Логарифмічні частотні характеристики динамічних ланок Розглянемо логарифмічні частотні характеристики динамічних ланок. Ми з вами вже знаємо п’ять динамічних ланок. Розглянемо їх частотні функції та частотні характеристики. Частотні функції ланок найкраще знаходити, користуючись комплексними передаточними функціями цих ланок. Порядок отримання логарифмічних частотних характеристик такий: Записуємо КПФ ланки. Приводимо її до алгебраїчної форми. Знаходимо дійсну Р(ω) і уявну Q(ω) передаточні функції. Знаходимо модуль і аргумент КПФ (амплітудно-частотну А(ω)та фазово-частотну φ(ω) функції). Обраховуємо логарифмічні частотні функції L(ω) та φ(ω). Будуємо графік логарифмічної амплітудно-частотної функції (характеристику ЛФЧХ) методом асимптот. Будуємо логарифмічну фазово-частотну характеристику ЛФЧХ. Будуємо годограф комплексної передаточної функції (АФЧХ). Підсилювальна ланка КПФ підсилювальної ланки W(jω) = К. Дійсна Передатна функція: Р(ω) = К, уявна передатна функція Q(ω) = 0. Модуль КПФ  EMBED Equation.3 
K. Аргумент КПФ  EMBED Equation.3 
. Логарифмічна амплітудно-частотна характеристика L(ω) = 20 lgK. Графік логарифмічних частотних характеристик та АФЧХ підсилювальної ланки показано на рис. 6.14.
Рис.6.14 – Логарифмічні частотні характеристики та АФЧХ підсилювальної ланки а - логарифмічна амплітудно частотна (ЛАЧХ), б - логарифмічна фазово частотна (ЛФЧХ), в - амплітудно фазова частотна. Аперіодична ланка. Передатна функція:  EMBED Equation.3 
. (6.81) Комплексна Передатна функція:  EMBED Equation.3 
. (6.82) Щоб представити КПФ в алгебраїчній формі, потрібно чисельник та знаменник помножити на комплексно-спряжену величину до знаменника. У даному випадку це буде величина: 1- EMBED Equation.3 
Т. У результаті одержимо  EMBED Equation.3 
. (6.83) Дійсна Передатна функція  EMBED Equation.3 
, уявна Передатна функція:  EMBED Equation.3 
 (6.84) Аргумент КПФ (амплітудно-частотна функція А(ω)):  EMBED Equation.3 
 (6.85) Фаза КПФ (фазово-частотна функція φ(ω)):  EMBED Equation.3 
. (6.86) Логарифмічна амплітудно-частотна функція  EMBED Equation.3 
. (6.87) Побудову графіка логарифмічної амплітудно-частотної характеристики виконаємо методом асимптот. Розглянемо асимптоту при малих значеннях частоти ω0  EMBED Equation.3 
. Для таких частот виконується умова  EMBED Equation.3 
. Тоді у формулі (ЛФЧХ) можна знехтувати величиною  EMBED Equation.3 
 в порівнянні з 1. Отже матимемо асимптоту при ω0, рівну  EMBED Equation.3 
. (6.88) Це горизонтальна асимптота, яка проходить на рівні 20lgK і на логарифмічній частотній характеристиці йде у від’ємному напрямку. Розглянемо асимптоту при великих значеннях частоти  EMBED Equation.3 
  EMBED Equation.3 
. Для таких частот виконується умова  EMBED Equation.3 
. Тоді у формулі (ЛФЧХ) можна знехтувати 1 порівняно до величини  EMBED Equation.3 
. Матимемо асимптоту при  EMBED Equation.3 
, рівну:  EMBED Equation.3 
. (6.89) Величини lg ω при побудові логарифмічних частотних характеристик відкладуться по осі х. Отже х = lg ω. Тобто графік асимптоти описується рівнянням  EMBED Equation.3 
. (6.90) Це пряма лінія з тангенсом кута нахилу -20. Називають її похилою асимптотою. Якщо розглядати найменування величин, які відкладені за осями логарифмічної частотної характеристики, то величину нахилу можна визначити як 20 децибел/декаду, адже за віссю ординат відкладаємо децибели, а за віссю абсцис – декади. Щоб побудувати похилу асимптоту, потрібно крім нахилу асимптоти знайти хоча б одну точку на ній. Розглянемо випадок, коли частота рівна  EMBED Equation.3 
. Тоді в рівнянні асимптоти матимемо  EMBED Equation.3 
, (6.91) Тобто похила асимптота перетинається з горизонтальною асимптотою при частоті рівній  EMBED Equation.3 
. Ця частота має назву частоти спряження. Знаючи це, можна побудувати асимптоти ЛАЧХ. Сама АЧХ на частоті спряження  EMBED Equation.3 
 має значення  EMBED Equation.3 
. (6.92) Тобто ЛАЧХ проходить на 3 дБ нижче точки перетину асимптот. Графік ЛАЧХ аперіодичної ланки наведено на рис. 6.15. Графік логарифмічної фазово-частотної функції Будуємо згідно з формулою  EMBED Equation.3 
. Це звичайна функція арктангенса. При ω0 вона асимптотично наближується до нуля. При  EMBED Equation.3 
 значення арктангенса прагне до π/2. Для побудови графіка знайдемо значення ЛФЧХ на частоті  EMBED Equation.3 
. Воно рівне  EMBED Equation.3 
. (6.93) За обрахованими значеннями будуємо графік. Вигляд його показано на рис.6.15. Отже логарифмічна амплітудно-частотна функція аперіодичної ланки має дві асимптоти, горизонтальну і похилу. Горизонтальна асимптота проходить на рівні 20lgK, а похила асимптота має нахил 20 дБ/дек і перетинається з горизонтальною асимптотою на частоті спряження  EMBED Equation.3 
. Логарифмічна фазово-частотна характеристика аперіодичної ланки являє собою графік арктангенса, максимальний фазовий зсув для неї складає -900 і значення на частоті спряження дорівнює -450. Графік амплітудно-фазової частотної характеристики будуємо за формулами для дійсної і уявної характеристик P(ω) Q(ω), Відкладаємо значення за при різній частоті за дійсною та уявною осями комплексної площини . Це буде півколо з радіусом К/2, центром розміщеним уздовж дійсної осі на відстані К від початку координат. Півколо проходить в нижній півплощині.

Рис. 6.15 – Графік ЛАЧХ і ЛФЧХ аперіодичної ланки Інтегруюча ланка Передатна функція:  EMBED Equation.3 
. (6.94) Комплексна Передатна функція:  EMBED Equation.3 
 (6.95) Щоб представити КПФ в алгебраїчній формі, потрібно чисельник та знаменник помножити на комплексно-спряжену величину до знаменника. У даному випадку це буде величина: - EMBED Equation.3 
Т. У результаті одержимо
Рис.6.16 – Амплітудно-фазова частотна характеристика аперіодичної ланки  EMBED Equation.3 
. (6.96) Дійсна Передатна функція  EMBED Equation.3 
, уявна Передатна функція  EMBED Equation.3 
 Аргумент КПФ (амплітудно-частотна функція А(ω)):  EMBED Equation.3 
. (6.97) Фаза КПФ (фазово-частотна функція φ(ω)):  EMBED Equation.3 
. (6.98) Логарифмічна амплітудно-частотна функція  EMBED Equation.3 
. (6.99) Графік логарифмічної амплітудно-частотної характеристики матиме вигляд  EMBED Equation.3 
. (6.100) Це пряма, нахилена зліва на право з кутовим коефіцієнтом нахилу рівним -20 дБ/дек. Графік логарифмічної фазово частотної функції (ЛФЧХ) буде горизонтальна пряма, паралельна осі частот, зміщена вниз на π/4. АФЧХ являє собою нижню частину комплексної осі, причому збільшення частоти відповідає наближенню до початку координат комплексної осі. Вигляд логарифмічних частотних характеристик інтегруючої ланки показано на рис. 6.17.
Рис. 6.17 – Логарифмічні частотні характеристики інтегруючої ланки: а - логарифмічна амплітудно-частотна (ЛАЧХ); б - логарифмічна фазово частотна (ЛФЧХ); в – амплітудно-фазова частотна. Диференціюча ланка Передатна функція:  EMBED Equation.3 
. (6.101) Комплексна Передатна функція:  EMBED Equation.3 
. Алгебраїчна форма КПФ  EMBED Equation.3 
. (6.102) Дійсна Передатна функція  EMBED Equation.3 
, уявна Передатна функція  EMBED Equation.3 
. Аргумент КПФ (амплітудно частотна функція А(ω)):  EMBED Equation.3 
. (6.103) Фаза КПФ (фазово-частотна функція φ(ω)):  EMBED Equation.3 
. (6.104) Логарифмічна амплітудно-частотна функція  EMBED Equation.3 
. (6.105) Графіка логарифмічної амплітудно-частотної характеристики (ЛАЧХ) матиме вигляд  EMBED Equation.3 
. (6.106) Це пряма, яка з кутовим коефіцієнтом рівним 20 дБ/дек. Графік логарифмічної фазово частотної функції буде горизонтальна пряма, паралельна осі частот, зміщена вверх на π/4 АФЧХ являє собою верхню частину комплексної осі, причому збільшення частоти відповідає зростанню значень уздовж комплексної осі
Рис. 6.18 – Логарифмічні частотні характеристики диференційної ланки. а - логарифмічна амплітудно частотна (ЛАЧХ) б - логарифмічна фазово частотна (ЛФЧХ) в - амплітудно фазова частотна. Коливальна ланка Побудуємо частотні характеристики коливальної ланки. Передатна функція коливальної ланки:  EMBED Equation.3 
. (6.107) Комплексна передатна функція:  EMBED Equation.3 
. (6.108) Щоб представити КПФ в алгебраїчній формі, чисельник та знаменник помножимо на комплексно спряжену величину до знаменника. У даному випадку це буде величина  EMBED Equation.3 
. (6.109) Одержимо  EMBED Equation.3 
. (6.110) Дійсна Передатна і уявна передатні функції  EMBED Equation.3 
; (6.111)  EMBED Equation.3 
. (6.112) Аргумент КПФ (амплітудно-частотна функція А(ω)):  EMBED Equation.3 
. (6.113) Фаза КПФ (фазово-частотна функція φ(ω)):  EMBED Equation.3 
 (6.114) Логарифмічна амплітудно-частотна функція.  EMBED Equation.3 
. (6.115) Побудову графіка логарифмічної амплітудно-частотної характеристики виконаємо методом асимптот. Асимптота при малих значеннях частоти ω0  EMBED Equation.3 
. Для цих частот виконується умова  EMBED Equation.3 
. Тоді можна знехтувати величиною  EMBED Equation.3 
 а також величиною 4d2T2ω2 у порівнянні з 1. Отже матимемо при ω0 асимптоту  EMBED Equation.3 
. (6.116) Це горизонтальна асимптота, аналогічна аперіодичній ланці. Асимптота при великих значеннях частоти  EMBED Equation.3 
.. Для цих частот виконується умова  EMBED Equation.3 
. Можна знехтувати 1 порівняно до величини  EMBED Equation.3 
. Можна знехтувати величиною 4d2T2ω2: в порівнянні з величиною  EMBED Equation.3 
:  EMBED Equation.3 
. (6.117) Величини lg ω при побудові логарифмічних частотних характеристик відкладуться по осі х. Отже х = lg ω. Тобто графік асимптоти описується рівнянням  EMBED Equation.3 
. (6.118) Це похила асимптота з кутовим коефіцієнтом нахилу -40 дБ/дек. Вона перетинає горизонтальну асимптоту на частоті спряження  EMBED Equation.3 
. Значення ЛАЧХ на частоті спряження  EMBED Equation.3 
 (6.119) Величина d для коливальної ланки має значення в межах від 0 до 1. Якщо d=1, то  EMBED Equation.3 
. Тобто графік ЛАФЧХ проходить нижче точки перетину асимптот на 6 дБ. Якщо d<1, то графік ЛАФЧХ піднімається вище і при d=0,5 точно співпадає з точкою співпадає перетину асимптот. Якщо d<0,5 то ЛАЧХ на частоті спряження проходить над точкою перетину асимптот і чим менше буде значення d, тим вище буде знаходитись точка ЛАФЧХ. Графік ЛАЧХ коливальної ланки показано на рис. 6.19. Він має дві асимптоти: горизонтальну і нахилену. Кутовий коефіцієнт нахилу рівний -40 дБ/дек. На частоті спряження ЛАЧХ коливальної ланки проходить вище d<0,5, або нижче d>0,5 точки перетину асимптот залежно від величини постійної загасання d. Основна відмінність ЛАЧХ коливальної ланки від аперіодичної полягає в тому, що кутовий коефіцієнт нахилу асимптоти коливальної ланки дорівнює -40 дБ/дек, тоді як у аперіодичної -20дБ/дек. Графік логарифмічної фазово частотної функції (ЛФЧХ) буде арктангенс. Максимальний зсув фаз дорівнює –π (1800). Частоті спряження відповідає точка на ЛФЧХ -π/2. АФЧХ являє собою дугу, яка проходить через два квадранти нижньої частини комплексної площини. Починається вона на додатній частині дійсної осі. Проходить через від’ємне значення уявної осі і закінчується в точці початку координат. Частотні характеристики коливальної ланки показано на рис. 6.19.
Рис. 6.19 – Логарифмічні частотні характеристики коливальної ланки. а - логарифмічна амплітудно частотна (ЛАЧХ); б - логарифмічна фазово частотна (ЛФЧХ); в - амплітудно фазова частотна. Реальна диференційна ланка Передатна функція:  EMBED Equation.3 
 (6.120) Комплексна Передатна функція:  EMBED Equation.3 
. (6.121) Щоб представити КПФ в алгебраїчній формі, потрібно чисельник та знаменник помножити на комплексно спряжену величину до знаменника. У даному випадку це буде величина  EMBED Equation.3 
. (6.122) У результаті одержимо  EMBED Equation.3 
. (6.123) Дійсна Передатна і уявна передаточні функції  EMBED Equation.3 
, (6.124)  EMBED Equation.3 
. (6.125) Аргумент КПФ (амплітудно-частотна функція А(ω)):  EMBED Equation.3 
. (6.126) Фаза КПФ (фазово-частотна функція φ(ω)):  EMBED Equation.3 
 (6.127) Логарифмічна амплітудно-частотна функція.  EMBED Equation.3 
. (6.128) Побудову графіка логарифмічної амплітудно частотної характеристики виконаємо методом асимптот. Асимптота ω0  EMBED Equation.3 
.  EMBED Equation.3 
. (6.129) Це похила асимптота з нахилом +20 дБ/дек. Асимптота  EMBED Equation.3 
  EMBED Equation.3 
. (6.130) Це горизонтальна асимптота. Графіки логарифмічних частотних характеристик показані на рис.6.20.
Рис. 6.20 – Логарифмічні частотні характеристики реальної диференційної ланки. а - логарифмічна амплітудно частотна (ЛАЧХ); б - логарифмічна фазово частотна (ЛФЧХ), в - амплітудно фазова частотна.