність умов експлуатації технічних засобів (низькі або високі температури, висока вологість вібрації, прискорення, радіація) автоматики використовуються при зміні температур (-70 до +60 °С, при відносній вологості 98-100%, при наявності високої сонячної і космічної радіації)
Вимогами до якості роботи технічних засобів (висока точність, ефективність, швидкодія)
Підвищення відповідальності формування технічних засобів (дуже висока технічна і економічна ціна відмови) – при запуску одного із супутників в США вартість деталі в 5 $ привела до збитку в 8 млн.
В 1969 році в США декілька штатів були від’єнані від мережі 1 день – 500 млн. $
Людський фактор теж відіграє важливу роль в надійності.
Надійність пристроїв залежить не тільки від точності і якості виготовлення елементів, але і від умов її експлуатації.
І Пристрій – 40 елементів; ІІ пристрій – 100 елементів з ймовірністю безвідмовної роботи P(t)=0,99
Якщо ці елементи з’єднані послідовно, то надійність
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
SHAPE \* MERGEFORMAT P1
P2
P
…
EMBED Equation.3
PI(t) – тільки 66 елементів зі 100 будуть працювати, а 24 будуть відмовляти
PIІ(t) – тільки 37 працювати, а 63 відмовляти за певний період часу t.
Краще PI(t).
ЕОМ має 900 тис. елементів і їх надійність ≠1, кожен з елементів складаються з 10 матеріалів, 10 складальних елементів, а кожен з цих елементів проходить 10 технологічних операцій => тому причин виходу з ладу ЕОМ → 900.000×10×10= 90 млн., які обумовлюють надійність ЕОМ
Надійність своєю методологією, літературою та науковою школою стала окремою галуззю в 49-50рр. Саме в цей час виникла тенденція до вивчення відмов які виникають в апаратурі, факторів,які впливають на надійність апаратури. Практичний досвід показує, що краще витратити гроші на розробку надійності (її підвищення), ніж потім розраховуватись під час експлуатації.
Тенденції відмов
В приладах 40-45% відмов виникає внаслідок помилок при проектуванні
20% - відмови внаслідок помилок виробництва
30% - помилки при експлуатації обслуговуючим персоналом
5-7% - відмови через деградацію матеріалів при експлуатації і зберіганні пристроїв та елементів (старіння елементів, часові відмови)
Проблема підвищення надійності є комплексною. Надійність не виникає стихійно, це завжди результат упущень, недисциплінованості, які допущено при проектуванні, виробництві і експлуатації виробу, недбальства. Надійність треба розглядати і при зберіганні виробів. Про надійність виробу у більшості випадків згадують як якість.
Якість продукції – це сукупність властивостей, які визначають ступінь її придатності для використання за призначенням. Кожному виробу притаманні свої властивості, особливі показники якості, які проявляються в процесі його застосування(продукти – свіжість, взуття – міцність, зручність колодки, відповідність моді, верстати – продуктивність, точність, швидкодія, швидко і легко замінність). Більшість властивостей, які характеризують якість не пов’язані одна з одною.
Надійність пов’язана з усіма властивостями виробу і характеризує прояв всіх показників якості виробу в процесі роботи. Сама по собі надійність виробу ще не говорить про його високу якість (виріб може бути надійним, але володіти низькими технологічними характеристиками). Але якщо виріб має високі технологічні характеристики, але не володіє високою надійністю, то він втрачає своє практичне значення, оскільки не може бути повноцінно використаний в роботі. Надійність є однією із складових якостей машини або приладу. Ця частина якості особлива, вона характеризує загальні властивості виробу. Забезпечення якості і надійності розглядається у всьому світі як важлива проблема національної економіки від якої залежать темпи промислового розвитку, її національний престиж, підвищення конкурентоспроможності виробу. Проблема надійності є складною і складність рішення проблеми визначається її комплексним характером, оскільки технічна, економічна і соціальна сторони розглядаються в ній разом. Виріб і прилад, система, апарат, вузол можуть бути охарактеризовані з боку надійності : технічним станом; поновленням працездатності якістю.
SHAPE \* MERGEFORMAT Виріб
якість
технічний стан стастан
пристосування до поновлення
інші властивості
надійність вівівнанадійність
граничні
справні
неремонтовані
ремонтовані
працездатність
несправні ненесправність
непрацюючі
відновлюваний
невідновлювальні
Надійність має свій держаний стандарт України ДСТУ 2860-94
Згідно ДСТУ під надійністю розуміють властивість виробу (об’єкта) зберігати в часі в установлених межах значення всіх параметрів, які характеризують здатність виконувати потрібні функції в заданих режимах і умовах застосування, технічного обслуговування, зберігання та транспортування. Надійність залежить від призначень об’єкту і умов застосування і вміщує в собі безвідмовність, довговічність, збережуваність і ремонтоздатність як окремо (поодиноко), так і комплексно (відразу двома властивостями).
Безвідмовність – це властивість об’єкта виконувати потрібні функції в певних умовах протягом заданого інтервалу часу.
Довговічність – це властивість об’єкта виконувати потрібні функції до переходу у граничний стан при встановленій системі технічного обслуговування та ремонту.
Збережуваність – це властивість об’єкта зберігати в заданих межах значення параметрів, що характеризують здатність об’єкта виконувати потрібні функції під час і після збереження чи транспортування.
Ремонтоздатність – це властивість об’єкта бути пристосованим до підтримки та відновлення стану , в якому він здатний виконувати потрібні функції за допомогою технічного обслуговування та ремонту.
Об’єкт – це система, прилад, машина, елемент, будова якого розглядається з погляду надійності як самостійна одиниця. Але об’єкт може включати: технічні засоби; технічний персонал; чи або їх поєднання.
Сьогодні можна виділити чотири групи об’єктів, які відрізняються показниками і методами оцінки надійності.
SHAPE \* MERGEFORMAT ОБ’ЄКТ
обслуговування
необслуговування
неремонтоздатність
неремонтоздатність
ремонтоздатність
відновлюваний
допускає перериви в роботі
невідновлюваний
не допускає перериви в роботі
Обслуговуваний об’єкт – об’єкт, для якого проведення технічного обслуговування передбачено нормативно-технічною документацією або конструкторсько-проектною документацією.
Необслуговуваний об’єкт - це об’єкт, для якого проведення технічного обслуговування не передбачено нормативно-технічною документацією та конструкторсько-проектною документацією.
Ремонтований об’єкт – це об’єкт, ремонт якого передбачений та можливий ремонтованою, нормативною та конструкторською документаціями.
Неремонтований об’єкт – це об’єкт, ремонт якого не передбачений нормативною ремонтною та конструкторською документацією.
Відновлюваний об’єкт – це ремонтований об’єкт, який після відмови та усунення несправностей знову стає здатним виконувати потрібні функції, що задані кількісними показниками надійності.
Готовність – властивість об’єкта виконувати потрібні функції в даних умовах протягом заданого інтервалу часу за умови забезпечення необхідними зовнішніми ресурсами.
За станом об’єкта розрізняють:
справний стан;
несправний стан;
працездатний;
непрацездатний;
критичний;
граничний.
Справність – це стан об’єкта, за яким він здатний виконувати всі задані функції;
Несправність – це стан об’єкта, за яким він не здатний виконувати одну із заданих функцій;
Критичний стан – це стан об’єкта, що може призвести до травмування людей, значних матеріальних збитків та інших неприйнятних наслідків.
Граничний стан – це стан об’єкта, за яким його подальша експлуатація неприпустима чи недоцільна або відновлення його працездатного стану неможливе чи недоцільне.
Несправність може бути: незначною, частковою, значною, повною, прихованою, маскованою.
Дефект – це кожна окрема невідповідність об’єкта встановленим вимогам.
Пошкодження – це подія, яка полягає у порушені справного стану об’єкта, коли зберігається його працездатність.
Відмова та її види:
Відмова – це подія, яка полягає у втраті об’єктом здатності виконувати потрібні функції.
Несправність і відмова відрізняються між собою :
Несправність – це стан і причина відмови.
Відмова – подія.
Розрізняють відмови:
повну;
часткову;
конструкційну;
ресурсну;
виробничу;
систематичну.
Ресурсна відмова – це відмова внаслідок якої об’єкт досягає граничного стану.
Збій – це само усувна (одноразова) відмова, яку незначними втручаннями усуває оператор.
Повторювальна відмова - це само усувна відмова одного і того ж характеру, що виникає багаторазово.
Деградована відмова – це відмова, спричинена процесами деградації в об’єкті, при дотриманні всіх встановлених правил, норм виготовлення і експлуатації.
Раптова відмова – відмова, яку неможливо визначити(передбачити) дослідженнями, технічним оглядом.
Поступова відмова – відмова, спричинена поступовими змінами одного чи декількох параметрів об’єкта, її можна передбачити дослідженням чи технічним оглядом а також її інколи можна відвернути заходами технічного обслуговування.
Слід розрізняти відмови:
враховані;
невраховані.
Враховані відмови – як правило заносять у розрахунок величини показника безвідмовності.
Невраховані відмови – вилучають з розрахунку величини показника безвідмовності.
Залежна відмова – це відмова об’єкта спричинена прямо чи непрямо відмовою або несправністю іншого об’єкта.
Незалежна відмова – це відмова не спричинена прямо чи не прямо відмовою або не справністю іншого об’єкта.
Причина відмови ховається під час проектування , виготовлення чи використання об’єкта, які і привели до відмови.
Механізм відмови може бути пов’язаний із фізичними, хімічними та іншими процесами, що привели до відмови.
Наслідки відмови – явища, процеси, події, обумовлені виниканням відмови об’єкта.
При розрахунку надійності використовують такі терміни:
Наробіток (напрацювання) – це тривалість чи обсяг роботи об’єкта може бути неперервною (час) або дискретною (кількість циклів) величиною.
Наробіток до відмови – це час від початку експлуатації до виникнення відмови.
Наробіток між відмовами – це наробіток об’єкта від завершення відновлення його працездатного стану після відмови до виникнення наступної відмови.
Ресурс(механічний ресурс) – це сумарний наробіток об’єкта від початку його експлуатації чи відновлення після ремонту до переходу в граничний стан.
Призначений ресурс – це сумарний наробіток об’єкта при досягненні якого експлуатацію об’єкта потрібно припинити незалежно від його технічного стану.
Термін служби – це календарна тривалість експлуатації об’єкта від початку чи його поновлення після ремонту до переходу в граничний стан.
Термін збережуваності – це календарна тривалість збереження чи транспортування об’єкта, протягом якої значення параметрів, що характеризують здатність об’єкта виконувати потрібні функції перебувають в заданих межах.
Призначений термін зберігання – це календарна тривалість зберігання після досягнення якої зберігання об’єкта потрібно припинити незалежно від його технічного стану.
Термін поновлення – це інтервал часу, протягом якого об’єкт перебуває в непрацездатному стані через відмову.
Тривалість технічного обслуговування(ремонту) – інтервал часу, протягом якого виконується вручну або автоматично операція технічного обслуговування або ремонту об’єкта, включаючи тривалість затримок через незабезпеченість ресурсами.
Період приробітку (приробітки) – можливий початковий період наробітку об’єкта, протягом якого спостерігається стала тенденція до зменшення параметру потоку відмов, що зумовлені наявністю, поступовими виявленнями та усуненнями прихованих дефектів.
SHAPE \* MERGEFORMAT X(t)
t
Ідеалізована крива інтенсивності відмов
І – період приробітку
ІІ – період нормальної експлуатації об’єкта (інтенсивність відмов λ = const)
ІІІ – період накопичення змін в матеріалах, об’єктах (зношення, старіння …) Всі властивості надійності , в залежності від того, яку розглядаємо характеризуються показниками.
I
II
III
Види показників надійності
Показник надійності – це комплексна характеристика однієї чи декількох з тих властивостей, які у сукупності складають надійність об’єкта.
Серед показників надійності розрізняють:
одиничні – це показники надійності , що характеризують одні з тих властивостей, які в сукупності складають надійність об’єкта;
комплексні – це показники надійності, що характеризують декілька властивостей з тих, які в сукупності складають надійність об’єкта;
експлуатаційні – це показники надійності, точкову чи інтервальну оцінку якого визначають за результатами експлуатації;
експериментальні – це показники надійності, точкову чи інтервальну оцінку якого визначають за даними випробувань;
розрахунковий – визначають шляхом розрахунків.
Кожна з властивостей надійності (безвідмовність, збережуваність, ремонтоздатність) визначається набором показників.
Показники безвідмовності:
ймовірність безвідмовної роботи;
середній наробіток до відмови;
середній наробіток між відмовами;
γ – відсотковий наробіток на відмову;
інтенсивність відмов;
середня інтенсивність відмов;
параметр потоку відмов;
середній параметр потоку відмов.
Ймовірність безвідмовної роботи – це ймовірність того, що протягом заданого наробітку відмова об’єкту не виникне (на початку інтервалу часу чи наробітку об’єкт не відмовить).
Середній наробіток до відмови – математичне сподівання наробітку об’єкта до першої відмови.
γ – відсотковий наробіток на відмову – це наробіток протягом якого відмова об’єкта не виникне з ймовірністю γ вираженою у відсотках.
Інтенсивність відмов – умовна густина ймовірності виникнення відмови об’єкта, яка визначається за умови що до цього моменту відмова не виникла.
Параметр потоку відмов – відношення математичного сподівання кількості відмов відновлюваного об’єкта за досить малий наробіток до значення цього наробітку.
Показники довговічності:
середній ресурс – це математичне сподівання ресурсу;
γ – відсотковий ресурс – це сумарний наробіток протягом якого об’єкти не досягне граничного стану з ймовірністю γ , враженого у відсотках;
середній термін служби – це математичне сподівання терміну служби;
γ – відсотковий термін служби – це календарна тривалість експлуатація об’єкта протягом якої він не досягне свого граничного стану з ймовірністю γ вираженою у відсотках;
Показники збережуваності:
середній термін збережуваності – це математичне сподівання терміну збережуваності;
γ – відсотковий термін збережуваності – це термін збережуваності що його досягає об’єкт із заданою ймовірністю γ, вираженою у відсотках;
Показники ремонтоздатності:
ймовірність відновлення – ймовірність того, що час відновлення працездатного стану об’єкта не перевищує заданого значення;
середня тривалість відновлення;
γ – відсоткова тривалість відновлення;
інтенсивність відновлення - умовна густина ймовірності відновлення працездатного об’єкта визначення для одного моменту часу за умови, що до цього моменту відновлення об’єкта не завершилося;
середня інтенсивність відмов;
середня трудомісткість технічного обслуговування (ремонту) – математичне сподівання тех. обслуговування чи ремонту виражене в людино-годинах.
Комплексні показники надійності:
Коефіцієнт готовності – ймовірність того, що об’єкт виявиться працездатним у довільних моментах часу, крім запланованих періодів, протягом яким використання об’єкта за призначенням не заплановано.
TM – середній час наробітку до відмови
TВ – середній час наробітку від поновленння
QUOTE EMBED Equation.3
Коефіцієнт оперативної готовності – це ймовірність того, що за винятком тих запланованим періодів протягом яких використання за призначення не передбачено, він у довільний момент часу виявиться у працездатному стані і надалі виконуватиме потрібні функції протягом заданого інтервалу часу
КОГ=КГ×Р(t) – добуток коефіцієнта готовності (КГ) на ймовірність безвідмовної роботи Р(t)
КГ і КОГ є дуже важливими при розрахунку надійності
коефіцієнт неготовності (простою);
середній КП;
стаціонарний КГ – значення КГ визначене для умов роботи об’єкта, коли середній параметр потоку відмов і середня тривалість відновлення залишається const.
коефіцієнт технічного використання – відновлення математичного співвідношення сумарного часу перебування об’єкта у працездатному стані за деякий період експлуатації та у простоях, зумовлених технічним обслуговуванням та ремонтом за той самий період часу. Надійність згідно ДСТУ для кожного розробленого пристрою нормується.
Нормування надійності – це встановлення у нормативній та конструктивній документації кількісних і якісних вимог до надійності об’єкта.
Показники нормування надійності:
нормований показник надійності;
заданий показник;
оптимальний показник.
Теорія надійності
Теорія надійності – наукова дисципліна, яка вивчає загальні методи і заходи при проектуванні, виготовленні, контролі і експлуатації виробу. Саме вона розглядає загальні методи розрахунків якості виробів. Для рішення її інженерних задач створено відповідний математичний апарат, який надає методику і її обґрунтування при розгляді якості виробу, а також її контролю.
Теорія надійності базується на теорії ймовірності і математичній статистиці. Крім того математичній теорії надійності використовуються деякі положення теорії масового обслуговування, а також апарат математичного аналізу.
Склад математичної теорії надійності:
SHAPE \* MERGEFORMAT РіПВ
ТЙ
ТМПН
МС
ТК
ПК
МТН
КН
ТМПН – технологічні методи підвищення надійності
ТК – теорія контролю ( ПК – приймальний пункт
КН – контроль надійності)
ТЙ – теорія ймовірності
МС – математична статистика
РіПВ – розрахунок і проектування виробу
МТН – математична теорія надійності
Загальний підхід до визначення надійності - це набір статистики при експлуатації в певних умовах. Для розрахунку пристроїв автоматики і систем захисту широко використовується апарат теорії ймовірності (ТЙ) і апарат МС (математичної статистики), які дають можливість при певних умовах розкрити взаємозв’язок між надійністю конкретних виробів або систем, для яких накопичений статистичний матеріал з певним числом, величина якого є мірою надійності.
ТЙ і МС дають можливість не тільки правильно оцінити надійність об’єкта в процесі експлуатації , а розрахувати, прогнозувати її на станах проектування.
Теорія ймовірності як математичний апарат для дослідження надійності пристроїв автоматики
Теорія ймовірності — наука, яка вивчає закономірності випадкових явищ. Випадкове явище – таке явище, яке при неодноразовому повторенні одного і того ж досліду (випробування) в одних і тих же умовах проходить (відбувається) кожний раз не повністю однаково.
Приклад, якщо під певне навантаження поставити на 100 годин роботи 1000 резисторів, можемо сподіватися, що деякі з них вийдуть з ладу. До того ж час роботи до відмови (час безвідмовної роботи) у кожного резистора, який вийде з ладу, як правило, не буде однаковим навіть при ідеальності однакових (подібних) умов випробувань. Це пояснюється тим, що при виготовленні резисторів практично неможливо ідеально витримати технологічний режим і суворо дотриматися однорідності фізико-хімічної структури застосовуваних матеріалів.
А звідси значення часу безвідмовної роботи кожного з резисторів точно передбачити неможливо і виникнення відмов у резисторів, які випробовуються у різні проміжки часу, є явищем випадковим. Розсіювання (розкид) часу безвідмовної роботи притаманне будь-яким видам елементів, а оскільки з елементів складаються системи — будь-яким системам.
Теорія ймовірності дозволяє вивчити випадкові явища "розсіювання" часу безвідмовної роботи з точки зору тих закономірностей, які властиві даному випадковому явищу. При комплексному випробуванні (досліді) отримується той чи інший результат, коли досліджується надійність елементів і систем. Якісний результат випробування (досліду), (безвідмовна робота, відмова) — називається подією.
А кількісна характеристика, яка внаслідок випробувань може приймати одне з можливих заздалегідь невідомих значень, називається випадковою величиною.
Очевидно, що час безвідмовної роботи є випадковою величиною. На розкид значень часу безвідмовної роботи системи, окремо від технологічних факторів, сильно впливають експлуатаційні фактори (постійно мінливі умови експлуатації).
Число відмов за даний проміжок часу є також випадковою величиною.
Надійність пристрою характеризується відновлюваністю (у вузькому розумінні — ремонтопридатністю). Зрозуміло, що час поновлення системи також залежить від багатьох факторів (характеру відмови, кваліфікації обслуговуючого персоналу, наявності запасних елементів під рукою, умов ремонту і т.п.) і змінюється від одного ремонту до другого, тобто також є випадковою величиною.
В реальних умовах, коли комплекс експлуатаційних факторів від досліду до досліду трохи змінюється, до того ж випадковим чином, а елементи систем мають випадковий технологічний розкид параметрів, час безвідмовної роботи змінюється в більших чи менших межах навіть для однорідних елементів системи. Тобто на практиці завжди має місце впливу на процес що вивчається у часі зовнішніх факторів, які можна врахувати статистично (при масовому експерименті). Визначити реальні статистичні закони, які обумовлюють об'єктивні властивості масових випадкових явищ, що вивчаються, дозволяють методи теорії ймовірностей. Ось чому теорія надійності базується на математичному апараті теорії ймовірності.
Ймовірність тієї чи іншої події — це перш за все кількісна характеристика, яка дозволяє оцінити ступінь об'єктивної можливості деякої події.
За одиницю вимірювання для ймовірності прийнята ймовірність виникнення достовірної події, тобто події, яка внаслідок досліду (випробування) повинна обов'язково (неминуче) відбутися.
Приклад. Якщо проводимо спостереження за роботою 10 елементів (елементи не поновлюються), то подія — виникнення не більше 10 відмов є достовірною. Ця ймовірність відповідає одиниці.
Протилежним до достовірної є неможлива подія, тобто така подія, яка в даному досліді не може відбутися.
Приклад. Факт безвідмовної роботи елемента (системи) протягом безмежно довгого часу є неможливою подією, так як рано чи пізно система відмовить. Виходить, що ймовірність безвідмовної роботи елемента (системи) на протязі безмежно довгого часу дорівнює нулю, тобто ймовірність виникнення неможливої події дорівнює нулю.
Будь-яка інша подія, не достовірна і не неможлива, має величину ймовірності появлення, яка лежить в межах між одиницею і нулем. Безпосередній підрахунок ймовірності події пов'язаний з одним із трьох визначень ймовірності.
3.1. Класичне визначення ймовірності
Ймовірність деякої події А можна визначити безпосередньо з умов досліду, коли вихідний результат досліду можна розділити на деяке число поодиноких випадків, які входять у повну групу з n-несумісних та рівноможливих подій. Сукупність декількох подій утворюють групу подій. Говорять, що декілька подій утворюють повну групу подій, якщо внаслідок досліду (випробування) обов'язково повинна відбутися хоча би одна з них.
Приклад. Безвідмовна робота або відмова одного, двох і більше елементів при спостереженні за роботою декількох непоновлюваних елементів утворюють повну групу подій (одна з них на протязі досліду обов'язково відбудеться).
Несумісні події — такі, які у даному досліді не можуть з'явитися разом. Безвідмовна робота і відмова події несумісні.
Рівноможливі (однаково можливі) події — такі, які в процесі досліду можуть відбутися з однаковою ймовірністю внаслідок повної симетрії можливих виходів.
Якщо те чи інше випробування (дослід) забезпечує симетрію можливих виходів тобто забезпечує наявність однакової можливості у повній групі несумісних подій, то говорять , що такий дослід (випробування) зводиться до "схеми випадків" або до "схеми можливих результатів". В цьому і тільки в цьому випадку ймовірність події А визначається безпосередньо з умов досліду по класичній формулі, як відношення числа m випадків сприятливих даній події, до загального числа n усіх однаково можливих випадків:
EMBED Equation.3
3.2.Геометричне визначення ймовірності
Нехай внаслідок досліду деяка точка О обов'язково опиниться в області А, треба знайти ймовірність того, що точка О опиниться в області Б, яка є частиною області А.
SHAPE \* MERGEFORMAT А
О
Б
Ймовірність появи точки О в області Б залежить тільки від величини цієї області і не залежать від її форми і характеру розміщення в області А. Таким чином, чим більша область Б, тим більша ймовірність попадання до неї точки О (і навпаки).
Оскільки число можливих випадків у даному досліді є нескінченним, безмежним, то можливість застосування класичної формули для визначення ймовірності виключена.
В даному випадку шукану ймовірність визначають відношенням площин:
EMBED Equation.3
Виходячи з визначення геометричної ймовірності, попадання точки (момент відмови елемента) в інтервал QUOTE EMBED Equation.3 , залежить більше від довжини цього інтервалу і не залежить від того, де цей інтервал знаходиться у середині інтервалу EMBED Equation.3 QUOTE , тобто:
EMBED Equation.3
EMBED Visio.Drawing.11
3.3. Статистичне визначення ймовірності
Коли дослід не зводиться до "схеми випадків", ймовірність події визначають статистично, попередньо провівши довготривалі спостереження над появою чи непоявою шуканої події при великій кількості випробувань, які відбуваються в одних і тих же умовах.
Приклад. Нехай на протязі 500 год. спостережень з 1000 конденсаторів відмовили 15 (конденсатори не замінюються новими). Розглянемо подію — безвідмовну роботу конденсаторів за t= 500 год. Ймовірність безвідмовної роботи (зв t=500 год) конденсаторів по аналогії з класичним визначенням ймовірності подій може бути оцінено як:
EMBED Equation.3
Якщо розглядувана подія — відмова конденсатора, то ймовірність відмов за час t=500 год може бути оцінено величиною:
EMBED Equation.3
Значком (*) позначається статистичне значення ймовірності, яка є наближеним числовим значенням відповідної ймовірності.
Таким чином, статистична ймовірність деякої події А визначається як відношення числа дослідів n, у яких подія, яка нас цікавить, повториться до загального числа дослідів n, приведених у даних випробуваннях.
EMBED Equation.3 (1)
Статистичну ймовірність часто називають частотою появи події або відносною частотою.
У формулі (1) умова QUOTE є очевидною, якщо при дослідженнях на надійність відбувається заміна відмовивших елементів новими, то число m може стати більшим n, тобто будь-яким.
Таким чином, формула (1) при розрахунку елементів (систем) може бути застосована для випадку випробувань не поновлюваних і незамінних елементів (систем).
При використанні формули (1) для випадку повністю відновлюваних (замінних) елементів (систем) треба в числа m і n включити і число відновлювань.
Багаточисельні досліди показують, що частота події Р*(А) при достатньо великій кількості дослідів n в попередній серії випробувань зберігає майже постійну величину від серії до серії, тобто коливання частот відбувається біля математичної ймовірності події Р. Цей зв'язок між статистичною і математичною ймовірностями вперше довів Бернуллі у своїй теоремі: Якщо подія А має ймовірність р, то при необмеженому збільшенні числа дослідів ймовірність розходження між частотою і ймовірністю р наближається до нуля.
Іншими словами, якщо число дослідів велике, то, приймаючи частоту події за значення ймовірності, ми дуже мало ризикуємо помилитися на якусь суттєву величину. Іноді говорять, що частота події збігається по ймовірності до ймовірності події.
3.4. Способи обчислення ймовірностей
Обчислення ймовірності події, яке ґрунтується на класичному або геометричному визначеннях можемо зробити тільки для простих випадків. Обчислення ймовірностей складних подій — як правило базується на непрямих методах, які використовують правило додавання ймовірностей і правило множення ймовірностей.
Нехай маємо два елемента А1 і А2. При цьому подія А1 полягає у тому, що за час досліджень відмовить елемент А1 , а подія А2 — елемент А2. В процесі досліду може відмовити або А1 або А2 або А1 і А2 разом.
Сумою декількох подій називається подія, яка заключається у появі хоч би однієї з цих подій (або А1 , або А2 , або А1 і А2 разом).
Частковим випадком є випадок несумісних подій. Сумою декількох несумісних подій називається подія, яка заключається у появі тільки однієї з цих подій (або А1 ,або А2 ).
Правило додавання ймовірностей для несумісних подій говорить: ймовірність суми двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій, тобто:
Р(А1+А2) = Р(А1) + Р(А2)
В цій формулі знак "+" замінює сполучення "або".
Для суми п несумісних подій теорема додавання має вигляд:
EMBED Equation.3
З цього правила додавання випливають два висновки (наслідки):
1. Якщо події А1 , А2 , ... , Аn утворюють повну групу несумісних подій, то сума їх ймовірностей дорівнює 1.
P(Al) + P(A2) + P(Ai) + ... + P(An) = EMBED Equation.3 P(Aі) = 1 (2)
З цього виразу стає зрозумілим, якщо врахувати, що поява у повній групі однієї з подій є достовірна подія.
2. Сума ймовірності протилежних подій дорівнює 1.
Протилежними подіями називають події, які утворюють повну групу подій: якщо p(t) - ймовірність безвідмовної роботи, q(t) - ймовірність відмови за час t, а відповідні події утворюють повну групу протилежних подій, то:
p(t) + q(t) = 1 (3)
Правило додавання ймовірностей ускладнюється якщо розглядаються сумісні події або ті, які у даному досліді можуть з'явитися разом.
Для сумісних подій правило додавання ймовірностей має такий вигляд:
Р(А1+А2) = Р(А1) + Р(А2) - Р(А1,А2) (4)
де Р(А1,А2) - ймовірність сумісної появи однієї і другої події.
Зрозуміти сенс даної формули можливо розглядаючи графічну інтерпретацію поняття суми і добутку подій.
EMBED Visio.Drawing.11
Якщо подія А1 є попадання точки О в область А1, а А2 - в область А2, то подія А1+А2 є попадання в заштриховану область. Якщо події А1 і А2 несумісні, то точки які їм належать не можуть попасти одночасно у заштриховану область, яку позначено двійною штриховкою.
Введемо поняття добутку подій.
Добутком декількох подій називається подія, яка заключається у сумісній появі цих подій.
EMBED Visio.Drawing.11
Подія А1А2 - добуток двох подій - заключається у одночасному попаданні точок, які належать А1 і А2 (дивись заштриховану область).
Тому подія А1А2 зменшує число точок області, які належать події А1, та події А2. Відповідно ймовірність або наступлення події А1 або А2 зменшується на величину ймовірності заступлення сумісної події А1 і А2 в формулі (4). Використовуючи геометричну інтерпретацію можна досить легко записати формули для ймовірностей декількох сумісних подій, наприклад, А1, А2, А3.
EMBED Visio.Drawing.11 EMBED Visio.Drawing.11
Сума трьох подій Добуток трьох подій
Р(А1+А2+А3) = Р(А1)+Р(А2)+Р(А3)–Р(А1А2)–Р(А1А3)–Р(А2А3)+Р(А1А2А3)
В цій формулі додавання ймовірності Р(А1А2А3) викликано тим, що кожна з подій А1А2, А1А3, А2А3, вміщує підможину точок області, яку утворено перетином границь областей А1, А2 і A3.
Правило множення ймовірностей
В формулі (4) є ймовірність р(А1А2) наступлення сумісної події А1 і А2. Так от, для обчислення ймовірності р(А1А2) наступлення сумісної події А1 і А2: 1. Подія А1 називається незалежною від події А2, якщо ймовірність події А1 і не залежить (не змінюється) від того, відбудеться чи ні подія А2. 2. Дві події називаються залежними, якщо ймовірність однієї з них змінюється від того, відбулася чи ні друга подія .
Це зауваження суттєве, так як при розрахунках надійності пристроїв автоматики дуже часто приходиться зустрічатися з обома типами подій. Наприклад, однорідні елементи не об'єднані в конкретні схеми — відмова одного з них не вплине на ймовірність виникнення відмови в другому елементі. Залежна відмова - коли відмова одного викликає відмову другого (наприклад, коли вихід одного елемента з ладу приводить до виходу з ладу всієї схеми).
Так от ймовірність події А1 визначена при умові, що відбулася подія А2, називається умовною ймовірністю події А1 і позначається як р(А1А2). Тоді правило множення ймовірностей (для двох подій) буде ймовірність добутку двох подій (А1 і А2) дорівнює добутку ймовірності однієї з них (А1) на умовну ймовірність другої (А2), обчислену з припущенням що перша подія відбулася, тобто:
р(А1А2) = р(А1) • р(А2 | А1) = р(А2) • р(А1 | А2) (5)
Якщо події незалежні, то, очевидно, що р(А1) = р(А1 | А2), також як і р(А2) = р(А2 | А1). Звідси виходить ймовірність добутку двох незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій:
р(А1А2) = р(А1) • р(А2) (6)
В формулі (6) операція множення замінює сполучник "і". Це правило можна застосовувати для будь-якого числа подій. Наприклад, для трьох залежних подій:
р(А1А2А3) = р(А1) • р(А2 | А1) • р(А3 |А1А2) (7)
Приклад, схема тригера має: 2 транзистори з ймовірністю безвідмовної роботи PTp(t)=0,99 кожний; шість резисторів R однакової надійності [pR(t)=0.998]; два конденсатори однакової надійності [pn(t)=0.997]. Відмова будь-якого з 10 елементів приводить до відмови тригера. Усі елементи незалежні. Визначити загальну надійність тригера.
Розв'язок: Тригер буде виконувати свої функції якщо і транзистори, і опори, і конденсатори будуть працювати безвідмовно. Відповідно до цього ймовірність безвідмовної роботи тригера p0(t) може бути визначена на основі правила множення ймовірностей незалежних подій:
EMBED Equation.3
Таким чином, якщо система складається з N незалежних елементів, а ймовірність безвідмовної роботи і-того елемента дорівнює р0(t), то загальна імовірність безвідмовної роботи системи складає:
EMBED Equation.3 (8)
Ця формула широко застосовується для послідовних з'єднань елементів, коли залежністю елементів можна знехтувати.
Послідовним з'єднанням елементів (систем) називається така її сукупність, коли необхідною і достатньою умовою відмови всього з'єднання в цілому є відмова хоча б одного елемента (системи).
Послідовне з'єднання елементів (систем) називають основним. Паралельне з'єднання елементів по надійності називають резервним з'єднанням. Паралельне - це таке з'єднання, або сукупність елементів (систем) для яких необхідною і достатньою умовою відмови є відмова всіх елементів (систем).
Приклад : Два генератори ( як елементи ) працюють на одне навантаження. Відмова одного з них не вплине на роботу другого. Нехай А1 і А2 - дві системи. Якщо відмовить А1 то система працює за рахунок А2 і навпаки. Відмовити система може тільки при відмові А1 і А2 (відмови незалежні). Тут якраз наведені умови застосування правила множення ймовірностей незалежних подій для визначення імовірності відмови системи.
Позначимо q1(t) - імовірність відмови елемента (системи) А1 за час t; q2(t) - імовірність відмови елемента (системи) А2 за час q2(t) - імовірність відмови системи. Тоді згідно визначення для паралельного з'єднання елементів по надійності:
Q(t) = ql(t)∙q2(t),
або врахувати, що повна група протилежних подій p(t)+q(t)=l. Можемо записати, що:
Pрез(t) = 1-Q(t) = 1-[1-p1(t)]∙[1-p2(t)] = 1-1+p2(t)+p1(t)-p2(t)∙p1(t) = p2(t)+p1(t)-p2(t)∙p1(t) (9)
де Ррез(t), p1(t), p2(t) - імовірності безвідмовної роботи за час t відповідно системи елемента А1 та елемента А2.
Паралельне (резервне) включення елементів по надійності підвищує загальну надійність за рахунок застосування однакових (резервних) елементів.
Приклад. Нехай два елемента А1 і А2 рівнонадійні, a p1(t)=p2(t)=0,9, то загальна надійність системи буде:
Ррез(t) =p1(t) + p2(t) – p1(t)p2(t) = 0,9 + 0,9 – 0,81 = 0,99
Формула повної ймовірності
При більш докладніших розрахунках надійності, коли взаємні зв'язки відіграють суттєву роль, приходиться застосовувати більш складні схеми подій у вигляді комбінації простих подій, застосовуючи як операцію додавання, так і операцію множення подій.
Нехай деяка подія А може відбутися тільки тоді, коли разом з нею відбувається одна з n несумісних подій M1, M2, ..., Mі , ..., Mn, які утворюють повну групу подій. Тобто, це означає, що подія А рівносильна появленню або події і А і M1, тобто події АM1 або АM2 і т.д.
A = АM1 + АM2 + АM3 +...+ AMі +...+AMn = EMBED Equation.3 (AMі)
Використовуючи правило додавання ймовірностей несумісних подій, маємо:
EMBED Equation.3
а з врахуванням правила множення ймовірностей:
EMBED Equation.3
Підставляючи з цієї формули значення EMBED Equation.3 до попередньої формули, остаточно маємо:
EMBED Equation.3 (11)
– формула повної імовірності.
Події M1, M2, ..., Mі , ..., Mn при яких тільки і може відбутися подія А, називають гіпотезами відносно А.
Формула Бейєса (формула ймовірностей гіпотез)
Нехай складна подія А відбудеться тоді, коли відбудеться одна із гіпотез Мі (одна з n-несумісних гіпотез, які складають повну групу подій М1, М2,…, Мn). Безумовно ймовірності гіпотез, а також умовні ймовірності гіпотез М1, М2, …, Мn відносно події А є відомі до досліду. (апріорні ймовірності). Визначити ймовірності подій М1, М2,…, Мn після досліду (апостеріорні ймовірності), які являють собою умовні ймовірності подій М1, М2,…, Мn відносно події А (якщо n А в досліді спостерігається, то на скільки ймовірна та чи інша з гіпотез при яких подія А тільки може відбутись)
EMBED Equation.3
“k” – для того, коли і використовується для позначення конкретної гіпотези.
Приклад(практ.) СКБ випускає магнітометричний перетворювач у двох варіантах:
а) з відбірних деталей – високоякісних (супутник. варіант) – 30%;
б) із деталей загальної якості (для шир вжитку) – 70%.
Випробування ММП 10 шт. протягом певного часу t вийшов з ладу один (а), чотири (б).
Визначити ймовірність того, що ММП(а), (б) відмовить, а також ймовірність відмови обох до досліду
Тут можливі дві несумісні гіпотез М1 і М2, які утворюють повну групу подій:
М1 – ММП(а) М2 – ММП(б)
Безумовні ймовірності безвідмовної роботи:
EMBED Equation.3
Умовні апріорні ймовірності відмови:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Використовуючи формулу Бейєса знайдено умовну апостеріорну ймовірність того, що ММП зібраний з відбірних деталей:
EMBED Equation.3
Теорема про повторення дослідів.
Досить часто є випадки, що при проведенні незалежних випробувань, коли ці досліди закінчились однією із двох несумісних подій. Нехай протягом певного часу t проводяться випробування з однотипних елементів, які працюють незалежно один від одного.
Аі – безвідмовна робота і-го елемента за час t
QUOTE - відмова і-го елемента за час t, і=1,2,3
Визначити ймовірність того, що рівно один елемент відмовить (два елементи будуть працювати безвідмовно) маємо складну подію А – 2 елементи будуть працювати безвідмовно протягом часу t. Може відбутись 3 способами:
А1 і А2 – безвідмовно;
А1 і А3 – безвідмовно;
А2 і А3 –безвідмовно
QUOTE EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Оскільки доданки п. А несумісні (бо за умовою відмова тільки в одному з 3-ьох елементів, а події які входять в добуток А1А2А3 незалежні), то маємо
EMBE...
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора