Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
ЧИСЛОВЕ ІНТЕГРУВАННЯ ФУНКЦІЇ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ.
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Захист інформації
Інформація про роботу
Рік:
2007
Тип роботи:
Інструкція та методичні настанови
Предмет:
Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ "ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА"
ЧИСЛОВЕ ІНТЕГРУВАННЯ
ФУНКЦІЇ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
Інструкція
до лабораторної роботи № 4
з курсу
" Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем"
для студентів спеціальності 6.1601
"Інформаційна безпека"
Затверджено
на засіданні кафедри
“Захист інформації”
Протокол № __ від ________ p.
Львів – 2007
Чисельне інтегрування функцій однієї змінної: Інструкція до лабораторної роботи №4 з курсу "Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем " для студентів спеціальності 6.1601 "Інформаційна безпека" / Укл.: Л.В.Мороз, З.М.Стрілецький, В.М.Іванюк - Львів: НУЛП, 2007.- 15 с.
Укладачі: Леонід Васильович Мороз, к.т.н., доц.
Зеновій Михайлович Стрілецький, к.т.н., доц.
Іванюк Віталій Миколайович, асистент.
Відповідальний за випуск: І.Я. Тишик, ст.в.
Рецензент: В.Б.Дудикевич, д.т.н., проф.
В.В.Хома, д.т.н., проф.
Мета роботи – ознайомлення з методами наближеного інтегрування означених інтегралів.
Чисельне інтегрування функцій однієї змінної
Нехай дана деяка функція EMBED Equation.3 на деякому відрізку EMBED Equation.3 . Розглянемо задачу обчислення її означеного інтеграла
EMBED Equation.2 .
Якщо для EMBED Equation.3 відома первісна EMBED Equation.3 , то інтеграл обчислюється за формулою Ньютона - Лейбніца
EMBED Equation.2 (1)
Однак EMBED Equation.3 для великого класу функцій не можна виразити через елементарні функції, тому означений інтеграл вже не можна обчислити за допомогою формули Ньютона - Лейбніца. Крім того, бувають випадки, коли підінтегральна функція задається не аналітично, а таблично. Тоді використовують формули наближеного інтегрування, які називають квадратурними. Сам процес чисельного визначення інтегралу називають квадратурою, а відповідні формули - квадратурними.
Ідея чисельних методів інтегрування полягає в наступному. означений інтеграл
EMBED Equation.2
EMBED PBrush
Рис. SEQ Рис. \* ARABIC 1
можна трактувати як площу фігури (рис.1), обмеженої ординатами a і b , віссю абсцис EMBED Equation.3 і графіком підінтегральної функції EMBED Equation.3 (криволінійною трапецією).
При наближеному обчисленні криволінійну трапецію заміняють фігурою, обмеженою тим самим відрізком EMBED Equation.3 , площа якої обчислюється значно простіше.
Найбільш прості формули чисельного інтегрування - формули прямокутників та трапецій.
EMBED PBrush
Рис. SEQ Рис. \* ARABIC 2
Розглянемо метод прямокутників.
Відрізок EMBED Equation.3 розбивають на EMBED Equation.3 відрізків EMBED Equation.3 , де i= EMBED Equation.2 . На кожному з відрізків EMBED Equation.3 площа криволінійної трапеції заміняється площею прямокутника з основою EMBED Equation.3 та висотою EMBED Equation.2 .
Тоді EMBED Equation.2 (2)
Якщо відрізки EMBED Equation.3 рівновеликі : EMBED Equation.3
EMBED Equation.2 (3)
Формулу (3) називають також формулою «середніх» прямокутників. Якщо за висоту прямокутника взяти EMBED Equation.3 або EMBED Equation.3 , то можна одержати формули «лівих» та, відповідно, «правих» прямокутників.
Формула лівих прямокутників :
EMBED Equation.2 .
Формула правих прямокутників :
EMBED Equation.2 .
Похибка методу прямокутників
( гранична абсолютна похибка, похибка квадратурної формули (3) ):
EMBED Equation.2 (4)
де EMBED Equation.2 , x[a;b] .
EMBED PBrush
Рис. SEQ Рис. \* ARABIC 3
Вираз (4) для похибки показує, що формула (3) є точною для будь-якої лінійної функції, оскільки друга похідна такої функції дорівнює нулю, а отже похибка теж дорівнює нулю.
EMBED Equation.2
EMBED PBrush
Рис. SEQ Рис. \* ARABIC 4
Метод трапецій
Розіб’ємо відрізок інтегрування EMBED Equation.3 на n рівних частин, довжиною EMBED Equation.2 .
Дуга кривої EMBED Equation.3 заміняється стягуючою її хордою. В точках розбиття проведемо ординати до перетину з кривою EMBED Equation.3 . Кінці ординат з’єднаємо прямолінійними відрізками. Тоді можна замінити кожну з одержаних криволінійних трапецій прямолінійною (рис.4). Площа криволінійної трапеції EMBED Equation.3 можна вважати наближено дорівнює сумі площ прямолінійних трапецій.
Площа лівої трапеції
EMBED Equation.2
Відповідно для трапеції, розміщеної над ділянкою EMBED Equation.3 знайдемо:
EMBED Equation.2 (5)
Звідси
EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 (6)
або EMBED Equation.2 (7)
Похибка методу
Гранична абсолютна похибка методу трапецій знаходиться за формулою (8):
EMBED Equation.2 (8)
EMBED Equation.2 , EMBED Equation.2 , EMBED Equation.2 .
Співставляючи формули (8) та (4) бачимо, що похибка формули середніх прямокутників в 2 рази менша, ніж похибка формули трапецій.
Метод Сімпсона
Цей метод значно точніший у порівнянні з методами прямокутників або трапецій.. Для досягнення тої ж точності в ньому можна брати менше число n ділянок розбиття та відповідно більший крок h, а при одному й тому ж кроці h він дає менші абсолютну та відносну похибки.
Розіб’ємо відрізок EMBED Equation.3 на парне число 2n частин довжиною
EMBED Equation.2 (9)
Нехай точкам розбиття EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 відповідають значення підінтегральної функції EMBED Equation.3 ( тобто EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , i= EMBED Equation.2 )
EMBED PBrush Рис. SEQ Рис. \* ARABIC 5
На відрізку EMBED Equation.3 проведемо через три точки EMBED Equation.3 параболу, якою замінимо підінтегральну функцію EMBED Equation.3 .
Рівняння параболи
EMBED Equation.3 (10)
(причому значення коефіцієнтів А, В, С невідомі). Якщо замінити площу криволінійної трапеції на відрізку EMBED Equation.3 площею криволінійної трапеції, обмеженої параболою (10), то можна записати
EMBED Equation.2
EMBED Equation.2 (12)
Винесемо спільний множник EMBED Equation.3
EMBED Equation.2 (11)
Невідомі коефіцієнти А, В, С в рівняннях (10), (11) шукаються з умови, що при
EMBED Equation.3
Враховуючи, що EMBED Equation.3
EMBED Equation.2 (12)
Перемножуючи другу рівність (12) на 4 та додаючи всі три рівності, знайдемо
EMBED Equation.3 (13)
що співпадає з квадратною дужкою рівняння (11). Отже,
EMBED Equation.2 (14)
EMBED Equation.3
Очевидно, що для кожної наступної пари ділянок одержимо таку ж формулу:
EMBED Equation.2 (15)
Сумуючи рівності вигляду (14) та (15)по всіх відрізках, одержимо :
EMBED Equation.2
EMBED Equation.2 (16)
Це і є формула Сімпсона. Похибка методу (формули парабол) визначається за формулою :
EMBED Equation.2 , EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 (17)
При написанні програм доцільно формулу Сімпсона зобразити у вигляді
EMBED Equation.2 , (18)
де EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 , тобто EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 i= EMBED Equation.2
Оцінка похибки за правилом Рунге
Оцінка похибки методів інтегрування за формулами (4), (8), (17) досить часто виявляється малоефективною через труднощі, пов’язані з оцінкою похідних підінтегральної функції EMBED Equation.3 . Тому на практиці доволі часто користуються прийомом, запропонованим Рунге. Нехай точне значення інтеграла EMBED Equation.2 , EMBED Equation.3 - його наближене значення, обчислене за однією з квадратурних формул з кроком EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 - наближене значення інтеграла, обчислене за тою ж формулою з кроком EMBED Equation.3 .
Граничні значення абсолютних похибок можна записати у вигляді :
EMBED Equation.2 (19)
k - порядок точності формули ;
EMBED Equation.2 (20)
М - добуток сталої на похідну.
Відповідно можна записати
EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.2 .
Віднімемо ці рівності:
EMBED Equation.3
Одержимо оцінку похибки за правилом Рунге (враховуючи (20)):
EMBED Equation.2 (21)
Користуючись формулою (21), можна уточнити наближене значення інтеграла, вважаючи, що:
EMBED Equation.2 (22)
Формулу (25) називають формулою екстраполяції за Річардсоном.
Оцінка похибки за методом Рунге для формул прямокутників та трапецій (к=2):
EMBED Equation.2 ,
для формул Сімпсона ( EMBED Equation.3 ):
EMBED Equation.2 .
Прийом багатократного зменшення кроку та оцінки похибки можна запрограмувати та одержати алгоритм автоматичного вибору кроку для наближеного обчислення інтеграла з заданою точністю.
Правило Рунге використовують, якщо задається гранична абсолютна похибка обчислення інтегралу.
Для одержання достатньо ефективної програми (при оцінці похибки за правилом Рунге) слід враховувати наступне. В формулах прямокутників, трапецій і Сімпсона при подвоєнні числа кроків нема необхідності обчислювати значення підінтегральної функції знову в усіх вузлах сітки, оскільки вузли сітки, одержані при числі кроків n , є вузлами сітки і при числі кроків 2n.
Метод Гауса
Формулу Гауса називають формулою найвищої алгебраїчної точності, абсциси xi при інтерполяції (наближенні, заміні) функції EMBED Equation.3 вибираються з умови забезпечення мінімальної похибки інтерполяції. В методі Гауса інтеграл
EMBED Equation.2 (23)
зводиться до вигляду
EMBED Equation.2 (24)
причому точне значення інтегралу заміняється на наближену квадратурну формулу.
Це зведення відбувається у наступній послідовності. У формулі (23) змінна x заміняється на
EMBED Equation.2 (25)
Тоді
EMBED Equation.2 (26)
і з врахуванням (24) можна записати, що:
EMBED Equation.2 . (27)
В формулі (24) коефіцієнти EMBED Equation.3 та абсциси ( вузли ) EMBED Equation.3 вибираються в залежності від числа цих вузлів). Значення EMBED Equation.3 невідомих EMBED Equation.3 є коренями так званих поліномів Лежандра. Вузли EMBED Equation.3 розташовані на інтервалі (-1,1), завжди симетрично відносно нуля. Всі вагові коефіцієнти додатні, а їх сума дорівнює 2.
Для достатньо гладкої підінтегральної функції формула Гауса (27) забезпечує високу точність вже при невеликому числі вузлів EMBED Equation.3 . Для оцінки похибки обчислень за формулою Гауса з EMBED Equation.3 вузлами користуються формулою:
EMBED Equation.2 , EMBED Equation.2
Наприклад, при
EMBED Equation.3 EMBED Equation.2 ;
EMBED Equation.3 EMBED Equation.2 .
Метод Чебишoва
Як і в методі Гауса, метод Чебишoва передбачає заміну інтегралу квадратурною формулою
EMBED Equation.2 (28)
з фіксованим числом EMBED Equation.3 . Але на відміну від методу Гауса, тут (в даному методі) найкращі вузли EMBED Equation.3 з точки зору наближення підінтегральної функції вибираються з умови, що значення вагових коефіцієнтів EMBED Equation.3 рівні між собою і дорівнюють EMBED Equation.2 . Тоді формула Чебишoва має вигляд
EMBED Equation.2 (29)
Значення EMBED Equation.3 в залежності від EMBED Equation.3 зведені в таблицю
Слід зауважити, що вираз (29) буде точним для EMBED Equation.3 вигляду EMBED Equation.3 , тобто для поліномів до n-ї степені включно(формула Гауса - для поліномів степені EMBED Equation.3 ). Причому EMBED Equation.3 в формулі Чебишoва може приймати значення тільки 2,3,4,5,6,7,9. Більш високого порядку формул нема. В цьому полягає недолік методу. як і в методі Гауса, при межах інтегрування, відмінних від -1 та +1, з врахуванням формули (29), інтеграл зводиться до вигляду
EMBED Equation.2 (30)
Як метод Гауса, так і метод Чебишова можна використати наступним чином. Проміжок EMBED Equation.3 розбивається на декілька відрізків, до кожного з яких застосовується формула інтегрування з n вузлами, а сумарне значення дорівнює інтегралу на EMBED Equation.3 .
2.ЗАВДАННЯ ДО ЛАБОРАТОРНОЇ РОБОТИ
Скласти програму обчислення означеного інтеграла вказаним викладачем методом.
Методи прямокутників, трапецій і Сімпсона зі змінним кроком інтегрування, Гауса і Чебишова – з сталим.
2.1. Домашня підготовка до роботи
1. Ознайомитися з основними теоретичними відомостями.
2. Розробити блок-схему алгоритму методу
3.Написати програму, яка забезпечить розв’язок та виведення на екран результатів роботи. Варіанти завдань беруть за вказівкою викладача.
2.2. Робота в лабораторії
1. Ввести в комп'ютер програму згідно з отриманим завданням.
2. Здійснити відладку введеної програми, виправивши виявлені компілятором помилки.
3. Виконати програму. Текст відлагодженої програми та отримані результати оформити у звіт з лабораторної роботи.
Контрольні запитання
Опишіть порядок числового інтегрування функції методом прямокутників.
В яких випадках похибка методу прямокутників рівна нулю?
Обґрунтуйте чому метод прямокутників має похибку меншу ніж метод трапецій.
Опишіть порядок числового інтегрування функції методом Трапецій.
Опишіть порядок числового інтегрування функції методом Сімпсона.
Яка умова ефективного вибору вузлів в методі Чебишова?
3. ЗМIСТ ЗВIТУ
1. Мета роботи.
2. Короткі теоретичні відомості.
3. Повний текст завдання.
4. Блок-схема алгоритму програми.
5. Список ідентифікаторів констант, змінних, процедур і функцій, використаних в програмі, та їх пояснення.
6. Остаточно відлагоджений текст програми згідно з отриманим завданням.
7. Результати виконання програми.
8. Висновок.
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для инженеров и научных работников. – М.: Наука, 1974. – 830 с.
Маликов В.Т., Кветный Р.Н. Вычислительные методы и применение ЭВМ: Учеб. пособие. – Киев: Выща шк., Головное изд-во, 1989. – 213 с.
Щуп Т. Решение инженерных задач на ЭВМ. – М.: Мир, 1982. – 235 с.
Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение. – М.: Мир, 1998. –570 с.
Джон Г. Мэтьюз, Куртис Д. Финк Чисельнные методы. Использование Matlab. Издательский дом «Вильямс» Москва – Санкт-Петербург – Киев, 2001.
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора