МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ "ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА"
МЕТОДИ ЧИСЕЛЬНОГО ІНТЕГРУВАННЯ ФУНКЦІЙ І Н С Т Р У К Ц І Я до лабораторної роботи N 3 з курсу " Чисельні методи в інформатиці " для студентів базового напрямку 6.0804 "Комп'ютерні науки" Затверджено на засіданні кафедри систем автоматизованого проектування Протокол N 14 від 03.04.97 р. Львів 1999 МЕТОДИ ЧИСЕЛЬНОГО ІНТЕГРУВАННЯ ФУНКЦІЙ. Інструкція до лабораторної роботи N 3 з дисципліни " Чисельні методи в інформатиці " для студентів базового напрямку 6.0804 "Комп'ютерні науки" / Укл. Мотика І.І., Каркульовський В.І., Чура І.І. – Вид-во Державного університету "Львівська політехніка", 1999. – 8 с. Укладачі Мотика І.І., канд. техн. наук, доц. Каркульовський В.І., канд. техн.наук, доц. Чура І.І., канд. техн. наук, доц. Відповідальний за випуск Ткаченко С.П., канд. техн. наук, доц. Рецензенти Федасюк Д.В., канд. техн. наук, доц. Близнюк М.Б., канд. техн. наук, доц. МЕТА РОБОТИ – ознайомлення із методами чисельного інтегрування функцій та їх практичним застосуванням. 2. КОРОТКІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ 2.1. Загальний підхід до обчислення означених інтегралів Якщо для визначеної і неперервної на проміжку  EMBED Equation.3 
EMBED Equation.3
 функції f(x) відома первісна F(x), то означений інтеграл EMBED Equation.3
 можна обчислити за формулою Ньютона-Лейбніца EMBED Equation.3
, (1) де F'(x) = f(x). Проте в багатьох випадках обчислити означений інтеграл за цією формулою неможливо, оскільки знайти первісну F(x) через елементарні функції, як правило, не вдається. Навіть тоді, коли її можна визначити, вона часто має досить складний і незручний для обчислень вигляд. Крім того, на практиці підінтегральна функція часто задається таблично і в такому разі аналітичні методи просто незастосовні. У цих випадках для обчислення означених інтегралів користуються чисельними методами. Чисельне інтегрування – це обчислення значення означеного інтеграла через ряд значень підінтегральної функції та її похідних. Оскільки знаходження числового значення означеного інтеграла з геометричного погляду можна тлумачити як обчислення площі криволінійної трапеції (її квадратури), то формули для наближеного обчислення означеного інтеграла називаються квадратурними. Найширше застосовуються квадратурні формули, які дають можливість наближено відшукувати значення інтеграла у вигляді лінійної комбінації кількох значень підінтегральної функції: EMBED Equation.3
, (2) де EMBED Equation.3
 – коефіцієнти формули (дійсні числа); EMBED Equation.3
 – вузли формули. Якщо задано деякий клас функцій і для нього будуємо квадратурну формулу типу (2), то коефіцієнти і вузли формули не повинні залежати від вибору функції f(x) з даного класу функцій. Величина EMBED Equation.3
 (3) називається залишковим членом квадратурної формули (похибкою формули). 2.2. Квадратурні формули Ньютона-Котеса Квадратурні формули Ньютона-Котеса будуються шляхом заміни підінтегральної функції інтерполяційним поліномом Лагранжа з рівновіддаленими вузлами. Частковими випадками квадратурних формул Ньютона-Котеса є: формули прямокутників: EMBED Equation.3
; (4) EMBED Equation.3
. (5) Тут (4) – формула "лівих" прямокутників, а (5) – "правих". формула трапецій: EMBED Equation.3
 6) формула Сімпсона: EMBED Equation.3
 (7) У формулах (4) – (7): h – крок; n – кількість інтервалів розбиття; а і в – відповідно ліва і права межі інтегрування; EMBED Equation.3
 – значення функції в i-му вузлі інтерполяції EMBED Equation.3
 2.3. Формула Чебишева Формула (3) може бути приведена до вигляду: EMBED Equation.3
 (8) заміною змінних EMBED Equation.3
. При виведенні формули Чебишева використовуються такі умови: коефіцієнти EMBED Equation.3
 рівні між собою; квадратурна формула (8) є точною для усіх поліномів до степеня n включно. Розміщення вузлів визначається, виходячи з цих умов. Тоді формула (8) буде мати вигляд: EMBED Equation.3
. (9) Для знаходження EMBED Equation.3
 використаємо другу умову, згідно з якою формула (9) повинна бути точною для функції вигляду: EMBED Equation.3
. (10) Після підстановки цих функцій у (9), одержимо систему рівнянь: EMBED Equation.3
; EMBED Equation.3
; . . . . . . . . . . . . . . (11) EMBED Equation.3
. Система рівнянь (11) має розв'язок при n<8 і n=9, і дозволяє знайти значення абсцис EMBED Equation.3
, у формулі Чебишева (9). У довідковій літературі наводяться значення абсцис EMBED Equation.3
 у формулі Чебишева. 2.4. Формула Гауса Формула Гауса – це формула найвищої алгебраїчної точності. Для формули (8) найвища точність може бути досягнута для поліномів степеня (2n-1), які визначаються постійними EMBED Equation.3
 i EMBED Equation.3
(i=1,2,...,n). Коефіцієнти EMBED Equation.3
 визначаються із системи рівнянь, одержаних на основі поліномів Лежандра; EMBED Equation.3
 – нулі полінома Лежандра EMBED Equation.3
. Формула EMBED Equation.3
 (12) де EMBED Equation.3
 – нулі полінома Лежандра називаються формулою Гауса. У літературі наводяться обчислені елементи формули Гауса для EMBED Equation.3
. Оцінка похибки формули Гауса з n вузлами визначається із EMBED Equation.3
, (13) де EMBED Equation.3
 – максимальне значення 2n-ї похідної на проміжну EMBED Equation.3
. 3. КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ 1. Що таке чисельне інтегрування? 2. Як будується квадратурна формула для обчислення означених інтегралів? 3. Як оцінюється похибка квадратурної формули? 4. Як обчислюється означений інтеграл за формулою прямокутників? 5. Як обчислюється означений інтеграл за формулою трапецій? 6. Яка основа побудови формули Сімпсона? 7. Які методи входять у формули Ньютона-Котеса? 8. Як обчислити визначений інтеграл за методом Чебишева? 9. Як обчислити визначений інтеграл за методом Гауса? 10. Яка із квадратурних формул забезпечує найвищу точність? 4. ЛАБОРАТОРНЕ ЗАВДАННЯ 1. Ознайомитись із методами обчислення визначених інтегралів за квадратурними формулами 2. Одержати індивідуальне завдання. 3. Знайти значення визначеного інтеграла за квадратурними формулами, формулами Чебишева, Гауса і Сімпсона з автоматичним вибором кроку інтегрування. Оцінити похибки результатів. 4. Порівняти ефективність і точність даних методів. 5. ЗМІСТ ЗВІТУ 1. Мета роботи. 2. Порівняльна характеристика методів обчислення означених інтегралів за квадратурними формулами. 3. Результати обчислень за кожним із методів. 4. Аналіз результатів, висновки. 6. Л І Т Е Р А Т У Р А 1. Бахвалов И.С., Жидков И.П., Кобельков Г.М. Численные методы. –М.: Наука, 1987. – 600 с. 2. Бабенко К.И. Основы численного анализа. – М.: Наука, 1986. – 744 с. 3. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. – М.: Наука, 1989. –432 с. 4. Турчак Л.И. Основы численных методов. – М.: Наука, 1987. – 320 с. 5. Боглаев Ю.П. Вычислительная математика и программирование. – М.: Высш. шк., 1990. – 544 с. 6. Краскевич В.Е., Зеленский К.Х., Гречко В.И. Численные методы в инженерных исследованиях. – К.: Вища шк., 1986. – 263 с. 7. Волков Е.А. Численные методы. – М.: Наука, 1982. – 256 с. 8. Жалдак М.І., Рамський Ю.С. Чисельні методи математики. – К.: Рад.шк., 1984. – 206 с. 9. Данилина Н.И., Дубровская Н.С., Кваша О.П. и др. Численные методы. – М.: Высш.шк., 1976. – 368 с. НАВЧАЛЬНЕ ВИДАННЯ МЕТОДИ ЧИСЕЛЬНОГО ІНТЕГРУВАННЯ ФУНКЦІЙ І Н С Т Р У К Ц І Я до лабораторної роботи № 3 з курсу “ Чисельні методи в інформатиці” для базового напрямку 6.0804 “Комп’ютерні науки” Укладачі [ім’я автора приховано] [ім’я автора приховано] [ім’я автора приховано] Редактор Грабовська О.О. Видавництво Державного університету "Львівська політехніка" Львів, вул. Ф.Колесси, 2 Формат 60х84 1/16. Папір офсетний. Умовн.-друк.арк. 0,47. Умовн.фарбо-відб. 0,47. Тираж 15 прим. Зам.363. Тиражування здійснене на кафедрі САПР. Відповідальний [ім’я автора приховано].