Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2008
Тип роботи:
Конспект лекцій
Предмет:
Моделювання процесів та елементів систем керування
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
Міністерство освіти і науки України
Національний університет “Львівська політехніка”
Реєстр. № 2593
від 21.05.2008
Моделювання процесів та елементів систем керування
Конспект лекцій
для студентів базових напрямків 6.0914 “Комп’ютеризовані системи,
автоматика і управління”, 050201 “Системна інженерія”
Затверджено
на засiданнi кафедри “Комп’ютеризовані системи автоматики»
Протокол № 9 від 19.05.2008 р.
Львів 2008
Моделювання процесів та елементів систем керування: конспект лекцій для студентів базових напрямків 6.0914 “Комп’ютеризовані системи, автоматика і управління”, 050201 “Системна інженерія” / Укл.: У.Ю.Дзелендзяк, А.Г.Павельчак, В.В.Самотий –Львів: НУ ЛП, 2008.–165с.
Викладені нові методи математичного моделювання стаціонарних процесів електромаґнетних пристроїв систем керування, які дають можливість враховувати нелінійність електромаґнетних зв`язків, а також взаємний вплив маґнетних та електричних кіл змінної структури. Викладені загальні принципи побудови математичних моделей електромаґнетних кіл, що містять керовані та некеровані напівпровідникові вентилі та методи аналізу стаціонарних процесів.
Укладачі: У.Ю.Дзелендзяк, к.т.н., доцент А.Г.Павельчак, к.т.н., асистент В.В.Самотий, д.т.н., професор
Відповідальний за випуск
А.Й.Наконечний, д.т.н., професор
Рецензент: І.М.Бучма, д.т.н., професор
ЗМІСТ
Передмова…………………………………………………………………5
1. ЗАГАЛЬНІ ПОЛОЖЕННЯ ТЕОРІЇ ПОБУДОВИ МАТЕМА-
ТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ НЕЛІНІЙНИХ ЕЛЕКТРОМАҐНЕТ-
НИХ ПРИСТРОЇВ СИСТЕМ КЕРУВАННЯ …………….……………..8
1.1. Рівняння електромаґнетних кіл постійної структури……………..8
1.2. Рівняння електромаґнетних кіл змінної структури……………...16
2. ПРИСКОРЕНИЙ ПОШУК УСТАЛЕНИХ РЕЖИМІВ РОБОТИ ЕЛЕКТРОМАҐНЕТНИХ ПРИСТРОЇВ СИСТЕМ КЕРУВАННЯ……19
2.1. Модель чутливостей до початкових умов………………………..19
2.2. Екстраполяційний метод…………………………………………..24
2.3. Метод середніх значень…………………………………………...26
3. АНАЛІЗ ФЕРОРЕЗОНАНСНИХ РЕЖИМІВ
ЕЛЕКТРОМАҐНЕТНИХ ПРИСТРОЇВ…………….………………….29
3.1. Методика побудови ферорезонансних характеристик…………29
3.2. Аналіз статичної стійкості ферорезонансних режимів…………31
4. РІВНЯННЯ СТАНУ ТРАНСФОРМАТОРІВ……………………….…33
4.1. Однофазні двообмоткові трансформатори………………………33
4.2. Однофазні триобмоткові трансформатори………………………39
4.3. Трифазні трансформатори………………………………………...43
4.4. Перетворювач числа фаз…………………………………………..50
5. МАҐНЕТНІ ПІДСИЛЮВАЧІ………………………………….………..57
5.1. Маґнетний підсилювач з розділеними маґнетопровідниками….57
5.2. Рівняння стану маґнетного підсилювача з тристержневим маґнетопровідником……………………………………………….62
6. ФЕРОМАҐНЕТНI ПОМНОЖУВАЧI ЧАСТОТИ……………………..66
6.1. Феромаґнетний подвоювач частоти………………………………66
6.2. Феромаґнетнi потроювачi частоти………………………………..71
7. ПЕРЕТВОРЮВАЧІ ЗМІННОГО СТРУМУ В ПОСТІЙНИЙ………..76
7.1. Рівняння динаміки однофазного двопівперіодного
випрямляча з двома вентилями…………………………………..76
7.2. Однофазний мостовий випрямляч………………………………..86
7.3. Безконтактний фазочутливий випрямляч………………………..91
7.4. Несиметрична схема випрямлення з подвоєнням напруги…….100
7.5. Симетрична схема випрямлення з подвоєнням напруги………107
7.6. Трифазний однопiвперiодний випрямляч………………………113
7.7. Трифазний мостовий (двопiвперiодний) випрямляч…………..120
8. ПЕРЕТВОРЮВАЧІ ПОСТІЙНОГО СТРУМУ В ЗМІННИЙ……….133
8.1. Мостовий паралельний тиристорний iнвертор…………………133
8.2. Паралельний тиристорний iнвертор…………………………….137
8.3. Послiдовний однотактний тиристорний iнвертор……………..143
8.4. Послiдовний двотактний тиристорний iнвертор……………….146
9. ПЕРЕТВОРЮВАЧІ ЗМІННОГО СТРУМУ В ЗМІННИЙ…………..149
9.1. Однофазний перетворювач частоти зi схованою ланкою постiйного струму………………………………………………..149
9.2. Однофазно-трифазний перетворювач частоти……………...150
Література………………………………………………………………157
Передмова
Процес розроблення та експлуатації систем автоматичного керування ставить перед науковцями цілу низку задач. Їх можна класифікувати відповідно до етапів процесу, а саме, на задачі пов’язані з проектуванням систем та їх обслуговуванням. Перетворення параметрів сигналів напруги є одним з найпоширеніших перетворень в системах керування. Це, зокрема, перетворення постійної напруги в змінну, змінної в постійну, постійної в постійну та змінної в змінну. Відповідно, пристрої, що виконують перетворення постійної напруги в змінну називають інверторами, змінної напруги в постійну – випрямлячами, постійної в постійну – конверторами, змінної в змінну – перетворювачами частоти. Ще один вид перетворень, який варто тут згадати – це зміна амплітуди вихідної напруги з її гальванічним розмежуванням між вхідними та вихідними сигналами. Зміну амплітуди вихідної напруги виконують, наприклад, схеми випрямлення з множенням напруги вдвічі, втричі і т.д. Можна це також робити з допомогою випрямлячів з керованими вентилями. Вище згадані перетворювачі використовуються в блоках живлення як модулятори, а також для частотного керування електричними моторами.
Слід зауважити, що базовими елементами у вказаних перетворювачах є перетворювачі змінної напруги в постійну та перетворювачі постійної напруги в змінну, тобто випрямлячі та інвертори. Конвертори можна отримати безпосередньо сполучивши послідовно два перетворювачі: інвертор та випрямляч, а в перетворювачах частоти їх слід поміняти місцями – на вході слід включити випрямляч, а на виході інвертор.
Питання схемотехнічного розроблення перетворювачів параметрів напруги передбачають певний алгоритм, що зводиться до таких кроків. Спочатку слід з’ясувати, які вимоги ставляться до даного перетворювача напруги. Серед них на першому місці стоять: потужність вихідного сигналу, його рівень, форма та гармонічний склад. Знаючи ці параметри, можна визначитися зі схемою перетворювача та його конструктивними елементами. Далі необхідно виконати розрахунок експлуатаційних параметрів перетворювача напруги. Наступні кроки можна виконувати двома шляхами. Перший полягає в макетуванні перетворювача та емпіричній оцінці параметрів макету. Якщо вони не відповідають техніч- ному завданню, тоді необхідно вносити зміни в конструкцію. Звичайно такий шлях є невиправданим з декількох причин. Конструктивні зміни пов’язані зі значними матеріальними затратами. Тому першим і основним недоліком такого шляху є його неприйнятна вартість. Вихід з такого становища полягає в якомога точнішому розрахунку експлуатаційних
параметрів перетворювача напруги. Це можна зробити лише застосувавши сучасні методи математичного моделювання динаміки роботи.
Застосування методів математичного моделювання передбачає розроблення математичних моделей перетворювачів напруги. Основу більшості математичних моделей складають рівняння динаміки досліджуваного пристрою. Залежно від того, наскільки ці рівняння відповідають фізиці процесів, що протікають в перетворювачі напруги, буде визначатися адекватність їх розв’язку реальним фізичним процесам. Безумовно, що створити математичну модель, яка б повністю відображала реальні фізичні процеси є справою безнадійною через її непомірну складність. Тому необхідно накласти певні умови і допущення, які б зробили можливим запис рівнянь динаміки у формі, придатній для розв’язування. Складність аналізу таких задач пов’язана з наявними тут двома типами нелінійностей. Перший тип нелінійностей обумовлений присутністю трансформатора, в якому залежність маґнетної індукції від напруженості маґнетного поля осердя є нелінійною характеристикою і має гістерезисний характер. Другий тип нелінійності викликаний вольт- амперними характеристиками напівпровідникових вентилів.
Записавши рівняння динаміки та задавши певні початкові умови змінних стану, отримуємо задачу Коші. Для розв’язування систем нелінійних диференціальних рівнянь тут застосовують чисельні методи інтегрування, бо дана задача немає аналітичного розв’язку. Інтегрування рівнянь динаміки на певному проміжку часу дає можливість виконати розрахунок перехідного процесу. Якщо інтегрування виконувати на достатньо значному проміжку часу, то можна отримати усталений режим. Проте, ніколи наперед невідомо яким саме має бути цей проміжок. Тому тут доцільно застосовувати методи, що мають чітку умову входження в стаціонарний режим. Такою умовою – є умова періодичності. Аналіз усталених режимів роботи перетворювачів напруги є складнішою задачею, ніж розрахунок перехідних процесів, бо додатково потребує обчислення початкових умов, що задовольняють умову періодичності.
Конспект лекцій складається з дев’яти роздiлiв.
У першому роздiлi, що складається з двох пiдроздiлiв, описанi методи побудови математичних моделей електромаґнетних кіл (ЕМК) постiйної i змiнної структур, орiєнтованi на застосування явних методiв чисельного інтеґрування.
У другому розділі описанi методи прискореного пошуку усталених режимiв роботи електромаґнетних пристроїв систем керування (ЕМП СК), зокрема, модель чутливостей до початкових умов, екстраполяційний метод та метод середнiх значень.
Наявність нелінійних індуктивностей та конденсаторів в електромаґнетних пристроях приводить до появи ферорезонансних
режимів, які можуть бути і нестійкими. Їх аналіз та оцінка статичної стійкості описані в третьому розділі.
В четвертому роздiлi, що складається з чотирьох пiдроздiлiв, викладенi математичнi моделi одно- та трифазних трансформаторiв, перетворювача однофазної напруги в трифазну. Вони дозволяють аналiзувати як перехiднi, так i усталенi режими роботи цих пристроїв.
Аналiз режимiв роботи маґнетних підсилювачів викладений в п’ятому роздiлi, який складається з двох пiдроздiлiв. Тут розглядаються математичнi моделi маґнетних підсилювачів з розділеним та тристержневим маґнетопровідниками. Розглянуто два види навантаження активне та активно-ємнісне.
У шостому розділі розглянуті феромаґнетні помножувачі частоти, а саме подвоювачі та потроювачі частоти. Описано принципи роботи таких помножувачів, наведено рівняння динаміки зведені до нормальної форми Коші.
Сьомий розділ присвячений перетворювачам змінного струму в постійний (випрямлячам). Розглянуто ряд схем, а саме: однофазний двопівперіодний випрямляч з двома вентилями (використовується трансформатор з середньою точкою); однофазний мостовий випрямляч; безконтактний фазочутливий випрямляч; несиметрична та симетрична схеми випрямлення з подвоєнням напруги; трифазний однопівперіодний та мостовий випрямлячі.
У восьмому розділі наведені математичні моделі інверторів, що містять керовані напівпровідникові вентилі (тиристори). Аналіз усталених режимів роботи інверторів, як і для випрямлячів проводиться на основі моделі чутливості до початкових умов. Робота інверторів зводиться до періодичного підключення зі зміною полярності навантаження до постійної напруги. Тиристори при цьому керуються зовнішньою схемою керування.
При побудовi пристроїв електроживлення систем керування часто виникає потреба перетворення змiнного струму однiєї частоти в змiнний струм iншої частоти (перетворювачi частоти) з мiнiмальними втратами енерґiї. У дев’ятому розділі наведенi математичнi моделi таких перетворювачiв. В перетворювачi частоти напруга первинного джерела змiнного струму попередньо випрямляється, а потiм подається на iнвертор, що iнвертує постiйний струм в змiнний необхiдної частоти. Якщо випрямляч в перетворювачi частоти можна видiлити як самостiйний елемент схеми, то його називають перетворювачем частоти з явною ланкою постiйного струму. Iснують також перетворювачi, в схемах яких в явному виглядi випрямляч вiдсутнiй. Такi пристрої називають перетворювачами зi схованою ланкою постiйного струму.
1. ЗАГАЛЬНІ ПОЛОЖЕННЯ ТЕОРІЇ ПОБУДОВИ МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ НЕЛІНІЙНИХ ЕЛЕКТРОМАҐНЕТНИХ ПРИСТРОЇВ СИСТЕМ КЕРУВАННЯ
Електромаґнетні пристрої з різноманітними функціональними призна- ченнями часто використовуються як елементи систем керування. Наявність у їх конструкціях феромаґнетиків призводить до появи нелінійних характе- ристик. Тому такі пристрої будуть описуватися нелінійними диференціаль- ними рівняннями. Розв’язування таких рівнянь можна виконувати лише з допомогою чисельних методів, які передбачають застосування обчислювальної техніки. Одна зі складових електромаґнетного пристрою – це розгалужене електромаґнетне коло (ЕМК), тому спочатку необхідно розглянути саме його математичну модель. ЕМК умовно можна розділити на електричне і маґнетне субкола. Розглянемо принципи формування математичної моделі ЕМК, яка б передбачала ефективне застосування чисельних методів розв’язування нелінійних диференціальних рівнянь.
1.1. Рівняння електромаґнетних кіл постійної структури
Перш ніж приступати до запису математичної моделі необхідно прийняти певні допущення, що визначають складність моделі, а також наскільки точно вона відображає реальні фізичні процеси. З другої сторони необхідно визначитися зі структурою ЕМК, бо розв’язування задачі в загальному випадку є надто складним завданням. Тому, будемо вважати, що структурно ЕМК складається з найпростішого електричного субкола (електрично не зв'язаних між собою котушок) і достатньо складного (розгалуженого) маґнетного субкола. Крім того, вважатимемо, що маґнетне субколо не містить рухомих маґнетних віток.
Обмежившись теорією нелінійних кіл можна сформувати основні допущення, що приймаються при виведенні рівнянь стану ЕМК, а саме:
- потоки дисипації (розсіяння) котушок замикаються лише по повітрю;
- не враховуються втрати в сталі;
- не враховується витіснення маґнетних потоків (явище скін-ефекту)
на поверхню маґнетопровідників;
- не враховується витіснення струмів обмоток на поверхню електричних провідників;
- не враховується явище гістерезису характеристик намаґнечення, а їх нелінійність відображається лише за основною кривою намаґнечення.
Решта допущень є традиційними для теорії ЕМК.
Розглянемо ЕМК з розгалуженим маґнетним субколом, що містить К віток та L вузлів. Будемо вважати, що електричне субколо складається з окремих електрично не зв'язаних котушок, тобто обмежимось нерозгалуженим електричним субколом.
На рис. 1.1 наведена принципова схема котушки (а), розрахункова схе- ма електричного субкола котушки (б) та розрахункова схема розсіяння маґ- нетного потоку котушки (в). Рівняння електричного субкола, утвореного незалежними електричними контурами (рис. 1.1 б) мають вигляд
dΦij
wij dt
= uij − rijiij ,
(1.1)
де Φij , uij , iij ,
rij ,
wij
– повний маґнетний потік, напруга, струм, опір і
число витків котушки; індекси i, j – вказують на причетність до і-го елементу j-ї маґнетної вітки.
uij
iij
Φ Sij
uij
iij
rij
wij
dΦij
Φij
Φ Sij
Φij dt
Φ j
wijiij
Φ j
ρSij
а) б) в)
Рис. 1.1. Принципова (а) та розрахункові (б, в) схеми котушки
Згідно першого закону Кірхгофа (рис. 1.1 а), маємо
Φij
= Φ Sij + Φ j
, (1.2)
де Φ j – основний маґнетний потік, Φ Sij – маґнетний потік розсіяння.
Між маґнетними потоками та потокозчепленнями існує залежність
Ψij
= wij Φij ,
ΨSij
= wij Φ Sij ,
(1.3)
де Ψij
– повне потокозчеплення;
ΨSij
– потокозчеплення розсіяння.
Помноживши (1.2) на
wij
з урахуванням (1.3), отримаємо
Ψij
= ΨSij + wij Φ j .
(1.4)
Вважаючи, що маґнетне поле умовно розділене на дві частини – основне і поле розсіяння і не враховуючи насичення маґнетних шляхів потоків розсіяння (рис. 1.1 в), маємо
Φ Sij = wijiij / ρSij ,
або
ΨSij = w2i / ρ ,
(1.5)
де ρSij
– маґнетний опір розсіяння обмоток.
Підставимо (1.5) в (1.4), а з отриманого рівняння визначимо струми обмоток
ρS ij
ij
ij j )
iij = 2
ij
Ψ − w Φ
. (1.6)
Для маґнетного кола за першим (для головних перетинів) і другим
(для головних контурів) законам Кірхгофа можна скласти, відповідно
L − 1
та K − L + 1 рівнянь
∑ Φ j j
= 0,
(1.7)
де V j
– маґнетна напруга вітки.
∑V j = 0,
j
(1.8)
На рис. 1.2 наведена конструктивна (а) і розрахункова (б) схеми маґнетної вітки, що містить дві котушки, один немаґнетний проміжок і дві однорідні маґнетні ділянки. Для даної схеми можна записати вираз для маґнетної напруги вітки
2 2
V j = ∑Vij + ρaij Φ j − ∑ wij iij ,
(1.9)
i =1
i =1
де Vij
– маґнетна напруга і-ї однорідної маґнетної ділянки;
ρ aij –
маґнетний опір немаґнетного проміжку.
В загальному випадку формула (1.9) набуває вигляду
h j m j n j
V j = ∑Vij + ∑
ρaij Φ j − ∑ wijiij ,
(1.10)
i =1
i =1
i =1
u1 j
w1 j
w2 j
V1 j
V2 j
w1 ji1 j
j
ρS1 j V j
ρS 2 j
u2 j
w2 ji2 j
а) б)
Рис.1.2. Принципова та розрахункова схеми маґнетної вітки
де h j , m j , n j
– відповідно, кількість однорідних маґнетних ділянок,
немаґнетних проміжків та котушок j-ї маґнетної вітки. Маґнетна напруга
Vij
визначається за формулою
Vij
= ρ' Φ j ,
(1.11)
де ij
– статичний маґнетний опір, що визначається за основною кривою
намаґнечення
H = H(B)
матеріалу ( H – напруженість маґнетного поля, B
– маґнетна індукція).
Криву намаґнечення матеріалу доцільно перерахувати в криву намаґнечення маґнетопровідника зміною масштабів
Hij = Vij / lij ,
Bij = Φij / Sij ,
(1.12)
де lij ,
Sij
– довжина маґнетних ліній і площа поперечного перерізу
маґнетопровідника. Тоді статичний маґнетний опір визначаємо за формулою
або, з урахуванням (1.12)
' Vij (
Φ ij ) /
Φ ij ,
(1.13)
' ( Bij ) =
lij H ij ( Bij ) .
Sij Bij
(1.14)
Рівняння (1.1), (1.6), (1.8), (1.10) утворюють повну систему алґебро- диференціальних рівнянь стану ЕМК. В такому вигляді розв'язувати цю систему доцільно неявними методами чисельного інтеґрування. Для цього рівняння (1.1) необхідно записати в дискретній формі і отриману систему нелінійних алґебричних рівнянь розв'язати одним з чисельних методів.
Для використання явних методів чисельного інтеґрування необхідно записати диференціальні рівняння відносно основних маґнетних потоків
Φ j . Підставивши (1.6), (1.10) в (1.8) і диференціюючи отриманий
результат за часом, маємо
h j
∑ ( ∑ ρ" ( Φ j
m j
) + ∑ ρ
aij
n jj
+ ∑ ρ
S ij
) dΦ j
n j
= ∑ ∑ wij α
S ij
dΨij ,
(1.15)
j j =1
j =1
j =1
dt j
i =1 dt
де α
"
S ij
= ρS ij / wij ,
– величина, обернена індуктивності розсіяння обмоток;
ρij
– диференціальний маґнетний опір, що визначається аналогічно (1.13),
(1.14) за основною кривою намаґнечення
або
" ij )
= ∂Vij (
Φij ) /
∂Φij ,
(1.16)
ρ" ( B ) =
lij ∂Hij ( Bij ) .
∂
(1.17)
Sij
Bij
Вирази (1.1), (1.6), (1.7), (1.15) утворюють нову систему алґебро-
диференціальних рівнянь стану ЕМК. Інтеґрованими змінними є повні
Φ ij
і основні Φ j
маґнетні потоки.
Ці ж рівняння можна записати по-іншому. Для визначення диференціальних і статичних маґнетних опорів достатньо знати основні маґнетні потоки. Тому вираз (1.1) можна виключити, а (1.6) записати в диференціальній формі
diij
⎛
= α S ij ⎜ uij − rij iij − wij
dΦ j ⎞
⎟,
(1.18)
dt ⎝
dt ⎠
Рівняння (1.15) з урахуванням (1.1) буде
∑ ρS j
dΦ j
n j
= ∑ ∑ wij α S ij ( uij − rijiij ),
(1.19)
j dt
j i =1
де ρS j
- сумарний маґнетний опір
h j m j n j
ρS j = ∑ ρ" ( Φ j ) + ∑ ρaij + ∑ ρS ij ,
(1.20)
i =1
i =1
i =1
Множину рівнянь (1.19) запишемо у вигляді одного матричного
Ρ dΦ = Λ
dt
( U − RI ),
(1.21)
де Φ , U , I
– колонки основних маґнетних потоків, електричних напруг і
струмів котушок; R – матриця електричних опорів; Λ – матриця,
елементами якої є добутки
wij α Sij ; Ρ – матриця маґнетних опорів.
Рівняння (1.21) записане за другим законом Кірхгофа, а рівняння (1.7)
доповнює його. Саме з цієї причини матриця Ρ не буде квадратною, тому що розмірність колонки Φ більша від кількості рівнянь системи (1.21).
Таким чином розв'язати рівняння (1.21) без (1.7) неможливо.
Запишемо рівняння (1.7) в матричній формі
TΦ = 0.
(1.22)
Якщо впорядкувати потоки за причетністю до ребер і хорд графу маґнетного кола, то рівняння (1.22) можна записати так
TPΦ P + TX Φ X
= 0,
(1.23)
де індекс P вказує на причетність до ребер, а X – до хорд.
З теорії кіл відомо, що
TP = E ,
TX = F ,
(1.24)
де E = diag(1, 1, ..., 1 ) – одинична матриця; F – деяка топологічна матриця.
Тоді вираз (1.23) можна спростити
Φ P + FΦ X
= 0 .
(1.25)
Таким чином, маґнетні потоки Φ можна виразити через потоки хорд Φ X
T
Φ = ΓΦ X ,
Γ = ( E , − F )
(1.26)
де індекс T вказує на операцію транспонування матриці.
Підставивши (1.26) в (1.21) і розв'язуючи отримане рівняння відносно
dΦ X
/ dt , маємо
dΦ X
dt
= D( Φ X
)( U − RI ),
D = CΛ , C = ( ΡΓ )−1 .
(1.27)
Множину рівнянь (1.18) запишемо у вигляді одного матричного
⎛ Φ ⎞
dI = α⎜U − RI − W d ⎟ ,
(1.28)
dt ⎝
dt ⎠
де W – матриця числа витків; α – діагональна матриця елементами якої є
величини, обернені індуктивностям розсіяння
Рівняння (1.28) з врахуванням (1.26) буде
α Sij .
dI = α⎛U − RI − WΓ dΦ ⎞ .
dt ⎝ dt ⎠
(1.29)
Підставивши (1.27) в (1.29), отримаємо рівняння струмів в нормальній формі Коші, тобто розв'язаними відносно похідних
dI = A( Φ
dt X
)( U − RI ),
A( Φ X
) = α( E − WΓD ) . (1.30)
Вирази (1.27), (1.30) утворюють повну систему диференціальних рівнянь стану ЕМК, записану в нормальному вигляді.
Приклад. Нехай двоконтурний маґнетопровідник (рис. 1.3)
складається з трьох однорідних маґнетних віток
( l1 ,
S 1 , l 2 ,
S 2 , l 3 ,
S 3 ) в
яких відсутні немаґнетні проміжки. Перша маґнетна вітка містить дві
обмотки (живляться напругами
u11 ,
u21 ), друга – одну (працює на активне
навантаження
R12 ), третя – три (живляться напругами
u13 ,
u23 ,
u33 ).
Розрахункова схема наведена на рис. 1.4, а її граф на рис. 1.5, де пунктиром позначені хорди, а суцільною – ребро графа кола.
Таким чином маґнетні потоки хорд будуть
u11
u21
w11
w21
R12
w12
w33
w13
w23
u13
u23
u33
Рис. 1.3. Конструктивна схема двоконтурного ЕМК
а ребра
Φ X = ( Φ1 , Φ 2 )T ,
Φ P = Φ3 .
(1.31)
(1.32)
Рівняння (1.1) набудуть вигляду
dΦi1 ⎫
wi1 dt
dΦ
= ui1 − ri1ii1 ,
i = 1, 2, ⎪
⎪
⎪
w12 12
dt
= −( R12 + r12 )i12 , ⎬
⎪
⎪
(1.33)
w dΦi3 = u
− r i
, i = 1,
2, 3,⎪
i3 dt
i3 i3 i3
Рівняння струмів, згідно (1.6) будуть
ii1 = α S i1( Ψi1 − wi1Φ1 ),
i = 1, 2, ⎫
⎪
⎪
i12 = α S 12 ( Ψ12 − w12Φ 2 ),
ii3 = α S i3( Ψi3 − wi3Φ3 ),
i = 1,
⎬
⎪
2, 3 ⎪
(1.34)
.
Рівняння (1.7), (1.8), (1.10) будуть
Φ1 + Φ 2 + Φ3 = 0 ,
(1.35)
V1 = V2 ,
V2 = V3,
(1.36)
V1 = w11 i11 + w21 i21 − V11 , ⎫
⎪
⎪
V2 = w12
i12 − V12 ,
⎬ (1.37)
⎪
⎪
V3 = w13 i13 + w23 i23 + w33 i33 − V13 .
Підставимо (1.34), (1.37) в (1.36)
2 ⎫
∑ wi1α S i1( Ψi1 − wi1Φ1 ) − V11 = w12α S 12 ( Ψ12 − w12Φ 2 ) − V12 ⎪
i =1
3 ⎬ (1.38)
w12α S 12( Ψ12 − w12Φ2 ) − V12 = ∑ wi3α S i3( Ψi3 − wi3Φ3 ) − V13 ⎪
i =1
Рівняння (1.38) запишемо в диференціальній формі, аналогічно (1.15)
dΦ dΦ 2 dΨ
dΨ ⎫
ρS1 1 − ρS 2 2 = ∑wi1αS i1 i1 − w12αS12 12 ⎪
dt dt
dΦ dΦ
i=1
dt
dΨ 3
dt ⎪
⎬
dΨ ⎪
(1.39)
ρS 2 2
− ρS 3 3 = w12αS12 12 − ∑wi3αS i3 i3 ⎪
де ρS 1 = ρ"
dt
+ ρS 11 + ρS 21,
dt
ρS 2 = ρ"
dt
+ ρS 12 , ρ
i=1
= ρ" + ρ
dt
+ ρ + ρ .
11 12
S 3 13
S 13
S 23
S 33
Систему рівнянь (1.39) запишемо у вигляді (1.21), де
⎡ρS 1
Ρ = ⎢
− ρS 2 0 ⎤
⎥;
(1.40)
⎣ 0 ρS 2
− ρS 3 ⎦
Λ = ( Λ1 ,
Λ 2 ,
Λ 3 ,
Λ 4 ,
Λ 5 ,
Λ 6 );
Λ1 = ( w11α S11 ,
0 )T ;
Λ 2 = ( w21α S 21 ,
0 )T ;
Λ 3 = ( −w12α S12 ,
w12α S12 )T ;
Λ 4 = ( 0,
−w13α S13 )T ;
Λ 5 = ( 0,
−w23α S 23 )T ;
Λ 6 = ( 0,
−w33α S 33 )T ;
Топологічні матриці
F , Γ
будуть:
F = (1, 1 );
⎡ 1 0 ⎤
Γ = ⎢ ⎥
⎢ ⎥
(1.41)
− 1 − 1⎥⎦
Виконавши матричні операції (1.27) отримаємо аналогічне рівняння відносно маґнетних потоків хорд. Маґнетний потік ребра визначаємо
згідно (1.35)
Φ3 = −Φ1 − Φ 2 . Диференціюючи за часом (1.34), зведемо його
до вигляду (1.30), де
α = diag( α S11 , α S 21 , α S12 , α S13 , α S 23 , α S 33 ),
(1.42)
W = ( W1 , W2 ) ,
W1 = ( w11 ,
w21 , 0,
w13 ,
w23 ,
w33 )T ,⎫⎪
⎬
(1.43)
W1 = ( 0, 0,
− w12 ,
w13 ,
w23 ,
w33 )T .
1.2. Рівняння електромаґнетних кіл змінної структури
Ми розглянули найпростіший випадок ЕМК, тобто з нерозгалуженим електричним субколом. Наведені рівняння є нелінійними за рахунок характеристик маґнетного субкола. Однак, нелінійність може бути породжена і електричним субколом, наприклад, коли воно містить напівпровідникові вентилі. Тому слід визначитися з математичною моделлю напівпровідникового вентиля. Існує два основних підходи до побудови моделей вентилів. Перший підхід замінює вентиль електричною ланкою зі змінними параметрами. В загальному, це може бути довільна RLC-ланка, параметри якої залежать від умов відкривання і закривання вентилів і є функціями струмів або напруг вентилів. В другому підході вентиль розглядається як ідеальний ключ, характерна риса якого – безмежний активний опір в закритому стані і нульовий у відкритому. Моделювання вентиля чисто резистивною ланкою породжує жорсткі рівняння, і, відповідно, ускладнює алгоритм їх розв'язування. Застосування моделі RLC-ланки приводить до невиправданого росту порядку системи диференціальних рівнянь та ускладнення алгоритму їх розв’язування. Значно привабливішим є використання моделі ідеального ключа, яка дає можливість уникнути жорстких диференціальних рівнянь та спростити алгоритм розрахунку.
Якщо ми використовуємо для вентиля модель ідеального ключа, то при виведенні математичної моделі електромаґнетного пристрою слід притримуватися такого алґоритму. В першу чергу треба з'ясувати можливу кількість комбінацій відкритих і закритих вентилів, а потім – умови виникнення кожної з них. Наступний етап полягає у запису рівнянь електромаґнетного стану пристрою для кожної окремої комбінації. Маючи такі рівняння, слід виділити їх спільну ознаку. Сукупність рівнянь окремих комбінацій слід звести до однієї системи, шляхом введення в рівняння
стану додаткових логічних змінних, що набувають значень 0, ± 1.
Як і в попередньому випадку розглянемо ЕМК з розгалуженим
маґнетним субколом і нерозгалуженим електричним. Будемо вважати, що одна обмотка не містить вентилів, а всі інші містять по одному вентилю.
Причому, ввімкнення вентилів буде збігатися з вибраним додатним напрямком струмів котушок. Неважко побачити, що при закритому вентилі струм котушки буде рівний нулю. Це можна промоделювати, ввівши в рівняння (1.6) додаткові логічні змінні kij, що набувають значень 0 і 1. Причому, 0 відповідає закритому стану вентиля, а 1 – відкритому. Отже, рівняння (1.6) набуде вигляду
iij
= kij αij ( Ψij − wij Φij ) . (1.43)
Тоді рівняння (1.15) з урахуванням (1.43), буде
h j
∑( ∑
ρ" ( Φ j
m j
) +∑
ρaij
n j
+ ∑ kij
ρS ij
) dΦ j
n j
= ∑∑
wij
kij α
S ij
dΨij ,
(1.44)
j i =1
i =1
i =1
dt j
i =1 dt
Вираз рівняння струмів (1.43) запишемо в диференціальній формі,
аналогічно (1.18)
diij
dt
= kij α
S ij ( uij
− rijiij
− wij
dΦ j ).
dt
(1.45)
Тоді вирази (1.19), (1.20) будуть
dΦ j n j
∑ ρS j
= ∑∑ wij kij α S ij ( uij − rij iij ),
(1.46)
j dt
h j
j i =1
m j n j
ρS j = ∑ ρ" ( Φ j ) + ∑ ρaij + ∑ kij ρS ij .
(1.47)
i =1
i =1
i =1
Таким чином, в рівнянні (1.21) елементами матриці Λ будуть добутки
wij kij α S ij .
Структурно рівняння (1.27), (1.30) не зміняться. Зміни
відбудуться лише в елементах матриць
Ρ, Λ , α , причому α – діагональна
матриця елементами якої є добутки
kij α S ij .
Залишається лише визначити умови, коли змінні kij набувають значень
0 і 1, тобто коли вентилі закриваються і відкриваються. Умова закривання
вентиля дуже проста і повністю визначається його струмом
diij
< 0,
dt
iij
≤ 0 .
(1.48)
Для визначення умови відкривання вентиля необхідно вміти обчислити напругу на вентилі у закритому стані. Оскільки вентиль моделюється за схемою ідеального ключа, то це означає, що у закритому стані його опір безмежний, тобто має місце розрив електричного кола.
Визначивши напругу
u Дij
у місці розриву, можна записати умову
відкривання вентиля. Цю напругу можна визначити з рівняння стану
рівноваги електричних контурів (1.1) прирівнявши струм обмотки
iij до
нуля і згідно (1.6) наклавши умову
Φ ij
= Φ j
u Д ij + wij
dΦ j
dt
− uij
= 0,
(1.49)
де u Д ij
– падіння напруги на вентилі в закритому стані. Тоді умова
відкривання буде мати вигляд
dΦ
u Д ij
= uij
− wij
j ≥ 0,
dt
(1.50)
Отже, при виконанні умови (1.48) змінна
kij
набуває значення 0, а при
виконанні умови (1.50) стає рівною 1. Інтеґруючи рівняння стану електромаґнетного перетворювача від заданих початкових умов і контролюючи умови (1.48), (1.50) на кожному кроці інтегрування, можна розрахувати перехідний процес.
2. ПРИСКОРЕНИЙ ПОШУК УСТАЛЕНИХ РЕЖИМІВ РОБОТИ ЕЛЕКТРОМАҐНЕТНИХ ПРИСТРОЇВ СИСТЕМ КЕРУВАННЯ
Таким чином, маючи систему диференціальних рівнянь, що описує динамічний стан ЕМК і початкові умови, з допомогою чисельних методів ми можемо розрахувати перехідні процеси, що протікають в цих колах.
Наступною задачею, яка викликає великий інтерес є аналіз усталених режимів роботи електромаґнетних пристроїв систем керування (ЕМП СК). Рівняння (1.27), (1.30) дають можливість виконувати аналіз перехідних процесів ЕМК. Інтеґруючи ці рівняння на достатньо великому інтервалі часу, отримаємо усталений режим. Безумовно, що такий підхід має два недоліки: 1) накопичення похибок чисельного інтеґрування; 2) значні затрати машинного часу. Крім цього важко визначити наперед інтервал інтегрування, тобто час завершення перехідного процесу. Тому розглянемо ряд методів, які позбавлені цих недоліків.
2.1. Модель чутливостей до початкових умов
Один з методів, що дає можливість проводити аналіз усталених режимів базується на ітераційних циклах Ньютона, або як його ще називають – модель чутливостей до початкових умов. Він дає можливість знаходити такі початкові умови, які при інтеґруванні рівнянь (1.27), (1.30) виключають перехідну реакцію кола. Основною його проблемою є визначення матриці чутливостей до початкових умов, або як її ще називають матриці монодромії або переходу станів. Надалі будемо її називати матрицею чутливостей до початкових умов.
У відповідності з системою лінійних алґебричних рівнянь (1.8), (1.9)
відносно струмів обмоток, диференціальне рівняння (1.30) містить частину
залежних змінних, які позначимо
I1 . Безперечно, якщо
I1 можна визначити
з алґебричних рівнянь (1.8), (1.9), то порядок системи (1.30) треба понизити. В протилежному випадку система диференціальних рівнянь (1.27), (1.30) буде переозначеною, що унеможливлює подальший аналіз.
Решту незалежних струмів позначимо через
(1.30) набуде вигляду
I 2 , тоді понижене рівняння
dI 2
dt
= A2 ( Φ X
)( U − RI ),
I = ( I1 ,
I2 )T ,
(2.1)
де A2
– субматриця нелінійних коефіцієнтів матриці A .
Утворимо вектор змінних стану
X = ( Φ X ,
I2 )T ,
(2.2)
а систему нелінійних диференціальних рівнянь (1.27), (2.1) запишемо єдиним матричним виразом
dX = B( Φ
)( U − RI ),
B = ( D, A
)T .
(2.3)
dt X 2
В усталеному режимі змінні стану X повинні задовольняти умову
періодичності, яку для початкового моменту часу певної системи нелінійних алґебричних рівнянь
t = 0
запишемо у вигляді
F( X ( 0 )) = X ( 0 ) − X ( X ( 0 ), T ) = 0 ,
(2.4)
де T – період вхідної дії. Слід зауважити, що нелінійність рівнянь (2.4) є
неявною за рахунок складової
X ( X ( 0 ), T ) .
Нелінійне рівняння (2.4) розв'язуємо ітераційним методом Ньютона
X ( 0 )( K +1 ) = X ( 0 )( K ) − ( F' ( X ( 0 )( K ) ))−1 F( X ( 0 )( K ) ) ,
(2.5)
де F' ( X ( 0 ))
– матриця Якобі рівнянь періодичності (2.4). Отже,
диференціюючи (2.4) за
X ( 0 ) отримаємо
F' ( X ( 0 )) = E − Σ( T ),
Σ( T ) = ∂X ( X ( 0 ), T ) ,
∂X ( 0 )
(2.6)
де Σ( T )
– матриця чутливостей до початкових умов. Остання відображає
чутливість змінних стану до зміни початкових умов.
Як бачимо, застосування моделі чутливостей до аналізу усталених режимів пов'язане з єдиною проблемою – обчислення матриці чутливостей
до початкових умов Σ . Запишемо її у вигляді добутку двох інших матриць.
Для цього часткову похідну (2.6) запишемо як похідну складної функції
Σ( T ) = ∂ X ( X ( 0 ), T )
∂ Ψ
∂ Ψ
∂X ( 0 )
= B( Φ X
( T ))S( T ) ,
(2.7)
де B = ∂X / ∂Ψ
– матриця коефіцієнтів рівнянь стану (2.3);
S = ∂Ψ / ∂X ( 0 )
– матриця чутливостей повних потокозчеплень обмоток до зміни
початкових умов змінних стану
X ( 0 ) . Надалі S будемо називати
варіаційними змінними. Їх визначаємо в результаті інтеґрування додаткової системи диференціальних рівнянь першої варіації. Для цього продиференціюємо за часом вираз для матриці S
∂ dΨ
dS = dt .
dt ∂X ( 0 )
(2.8)
Підставимо рівняння обмоток (1.1) у варіаційне рівняння (2.8)
dS = ∂( U − RI )
dt ∂Ψ
∂Ψ .
∂X ( 0 )
(2.9)
Вважаючи, що напруги живлення обмоток U є заданими функціями
часу, а тому не залежать від повних потокозчеплень Ψ , та беручи до уваги
рівняння (1.30), отримаємо систему диференціальних рівнянь першої
варіації
dS = − RAS . dt
(2.10)
Рівняння (2.10) завжди лінійне, тому що його права частина лінійно залежить від варіаційних змінних S . Його інтеґруємо сумісно з нелінійним рівнянням (2.3).
Початкове наближення змінних стану
X ( 0 )( 0 )
задаємо довільним, як
правило, нульовим. Початкові умови варіаційних змінних
(2.6), (2.7) повинні строго задовольняти умову
S( 0 )( K ) = ( B( 0 )( K ) )−1.
S( 0 )( K )
згідно
(2.11)
Ітераційний процес зупиняємо при виконанні умови його збіжності
mod(1 − X ( 0 )( K ) / X ( 0 )( K +1 ) ) < ε,
де ε – помилка збіжності ітераційного процесу.
(2.12)
Якщо часові функції
X ( t )
в усталеному режимі є гармонічними і не
містять постійних складових, то вони задовольняють умову
X ( 0 ) = − X ( T / 2 ) ,
тоді умову періодичності можна записати по-іншому
(2.13)
F( X ( 0 )) = X ( 0 ) + X ( X ( 0 ), T / 2 ) = 0 . (2.14)
В цьому випадку матриця Якобі рівняння періодичності (2.14) буде мати
вигляд
F' ( X ( 0 )) = E + ∑( T / 2 ),
∑( T / 2 ) =
∂X ( X ( 0 ),
T / 2 )
,
(2.15)
∂X ( 0 )
а матриця чутливостей до початкових умов визначається аналогічно (2.7)
Σ( T / 2 ) = B( Φ X ( T / 2 ))S( T / 2 ).
(2.16)
Такий підхід, в порівнянні з (2.6), дозволяє вдвічі скоротити кількість обчислювальних операцій на кожній ітерації, так як рівняння електромаґнетного стану (2.3) сумісно з варіаційним рівнянням (2.10) інтеґруються на інтервалі часу від 0 до T / 2 .
За наявності конденсаторів в електричних контурах, зміняться як рівняння стану (1.27), (2.1) так і основні співвідношення методу Ньютона.
Нехай вектори маґнетних потоків хорд і залежних струмів обмоток
Φ X , I1
мають розмірність
N1 , а вектор незалежних струмів
I 2 має розмірність
N2 .
Приймемо, що конденсатори стоять у кожній обмотці, де протікають
струми
I 2 . З урахуванням сказаного доповнимо рівняння стану рівняннями
конденсаторів
dUC
dt
= C −1I2
, (2.17)
де UC
= ( uC1
, uC 2 ,
..., uC N 2 )
– вектор електричних напруг на
конденсаторах;
C−1
= diag( C−1
, C−1
, ..., C−1 )
2
– діагональна матриця
обернених ємностей конденсаторів.
Рівняння електричних контурів (1.1) запишемо у матричних формах за
причетністю до векторів струмів
I1 та I 2
dΨ1 = U
dt 1
− R1I1 ,
(2.18)
dΨ2
dt
= U 2
− UC
− R2 I2 .
(2.19)
Вектор змінних стану (2.2) набуде вигляду
T
X = ( Φ X ,
I2 , UC )
(2.20)
Запишемо рівняння (1.27), (2.1), (2.17) у формі (2.3)
dX = B( Φ
dt X
)Z ( t ),
Z ( t ) = ( U1
− R1I1 , U 2
− UC
− R2 I2 ,
I2 )T ,
(2.21)
тоді матриця коефіцієнтів B набуде вигляду
⎡ D
B = ⎢ A
0 ⎤
0 ⎥ . (2.22)
⎢ 2
⎣⎢ 0
⎥
C −1 ⎥⎦
Матрицю монодромії визначаємо аналогічно (2.7)
Σ( T ) = ∂ X ( X ( 0 ), T )
∂ Y
∂ Y
∂X ( 0 )
= B( Φ X
( T ))S( T ) ,
dY = Z ( t ) , (2.23)
dt
де B = ∂X / ∂Y ;
S = ∂Y / ∂X ( 0 ).
Вираз (2.8) набуде вигляду
тоді
∂ dY
dS = dt ,
dt ∂X ( 0 )
(2.24)
⎡ U1 − R1I1 ⎤
⎢ ⎥
∂ ⎢U 2 − UC − R2 I2 ⎥
dS =
dt
I2 ∂Y .
∂Y ∂X ( 0 )
(2.25)
Рівняння першої варіації (2.10) можна записати
де Q – матриця коефіцієнтів
dS = QS ,
dt
Q = ∂Z ,
∂Y
(2.26)
⎡ − R1 A1
Q = ⎢− R A
0 ⎤
− −1 ⎥
⎥
A2 0
Алґоритм розрахунку
1. Маючи на k-й ітерації формули (2.5) початкові умови
X ( 0 )( K )
(на
першому кроці початкове наближення диференціальні маґнетні опори.
X ( 0 )( 0 ) ) згідно (1.17) визначаємо
2. Маючи дані п.1 обчислюємо згідно (2.22) матрицю B , а далі за
формулою (2.11) початкові умови варіаційних рівнянь
S( 0 )( K ) .
3. Інтеґруємо одним з чисельних методів рівняння (2.21), (2.26) на
інтервалі часу від 0 до T , або від 0 до T / 2
при початкових умовах пп. 1, 2.
4. Згідно (2.23) визначаємо матрицю чутливостей до початкових умов.
5. Використовуючи формулу (2.6) або (2.15) обчислюємо якобіан рівняння періодичності.
6. Згідно (2.5) знаходимо уточнене значення
X ( 0 )( K +1 ) .
7. Перевіряємо умову (2.12) збіжності ітераційного процесу. Якщо вона не виконується, то алґоритм повторюється з п.1, в противному випадку закінчуємо розв'язування.
2.2. Екстраполяційний метод
Як було показано вище, прискорений пошук вимушених періодичних режимів ЕМК зводиться до обчислення початкових умов, які дозволяють в процесі інтеґрування рівнянь стану системи (2.21) отримати безпосередньо усталений режим в обхід перехідного. Застосування методу Ньютона (2.5) для цієї цілі передбачає обчислення матриці монодромії. Але існують задачі, в яких її формування значно ускладнюється. Наприклад, коли в системі присутні вентильні схеми. Це приводить до появи електричних кіл зі змінною структурою.
Визначення початкових умов, що виключають перехідну реакцію системи, в цьому випадку доцільно проводити екстраполяційним методом, який не залежить від природи диференціальних рівнянь кола і тому позбавлений процедури обчислення матриці монодромії.
Екстраполяційні методи цільову функцію використовують у вигляді
lim
n→∞
X ( nT ). Інтеґруючи (2.3) на
q + d
періодах, породжуємо послідовність
значень
X ( 1 ) ,
X ( 2 ) , ... ,
X ( q + d ) ,
(2.27)
де X ( q + d ) = X (( q + d )T ); T
– період вхідної дії. Для послідовності (2.27),
починаючи з q , застосовуємо екстраполяційну формулу
X ( 0 ) = EXTR( X ( q +1 ) ,
X ( q + 2 ) , ... ,
X ( q + d ) ) , (2.28)
де X ( 0 ) – початкові умови входження в усталений режим.
В якості функції EXTR доцільно використати ε – алґоритм, який
виконує обчислення границі послідовності з експоненційними складовими.
Формула для обчислення наступного значення
X ( r ) має вигляд
X ( r ) = X ( r +1 ) + ( X ( r +1 ) − X ( r ) )−1;
s = 0,1, ... , m −1;
r = 0,1, ... , m − s −1, (2.29)
s+1
де
s−1
X ( r ) = 0;
s
r = 1,
s
2, ..., m;
X ( r ) = X ( rT );
r = 0, 1,
..., m.
Результат
екстраполяції, що відповідає EXTR в (2.28) рівний
X ( 0 ) = X ( 0 ) .
n
В (2.29)
використовується процедура обертання Самельсона
V − = V / ∑Vk
, де Vk
1 2
– k-й елемент n-мірної колонки V .
Для систем розмірності n значення
k =1
m = 2n . Початкові умови
усталеного режиму для швидкозатухаючих перехідних реакцій компонент
X визначаємо інтеґруванням рівнянь стану системи на q періодах. Як
правило
q = 1 − 5 . На жаль, не існує строгого критерію вибору значень
параметрів q i d , тому тут можливий лише еврістичний підхід. Основний недолік екстраполяційних методів полягає в необхідності інтеґрування рівнянь динаміки на значному інтервалі часу.
Алґоритм обчислень
1. Інтеґруємо рівняння (2.21), від заданих початкових умов
X ( 0 ) на q
періодах і визначаємо початкові умови періодичного режиму швидкозатухаючих компонент X .
2. Маючи на k -й ітерації початкові умови
X ( 0 )( K ) (на першій ітерації
умови п.1), інтеґруємо рівняння (2.21) на 2n
послідовність
періодах і породжуємо
X ( d ) = X ( d T ),
d = 0, 1, ...
, 2n . (2.30)
3. Згідно (2.29) визначаємо уточнене значення початкових умов
X ( 0 )( K +1 ) = X ( 0 ) .
(2.31)
4. Перевіряємо умову (2.12) збіжності ітераційного процесу. Якщо вона не виконується, то процес повторюємо з п.2, в противному випадку зупиняємо ітераційний процес.
Приклад. Для пояснення роботи методу (2.29) розглянемо рівняння електричного фільтру, схема якого наведена на рис. 2.1. Така схема описується двома диференціальними рівняннями
di = ( u − ri − u dt c
) / L,
duC
dt
= ( i − uc
/ RH
) / C .
(2.32)
i L r
Вектор зм...
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора