Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Елементи фізики твердого тіла
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Інші
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2024
Тип роботи:
Інші
Предмет:
Фізика
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
Розділ XXIV. Елементи фізики твердого тіла
§ 24.1. Кристалічна структура та її основні дефекти
Кристалічна гратка та її опис. Систему впорядкованого
розташування атомів та молекул називатимемо кристалом*). Агрегатні стани речовин відрізняються багатьма фізичними властивостями, які значною мірою визначаються характером взаємного розташування складових частин (іонів, атомів, молекул). Кристалічні тіла, на відміну від газів і рідин, завдяки особливостям хімічного зв’язку мають майже строго впорядковане розташування атомів, іонів та молекул. В них завдяки періодичній забудови завжди можна виділити деякий його елемент - кристалічну гратку (комірку), основною властивістю якої, як і кристалу в цілому, є симетрія. Це означає, що кристал може бути побудований закономірно і симетрично, вірно розташованими рядами, сітками та гратками.
*)Слово "кристал" походить від грецького "кристалос" - лід. Потім цим словом почали називати природний кварц. Лише пізніше зміст його сформував в собі поняття про кристал як про тіло з строго впорядкованою внутрішньою будовою.
Якщо до одного атома застосувати трансляцію (зсув у просторі) на вектор
EMBED Equation.3 , (24.1.1)
де EMBED Equation.3 – ціле число, то одержимо одновимірну гратку. Це атомний ряд із одним перідом ідентичності, що дорівнює вектору трансляції EMBED Equation.3 .
Застосувавши до одновимірного ряду застосувати трансляцію в напрямку, що не збігається з напрямком ряду, одержимо строго
z
x
y
a
b
c
α
β
γ
Рис.24.1.1
закономірне розташування атомів на площині, тобто так звану двовимірну гратку, трансляція якої описуватиметься рівнянням
EMBED Equation.3 . (24.1.2)
Її ще називають плоскою сіткою з двома періодами ідентичності EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 . Поєднавши плоску сітку та трансляцію під кутом до площини сітки отримаємо тривимірну гратку з трьома періодами ідентичності EMBED Equation.3 .
Паралелепіпед, побудований на трьох елементарних трансляціях EMBED Equation.3 називається об’ємною елементарною коміркою або решіткою Браве. У тривимірному просторі операція трансляції виражається рівнянням
EMBED Equation.3 , (24.1.3)
де EMBED Equation.3 - довільні цілі числа.
Трійка векторів EMBED Equation.3 називається векторним базисом гратки або трансляційною групою векторів елементарної об’ємної комірки. Вони відповідають трьом її ребрам, що мають довжини EMBED Equation.3 відповідно. Кути між напрямками цих ребер позначаються грецькими буквами EMBED Equation.3 . Три некомпланарні вектори EMBED Equation.3 разом з кутами EMBED Equation.3 утворюють просторову комірку (рис24.1.1).
Елементи симетрії. Важливою фізичною властивістю кристалічних тіл є наявність в них елементів симетрії. Під симетрією в кристалі розуміють закономірність, яка спостерігається щодо розташування їх складових частин у напрямку, в площині та в просторі*). До основних елемнтів симетрії відносять:
1.Центр інверсїї (С). Він суміщає фігуру внаслідок віддзеркалення в точці, що лежить в її середині.
2.Площина симетрії (її позначають символом Р або за міжнародною номенклатурою EMBED Equation.3 ). Вона суміщає фігуру внаслідок дзеркального відображення в площині.
3.Вісь симетрії ( EMBED Equation.3 ) суміщає фігуру саму з собою внаслідок повороту її на кути: 3600 ( EMBED Equation.3 ); 1800( EMBED Equation.3 ); 1200( EMBED Equation.3 ); 900( EMBED Equation.3 ); 600( EMBED Equation.3 ), де індекс EMBED Equation.3 знизу означає порядок осі. Найменший кут EMBED Equation.3 , на який треба повернути фігуру навколо осі, щоб вона збігалася сама з собою, називається елементарним кутом повороту цієї осі.
Для виконання таких операцій користуються поняттям елементарної комірки, які називаються комірками чи гратками Браве. Їх вибирають так, щоб при переміщенні та обертанні її в просторі у трьох взаємно перпендикулярних напрямках відтворювалась повністю кристалічна структура.
Виходячи з можливих видів симетрії, кількість граток Браве становить 14, які утворюють 7 кристалічних систем – сингоній.
Основні типи кристалічних структур. Гратки Браве можуть бути чотирьох типів:
*) В широкому розумінні слова це наявність в об’єктах, процесах, явищах такої фізичної характеристики, яка залишається інваріантною при певних перетвореннях. З цього погляду розрізняють просторову, часову, зарядову, взаємодійну та інші елементи симетрії.
1. Примітивна ( EMBED Equation.3 ), в якій атоми розташовані лише у вузлах;
2. Об’ємоцентрован ( EMBED Equation.3 ), для яких примітивна комірка доповнена атомом у її центрі (рис.24.1.2,а);
3. Гранецентрована ( EMBED Equation.3 ). В ній усі грані паралелопіпеда примітивної комірки доповнені додатковими атомами (рис.24.1.2,б);
4. Базецентрована ( EMBED Equation.3 ), в якій примітивна комірка доповнена двома атомами, що розташовані у центрах двох паралельних гранях (рис.24.1.2,в).
в
в
а
б
Рис.24.1.2
Найпростішою просторовою коміркою Браве є примітивна. Об’єм її не залежить від форми самої комірки, сталий для даної гратки та дорівнює об’єму, що припадає на один вузол. Довільний атом належить одночасно вісьмом сусіднім елементарним граткам, тому примітивна елементарна комірка містить в собі лише один атом.
Об’ємоцетрована гратка, як простa кубічнa з двома атоми, зображена на рис. 24.1.3,а, для EMBED Equation.3 . В неї вузли кубічної гратки почергово зайняті іонами EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 , які не ідентичні між собою.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
а б
Рис.24.1.3
Індекси Міллера. Щоб якимось чином описувати елементарну гратку, вузлам, напрямкам та площинам приписують певні символи, які називаються індексами Міллера. Суть їх полагає ось в чому.
Положення довільного вузла кристалічної гратки можна вибрати за початок координат EMBED Equation.3 . Тоді інший вузол буде мати координати EMBED Equation.3 або в індексах Міллера EMBED Equation.3 , які називаються символами вузла.
Кристалографічний напрям - це напрям прямої, що проходить принаймні через два вузли. Символ напрямку (ряду) позначається через звичайні квадратні дужки EMBED Equation.3 , де числа EMBED Equation.3 називаються індексами Міллера цього кристалографічного напряму. Так, кристалографічні осі координат мають такі індекси
1/2
1/2
1/4
1/4
1/4
1/4
1/4
1/4
1/4
1/4
,
1/2
1/2
1/2
1/6
1/6
1/6
а б в
Рис.24.1.4
Міллера: вісь EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 , вісь EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 , вісь EMBED Equation.3 , незалежно від кутів між осями координат. В кубі площина з ідексами (001) вздовж осі EMBED Equation.3 відтинає одиничний відрізок і паралельна площині EMBED Equation.3 ; площина з індексами Міллeра (110) відтинає одиничні відрізки вздовж осей EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 , а площина з індексами Міллера (111) відтинає одиничні відрізки вздовж осей EMBED Equation.3 , які схематично зображені на рис.24.1.4.
Щільність гратки.Важливим параметром гратки є її щільність. Вона визначається так званим координаційним числом – тобто кількість атомів, які утворюють найближче оточення цього атома.
Від щільності упаковки атомів, їх мас та розмірів залежить густина кристалів та міжатомні відстані. Для гіпотетичного кристалу у вигляді простого куба з довжиною ребра EMBED Equation.3, густина дорівнювнює
EMBED Equation.3, (24.1.4)
де EMBED Equation.3- число Авогадро, EMBED Equation.3- маса атома. Тут врахований той факт, що елементарній комірці належить лише один атом, а інші - належать сусіднім кубічним коміркам.
Якщо кубічна гратка об’ємоцентрована, то найближча відстань між атомами дорівнює відстані від вершини куба до його центра
EMBED Equation.3. (24.1.5)
Однак її елементарна комірка містить два нееквівалентні атоми, тому густина кристалу дорівнює
EMBED Equation.3. (24.1.6)
Кристалічні структури. Найбільш поширеними кристалічними структурами є:
Іонні структури хлористого натрію. Для них під
координаційним числом розуміють кількість найближчих до іона одного знаку, іонів протилежного знаку. Наприклад, координаційне число для EMBED Equation.3 дорівнює 6 (рис.24.1.3,а).
Структура хлористого цезію (рис.24.1.3,б). Її елементарна
комірка подібна до об’ємоцентрованого куба, в центрі якого розташований іон цезію, а по вершинах - іони хлору.
Структура цинкової обманки (сфалерит) - це проста
кубічна структура з атомів неметалу, яка розділена на вісім менших за розмірами кубів трьома взаємно перпендикулярними площинами. Через один в центрі об’єму кожного із них вставлені атоми металу так, що вони утворюють тетраедричну структуру.
4. Структура вюрциту (гексагональна). Її елементарна комірка складається з двох тригональних призм і має щільну упаковку.
Структура алмазу. У неї хімічні зв’язки між атомами
спрямовані вздовж ребер тетраедра (рис.24.1.5). Елементарна гратка структури алмазу будується так. У вершину гранецентрованого куба вставляємо атом, а інші ще три атоми розташовуємо в центрі трьох граней, що сходяться до даної вершини. Ці чотири атоми утворюють тетраедр, в центрі якого також розташовуємо атом. І так поступаємо з кожною вершиною куба.
Рис.24.1.5
Структуру алмазу мають сіре олово та алмаз, елементарні напівпровідники EMBED Equation.3. В алмазі нема щільної упаковки, але є площини, упаковані щільніше, ніж інші. В ньому атоми займають вузли двох гранецентрованих комірок, що вставлені одна в одну і зсунуті вздовж діагоналі куба на 1/4 частину її довжини EMBED Equation.3 . Тому в елементарній комірці алмазу 8 атомів. Координаційний багатогранник у вигляді тетраедра (рис.24.1.5), утворюють найближчі атоми першої координаційної сфери із їх кількістю (координаційне число) 4.
Основні типи дефектів в кристалах. Багато властивостей
твердих тіл залежать від того, в який мірі їх структура відхіляється від ідеальної забудови. В цьому випадку говорять, що в кристалі існує дефект.Саме це слово походить від латинського ” defectus” –недолік*).
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Рис.24.1.6
*) Навіть звичайні теплові чи акустичні коливання атома навколо положення рівноваги (фонони) також можна розглядати як дефект в гратці з точки зору ідеального розташування в ній атомів.
З точки зору порушення ідеальної кристалічної гратки дефекти поділяються на три типи:
1.Точкові, які в свою чергу поділяються на енергетичні (фонони), електронні (донорні електрони і акцепторні дірки) і атомні вакансії*), домішки, міжвузлові атоми), які ще можна назвати нульвимірними дефектами;
2. Одновимірні дефекти, до яких належать крайові та гвинтові дислокації;
3. Двовимірні – межі поділу двійників, ряди лінійних дислокацій, границі зерен кристаликів, порушення в розташуванні шарів.
Зліва на цьому рис.24.1.6, зображені дві вакансії, одна із яких зайнята чужим атомом (більший темний кружок). Міжвузовий атом зображений на цьому ж рисунку справа внизу (менший за розмірами темний кружок).
Крайова дислокація дддислокація
EMBED Equation.3
Гвинтова дислокація
EMBED Equation.3
Рис.24.1.7
Точкові дефекти поділяють на дефекти за Френкеленм і Шоткі. У дефектах за Френкелем атом зміщується з вузла в міжвузлове положеня EMBED Equation.3 . Тому енергія його утворення наближено дорівнює сумі енергій утворення вакансії EMBED Equation.3 та міжвузлового атома.
Дефекти за Шоткі виникають за рахунок покадання атомом положення ірвноваги і міграції його до поверхні. Тому виникають вони переважно на вільних поверхнях, або на границях блоків, зерен чи дислокаціях.
*) Вакансія – дефект кристалічної гратки, який являє собою незайнятий вузол. Ваканція народжується на поверхні кристала внаслідок випаровування, а далі дрейфує у глибину кристала.
Імовірність виникнення дефектів за Френкелем менша, ніж імовірність виникнення дефектів за Шоткі. Це зумовлено тим, що в більшості кристалічних структурах розмір міжвузлової області значно менший, ніж розмір самого вузла. Цей фактор тим більше актуальний, чим більше координаційне число, тобто чим більша густина кристала.
Крім згаданих, до точкових дефектів відносяться також електронні дефекти, до яких належать електрони й дірки, які не беруть участь в хімічних зв’язках *). Це можуть бути вільні носії та локалізовані на дефектах донорах чи акцепторах.
В кристалі точкові дефекти виникають переважно під час його кристалізації, коли в нього потрапляють сторонні атоми. Вони намагаються зайняти позиції “рідних” атомів у вузлах гратки і суттєво впливають на властивості кристалів. Наприклад, зміна концентраціії вуглецю в залізі дає можливість одержувати сталь з принципово різними характеристиками. Монокристали сапфіру EMBED Equation.3 з невеликою концентрацією хрому мають рубіновий колір і використовуються як робоче активне середовище в рубінових лазерах.
Якщо точкови дефекти розташувати в ланцюжок, то вони утворять лінійний дефект або дислокацію. Дислокації за розмірами більші, ніж точкові дефекти. Як, приклад, на рис.24.1.7 зображені так звані крайові гвинтова дислокації. Гвинтову можна собі уявити як таку, що виникає коли клин вбивати між атомні площини. Гвинтова ж дислокація виникає внаслідок дії механічного зусилля паралельно надрізу, який зміщує атомні сітки з обох сторони надрізу на один період або як зсув на період гратки одної частини кристалу відносно сусідньої вздовж деякої півплощини паралельно до її краю.
§24.2. Хімічний зв’язок
Сучасні уявлення про природу сил хімічного зв’язку між
атомами в твердих тілах основані на квантово-механічних підходах до взаємодій між валентними електронами та іонами гратки. Як свідчать
*) Вільні носії внаслідок кулонівської взаємодії утворюють електронно-діркові комплекси або так звані екситони вільні чи локалізовані на дефектах гратки
експериментальні дані, саме валентні електрони визначають характер дії сил, що забезпечують утворення хімічного зв’язку. Тому щоб його створити або зруйнувати, необхідно виконати певну роботу. Це означає, що хімічному зв’язку можна приписати деяку енергію, яка називається енергією зв’язку.
Енергія зв’язку. За природних умов лише деякі хімічні
елементи (гелій, неон, аргон, криптон, ксенон) перебувають у стані одноатомного газу. Це пояснюється стійкістю їх електронної оболонки ( EMBED Equation.3 у гелію або EMBED Equation.3 у решта). Всі хімічні елементи в природі трапляються не у вигляді окремих атомів, а простих та складних речовин, оскільки атоми одного або різних елементів сполучаються між собою з утворенням хімічних зв’язків. Загальною рисою їх є те, що сили зв’язку в основному електростатичної природи, а магнітні взаємодії зовсім незначні.
Найпростіша одноатомна молекула - це електростатичний диполь, що складається із двох різнойменних зарядів або іонів, розташованих на деякій відстані один від одного. Багатоатомні молекули - це вже не диполі, а складніші електричної конфігурації системи.
Однойменні заряди відштовхуються, тому силі приписують додатний знак. Різнойменні заряди притягуються і в цьому випадку силі приписують від’ємний знак. Тому умовно будемо вважати, що потенціальна енергія EMBED Equation.3 відштовхування додатна , а сил притягання EMBED Equation.3 - від’ємна (рис.24.2.1). Із зміною відстані між
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Рис.24.2.1
атомами сили притягання між ними змінюються повільніше, ніж сили відштовхування. Тому сумарна потенціальна енергія взаємодії EMBED Equation.3 має мінімум на певній відстані між атомами EMBED Equation.3, на якій задовольняється умова EMBED Equation.3
Енергія, яка необхідна для розщеплення тіла на окремі
атоми або іони та розсування їх на безмежну відстань один відносно одного називається енергією зв’язку. Вона зумовлена різницею потенціальних енергій атомів в зв’заному та вільному станах.
Основну роль в утворенні хімічного зв’язку відіграють електрони. В залежності від їх кількості на зовнішній орбіті, та характеру просторового розподілу електронних хмар в атомі , реалізується той чи інший тип хімічного зв’язку. Переважно розрізняють три типи хімічних зв’язків: іонний, ковалентний та металічний.
1. Іонний зв’язок. Уявлення про нього вперше були описані в 1916 році Косселем. Він утворений внаслідок електростатичного притягання між катіонами та аніонами. Серед вільних атомів різних хімічних елементів стабільну електронну конфігурацію мають атоми гелію ( EMBED Equation.3 ) та інших інертних газів ( EMBED Equation.3 ). Атоми усіх іншіх елементів намагаються набути електронної конфігурації найближчого з інертних газів, бо саме її будова відповідає мінімуму енергії, а тому й стабільна. Цього можна досягнути за рахунок переходу електронів від одного атома до іншого з утворенням іонів із електронною конфігурацією EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 , які сполучаються між собою силами електростатичного притягання. Тому іонний зв’язок виникає між атомами, які легко втрачають електрони та легко їх приєднують.
Іонний зв’язок виникає лише між найбільш електропозитивними (елементи EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 груп періодичної системи) та найбільш електронегативними ( EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 групи) атомами. Наприклад, у кристалі EMBED Equation.3 катіони EMBED Equation.3 мають електронну конфігурацію EMBED Equation.3 , яка за своїм виглядом збігається із електронною конфігурацією атома неону. Іони EMBED Equation.3 мають електронну конфігурацію: EMBED Equation.3 , збігається із відповідною для атома аргону.
2.Ковалентний зв’язок. Він був також описаний давно, ще в
1916 році Льюїсом. Ковалентний зв’язок утвворюється однією або декількома спільними електронними парами. Якщо іонний зв’язок зумовлений завдяки переходу електрона від одного атома, то ковалентного виникає внаслідок перерозподілу заряду так, що атоми залишаються практично електронейтральними.
Металічний зв’язок. Більшість металів у твердому стані мають кристалічну структуру. Щоб зрозуміти природу металевого зв’язку, розглянемо будову електронної оболонки, наприклад, атома натрію.
Атом натрію має таку електронну конфігурацію EMBED Equation.3 . Бачимо, що в нього на найвищому рівні є чотири орбіталі і лише один валентний електрон, який легко може відокремитись від атома і перейти до іншого, якщо складуться сприйятливи цьому умови.
Отже, для утворення хімічного зв’язку кожний атом натрію віддає всі чотири орбіталі і один електрон. Оскільки кількість електронів менша, ніж кількість вільних орбіталей, то це дає змогу електронам вільно рухатись у всьому об’ємі, переходячі з однієї орбіталі на іншу. Тому металевий зв’язок виникає за рахунок колективизації валентних електронів і зумовлений взаємодією гратки позитивних іонів з газом колективізованих вільних електронів. Саме ця електростатична взаємодія між іонами та електронами забезпечує стійкість гратці металу. Наявність в металах усуспільнених електронів зумовлює добру їх електропровідність та міцність.
Молекулярний зв’язок . Цей зв’язок називають в літературі ще ван-дер-ваальсівським або дисперсним. Він реалізується в кристалічній гратці, у вузлах якої розташовані молекули, які у вихідному стані електронейтральні.
Молекулярний зв’язок виникає внаслідок взаємної деформації електронних оболонок молекул. При цьому наведені їх електричні диполі мають флуктуаційний характер.
На відміну від електростатичних, сили Ван-дер-Ваальса не аддитивні, слабкі, оскільки вони зумовлені слабкою взаємодією між миттєвими електричними диполями. Крім цього, ван-дер-ваальсівські сили можуть проявлятись у взаємодії між атомами з симетричним розподілом електронних зарядів навколо ядер, тобто між такими, в яких відсутні наведені електричні диполі.
Молекулярний зв’язку вдалось пояснити Лондону лише після появи квантової механіки. Виявилось, що він має квантову природу, суть якої полягає у флуктуаційному характері дипольних взаємодій. Дисперсні сили ненапрямлені. Сполуки з ними крихки, мають низьку температуру плавлення та високий тиск парів.
§ 24.4. Властивості твердих тіл, зумовлені
збудженням фононів
Теплоємність кристалічної гратки. Згідно з першим законом термодинаміки теплоємність гратки обчислюється як
EMBED Equation.3 , (24.4.1)
де EMBED Equation.3 - повна енергія, EMBED Equation.3 -виконана під час термодинамічного процесу елементарна робота.
Основним рухом атомів твердих тіл є коливний. Це означає, що тверде тіло можна уявити собі як набір осциляторів, енергія яких із підвищенням температури зростатиме. Прийнявши до увги, що за законом розподілу на один ступінь вільності коливного руху припадає енергія EMBED Equation.3 , одержуємо що енергія осцилятора
EMBED Equation.3 . (24.4.2)
Якщо кристал розглядати як сукупність EMBED Equation.3 гармонічних осциляторів, кожний із яких має три ступені вільності, то повна енергія його гратки із EMBED Equation.3 атомів дорівнюватиме
EMBED Equation.3 , (24.4.3)
звідки її молярна теплоємність при сталому об’ємі
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 . (24.4.4)
Одержане співвідношення відоме як закон Дюлонга - Пті. Із нього випливає, що атомна теплоємність твердих тіл не залежить від природи тіла та його температури і для всіх тіл є однакова.
Класична теорія теплоємності добре узгоджується з результатами експерименту лише для порівняно високих температур. При низьких температурах виникає розбіжність між результатами досліду та теоретиичними розрахунками і зумовлена вона тим, що для них проявляється квантовий характер коливань елементарної гратки.
Квантовий характер коливань гратки при низьких температурах вперше розглянув Ейнштейн. Він розглядав кристал як як сукупність EMBED Equation.3 квантових осциляторів, що мають однакову частоту коливань EMBED Equation.3 , що коливаються незалежно від інших атомів. Тоді згідно із квантовою гіпотезою Планка, в моделі Ейнштейна енергія кристала дорівнюватиме
EMBED Equation.3 , (24.4.5)
де EMBED Equation.3 - так звана температура Ейнштейна. Вона відповідає збудженню фононів з частотою EMBED Equation.3 , кількість яких експоненційно зменшується із зниженням температури і є критерієм переходу від квантової теорії теплоємності до класичної.
Отже, відповідно до (24.4.5) молярна теплоємність кристалу дорівнюватиме
EMBED Equation.3 , де EMBED Equation.3 . (24.4.6)
Одержане співвідношення (24.4.6) дає задовільне узгодження із експериментальною залежністю, за вийнятком дуже низьких температур. Для ділянки порівняно високих температур EMBED Equation.3 темплоємність EMBED Equation.3 , тоді як при EMBED Equation.3 експоненційно зменшується, однак не прямує до нуля, як це спостерігається в досліді.
Пізніше Дебай вдосконалив модель Ейнштейна. Він вже розглядав тверде тіло як суцільне пружне середовище. В ній внутрішня енергія твердого тіла пов’язується не з коливаннями окремих атомів, а із утворенням в ньому стоячих пружних хвиль (мод коливань) . Найбільша (дебаєвська) частота EMBED Equation.3 цих хвиль (пружних коливань атомів) визначається тією температурою Дебая EMBED Equation.3 , починаючи з якої теплоємність твердих тіл із зниженням температури зменшується.
Теплове розширення гратки. Незаперечним є експериментальний факт, що під час нагрівання тверді тіла розширюються. Це свідчить про те, що при цьому збільшуються відстані між атомами. Розглянемо причини цього.
Взаємодія атомів у твердому тілі зумовлена силами електростатичного притягання та відштовхування. Характер прояву цих сил залежить від відстані між атомами.
Однак як бачимо із рис.24.2.1, резудбтуючиі потенціал міжатомної взаємодії несиметричний. Саме з цим пов’язуть зміну об’єму гратки із температурою. Несиметричність або ангармонізм результуючої сили проявляється в гратці як взаємодія коливань фононного спектру.
Вважається, що значення самих коефіцієнтів термічного розширення не змінюється із температурою. Насправді це не так. Виявляється, що при EMBED Equation.3 вони зменшуються пропорційно до температури в третьому ступені і прямують до нуля. Коефіцієнти термічного розширення змінюються із температурою так само, як і теплоємності. Це означає, що обидва явища зумовлені одними і тими ж тепловими процесами в твердих тілах. На підставі цього Грюнайзен вивів важливий закон:
Відношення коефіцієнта теплового розширення до атомної теплоємності для цієї речовини – величина стала і не залежить від температури.
Досить зручною для пояснення теплового розширення є двоатомна модель. В ній один із атомів закріплюється жорстко. Якщо інший виведений із положення рівноваги, то він коливатиметься навколо нього. Якщо вважати, що ці коливання відбуваються під дією пружної сили, то середнє положення атома не залежатиме від амплітуди коливань. Потенціальна енергія таких симетричних коливань має параболічний характер.
Насправді коливання атомів несиметричні, тому й крива потенціальної енергії несиметрична. Це зумовлено тим, що потенціальні енергії притягання та відштовхування між атомами по різному залежать від відстані між атомами і математично вони описуюються відомим несиметричним потенціалом Леннарда-Джонса (11.1.6). Тому чим більше відхиляється крива потенціальної енергії від форми параболи, тим більше відчутня різниця між амплітудами відхилень атома в обидві сторони відносно положення рівноваги. Остаточно це призводить до зростання середньої відстані між атомами, тобто до зміни об’єму твердого тіла в процесі його нагрівання.
Теплопровідність. Якщо в твердому тілі є області із різними температурами, то для нього характерний процес передачи теплоти, кінцевим результатом якого є вирівнювання температури між ними. На відміну від рідин та газів, в твердому тілі теплопередача не супроводжується перенесенням маси речовини, а лише процесом теплопровідністі.
За означенням, коефіцієнт теплопровідності EMBED Equation.3 визначає тепловий потік EMBED Equation.3 у напрямку, в якому є градієнт температури і описується рівнянням законом Фур’є (11.4.2).
Теплопровідність кристалів в значній мірі також пов’язана з ангармонізмом коливань атомів. Коливання передаються від одного атома до іншого, внаслідок чого виникає фононна хвиля, що поширюється із швидкістю звуку.
Для аналізу теплопровідності твердих тіл Дебай застосував до фононів метод кінетичної теорії газів і одержав вираз для коефіцієнту теплопровідності
EMBED Equation.3 , (24.4.7)
де EMBED Equation.3 -об’ємна теплоємність кристалу (фононного газу), EMBED Equation.3 - швидкість звуку (фононів), EMBED Equation.3 -середня довжина вільного пробігу фононів в кристалі.
Для тіл, що характеризуються наявністю вільних електронів, необхідно врахувати ще й електронну складову теплопровідності. Згідно із кінетичною теорією газів внесок в теплопровідність газу вільних електронів такий:
EMBED Equation.3 , (24.4.8)
де EMBED Equation.3 - середня швидкість їх теплового руху з концентрацією EMBED Equation.3 , а EMBED Equation.3 –середня довжина вільного пробігу.
Отже, температурна залежність EMBED Equation.3 визначається в основному теплоємністю та довжиною вільного пробігу, оскільки останні величини слабо залежать від температури. При високих температурах справджується закон Дюлонга-Пті, тому фононна складова теплопровідності пропорційна EMBED Equation.3 (закон Ейкена).
Газ вільних електронів має малу теплоємність і вона пропорційна температурі. Малою є й магнітна сприйнятливість електронів, яка також не залежить від температури. Це зумовлено тим, що на відміну від ідеального газу, процес переходу електронів із одного енергетичногно стану в інший підкоряється перш за все відомому принципу Паулі.
Отже, оскільки для електронного газу теплоємність EMBED Equation.3 , а довжина вільного пробігу EMBED Equation.3 , то внесок їх в теплопровідність не залежить від температури., тобто EMBED Equation.3 .
Розрахунок електронного внеску в теплопровідність показує, що величина EMBED Equation.3 (закон Відемана-Франца), де EMBED Equation.3 -число Лоренца, не залежить від температури і має наближено однакове значення для багатьох металів. Справдження цього закону є доказом того, що електронний газ в металах вироджений. Однак при зниженні температури відчутною стає залежність EMBED Equation.3 . Останнє вже є проявом квантових властивостей електронів в металі.
Для досить низьких температур електронна теплоємність переважає граткову, а остання змінюється пропорційно EMBED Equation.3 . Цей висновок добре узгоджується з результатами дослідного вимірювання теплоємності срібла.
Проте існувало ряд труднощів, які не могла пояснити класична теорія Друде. Це насамперед закон Дюлонга-Пті. Спроба Лоренца перебороти труднощі теорії Друде не покращила, а навпаки, погіршила узгодженість висновків класичної теорії електропровідності з результатами досліду. Значного успіху було досягнуто, коли до розглядуваних проблем було застосовано квантову статистику.
§ 24.5. Елементи квантової статистики
Ще раз нагадаємо основні положення класичної статистики Максвелла-Больцмана. В класичному ідеальному газі фізичні параметри молекул, наприклад, швидкість, не лише змінюються неперервно, але й можуть набувати довільних значень від нуля до як завгодно великих. Окрім цього молекули є розпізнавальні, тобто якщо їх поміняти місцями, то така перестановка призводить до зміни мікростану системи. Причому всі мікростани рівноймовірні і при тепловій рівновазі існує найбільш імовірний розподіл молекули ідеального газу за енергіями чи швидкостями.
На відміну від класичних, для квантових частинок вигляд функції розподілу вже залежитиме від того скільки їх може знаходитись в одному мікростані, а також яким чином змінюються фізичні властивості системи, якщо квантові частинки переставити місцями.
Згідно із принципом нерозрізнюваності при перестановці двох однакових мікрочасток місцями хвильова функція не змінює або змінює свій знак. Як обгрунтував Паулі, перша можливість справджується для частинок із цілим спіном, а друга – із півцілим спіном, сформулювавши при цьому відому теорему:
Дві тотожні частинки з півцілим спіном не можуть
знаходитися в одаковому стані.
Отже, два типи квантових часток із цілим та півцілим спінами підлягають і різними статистикам. Для частинок із півцілим значенням спіну вона називається одночастинковою або Фермі–Дірака, а для частинок із цілим значенням спіну – багаточастинковою або Бозе–Ейнштейна.
Багаточастинкова функція розподілу Бозе-Ейнштейна. Новий принцип підрахунку кількості квантових станів, що змінює, на відміну від статистики Больцмана, функцію розподілу, запропонував Бозе. Суть його підходу полягає ось в чому. Нехай, наприклад, дано дві частинки та два стани, які вони можуть займати. Тоді можливі три випадки:
1.Один квант в першому та один в другому станах;
2.Два кванти в першому та жодного у другому;
3.Жодного в першому та два в другому.
У випадку статистики Больцмана алгоритм заповнення станів частинками був би такий:
1.Перша частинка в першому та друга в другому станах; 2.Друга частинка в першому та перша в другому станах; 3.Обидві в першому, а в другому жодної;
4.Обидві в другому та жодної в першому.
Цей новий принцип вже змінює функцію розподілу і замість відомої больцманівської EMBED Equation.3 вона приймає вигляд функції Планка..
Для нефіксованої кількості частинок із цілим спіном у квантовому стані, функція розподілу їх за енергіями має такий вигляд
EMBED Equation.3 . (24.5.1)
Вона називається функцією Бозе-Ейнштейна, а самі частинки із цілим спіном – бозонами. Функція (24.5.1) відображає кількість частинок з енергією EMBED Equation.3 в одиниці об’єму. Оскільки на бозони принцип Паулі не діє, то в розглядуваному квантовому стані їх може бути як завгодно багато. Тому вираз (24.5.1) називають багаточастинковою
функцією.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
а б
Рис.24.5.1
Графіки (24.5.1) подані на рис.24.5.1,а. Бачимо, що вона не має екстремумів. В стані теплової рівноваги бозони займають стан із найменшою енергією, а при EMBED Equation.3 випадають всі в найнижчий стан – конденсуються. У конденсованому стані всі бозони мають імпульс, що дорівнює нулеві. Однак квантова бозе - ейнштейнівська конденсація має мало спільностей із відомою конденсацією пари в класичному розумінні цього слова.
Якщо ж число частинок фіксоване, то розподіл Бозе-Ейнштейна записується так:
EMBED Equation.3 . (24.5.2)
Тут хімічний потенціал EMBED Equation.3 визначається згідно із умовою сталості загальної кількості частинок в одиниці об’єму*).
Одночастинкова функція розподілу Фермі-Дірака. Ця функція описує розподіл за швидкостями чи енергіями квантових частинок з півцілим значенням спіну і має вигляд
EMBED Equation.3 . (24.5.3)
Це одноелектронна функція розподілу, тоді як класична функція Больцмана є багаточастинкова функція. Частинки із півцілим спіном називаються ферміонами.
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора