Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
ПОХИБКИ ОБЧИСЛЮВАЛЬНИХ ПРОЦЕСІВ.
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Системи автоматизованого проектуваня
Інформація про роботу
Рік:
1999
Тип роботи:
Інструкція та методичні настанови
Предмет:
Чисельні методи в інформатиці
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ
ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ "ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА"
ПОХИБКИ ОБЧИСЛЮВАЛЬНИХ ПРОЦЕСІВ
І Н С Т Р У К Ц І Я
до лабораторної роботи N 1
з курсу "Чисельні методи в інформатиці"
для студентів базового напрямку 6.08.04
"Комп'ютерні науки"
Затверджено
на засіданні кафедри
"Системи автоматизованого
проектування"
Протокол N 14 від 03.04.97 р.
Львів 1999
ПОХИБКИ ОБЧИСЛЮВАЛЬНИХ ПРОЦЕСІВ. Інструкція до лабора торної роботи N1 з дисципліни "Чисельні методи в інформатиці" для студентів базового напрямку 6.08.04 "Комп'ютерні науки" / Укл. І.І.Мотика, В.І.Каркульовський, І.І.Чура. - Львів: Видавництво ДУ "Львівська політех ніка", 1999. – 10 с.
Укладачі Мотика І.І., канд. техн. наук, доц.
Каркульовський В.І., канд. техн. наук, доц.
Чура І.І., канд. техн. наук, доц.
Відповідальний за випуск С.П.Ткаченко, канд. техн. наук, доц.
Рецензенти Федасюк Д.В., канд. техн. наук, доц.
Близнюк М.Б., канд. техн. наук, доц.
1. МЕТА РОБОТИ
Мета роботи – ознайомлення із механізмами виникнення та оцінки похибок у числовому результаті.
2. ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТИНА
2.1. Класифікація похибок
Похибка – це різниця між істинним значенням величини (вважаючи це істинне значення відомим) і його наближеним значенням. Тобто:
EMBED Equation.3EMBED Equation.3EMBED Equation.3 (1)
де EMBED Equation.3 – похибка; х – точне значення величини; EMBED Equation.3 – наближення значення величини.
У багатьох випадках знак похибки невідомий. Тоді доцільно користу ватися абсолютною похибкою наближеного числа.
EMBED Equation.3EMBED Equation.3 (2)
Найчастіше число х невідоме і, відповідно, не можна визначити і абсо лютну похибку. У такому разі корисно замість невідомої теоретичної абсо лютної похибки EMBED Equation.3 ввести її оцінку зверху, так звану граничну абсолютну похибку.
Під граничною абсолютною похибкою EMBED Equation.3 наближеного числа розумі ється будь-яке число, не менше від абсолютної похибки цього числа. Звідси випливає, що точне число EMBED Equation.3 обмежене границями:
EMBED Equation.3. (3)
Практично вигідно як EMBED Equation.3 вибирати якомога менше при даних обстави нах число, яке задовольняє нерівність (3).
Відносною похибкою EMBED Equation.3 наближеного числа х називається відношення абсолютної похибки EMBED Equation.3 цього числа до модуля відповідного точного числа х EMBED Equation.3, тобто:
EMBED Equation.3. (4)
Граничною відносною похибкою EMBED Equation.3 даного наближеного числа назива ється будь-яке число, не менше від відносної похибки цього числа. За визначенням маємо:
EMBED Equation.3. (5)
Оскільки EMBED Equation.3, то замість формули (4) часто використовують формулу:
EMBED Equation.3. (6)
Звідси по відомій граничній відносній похибці EMBED Equation.3 отримуємо межі точ ного числа, які умовно записують так:
EMBED Equation.3. (7)
У процесі числового розв'язання деякої задачі доводиться мати справу із трьома основними видами похибок:
похибки, що містяться у початковій інформації;
похибки, що виникають при обмеженні нескінченного математич ного процесу скінченним числом операцій (похибки обмеження);
похибки, що виникають внаслідок необхідності подавати число у вигляді скінченної послідовності цифр (похибки заокруглення).
Кожну із цих похибок можна представити в абсолютній та відносній формах.
2.2. Похибки у початковій інформації
Похибки вхідної інформації виникають внаслідок неточності вимірювань, грубих промахів або через неможливість представити необхідну величину скінченним дробом.
Багато чисел не можна представити точно обмеженим числом значу щих цифр. Наприклад, число EMBED Equation.3, яке є ірраціональним числом. Неможливо точно представити і періодичні дроби.
Часто буває також, що дроби, які є скінченими в одній системі числен ня, стають нескінченними в іншій.
2.3. Похибки обмеження
Похибки обмеження визначаються тими числовими методами, які були використані для розв'язання задачі.
Наприклад, при обчисленні функції синуса за допомогою степеневого ряду:
EMBED Equation.3 (8)
неможливо використати всі члени ряду, оскільки ряд є нескінченним. Обчис лення обмежуються скінченним числом членів. Наприклад, до х7 або х9. Від кинуті члени ряду (а їх число нескінченне) вносять деяку похибку в результат обчислень. Ця похибка називається похибкою обмеження, оскільки вона ви никає внаслідок обмеження нескінченного математичного процесу.
Дуже багато процесів, що використовуються при обчисленнях, є не скінченними, так що аналіз похибок обмеження дуже важливий.
2.4. Похибки заокруглення
Навіть, якщо припустити, що початкова інформація не містить ніяких похибок, а всі обчислювальні процеси є скінченними і не приводять до похи бок обмеження, то в і такому випадку присутній третій тип похибок – похибки заокруглення. Оскільки обчислювальні машини завжди працюють із скінченною кількістю значущих цифр, то потреба в заокругленні виникає досить часто.
Кожна із чотирьох арифметичних операцій дає в результаті число, яке можна представити у вигляді двох доданків:
EMBED Equation.3. (9)
У даному випадку EMBED Equation.3 має t значущих цифр. Звичайне “заокруглення” означає, що з величиною EMBED Equation.3 проводять якусь дію, що залежить від величини EMBED Equation.3. Дуже часто ніяка дія не виконується, тобто EMBED Equation.3 просто відкидається. Такий принцип реалізовано у багатьох трансляторах з ФОРТРАНу.
У такому випадку відносна похибка становитиме:
EMBED Equation.3. 10)
Тобто при реалізації такого принципу максимальна похибка заокруг лення дійсного числа не залежить від величини цього числа, а залежить тільки від кількості значущих цифр в комірці пам'яті ЕОМ. Частіше викори стовують так зване симетричне заокруглення:
EMBED Equation.3.EMBED Equation.3 (11)
EMBED Equation.3 (12)
де EMBED Equation.3 має той самий знак, що й EMBED Equation.3. Додавання EMBED Equation.3 відповідає додаванню одиниці до наймолодшого розряду, якщо відкинуте число починається з цифри 5 або більшої.
Максимально можлива відносна похибка для даного способу:
EMBED Equation.3. (13)
2.5. Поширення похибок
Одним із найважливіших питань в числовому аналізі є питання про те, як похибка, що виникає в певному місці в ході обчислень, поширюється далі. Для цього розглянемо вирази для абсолютної і відносної похибок результату кожної із чотирьох арифметичних дій як функції величин, що беруть участь в операції та їх похибок:
Додавання
EMBED Equation.3. (14)
Похибка суми, яку ми позначимо через EMBED Equation.3, дорівнюватиме:
EMBED Equation.3. (15)
Відносна похибка:
EMBED Equation.3. (16)
Віднімання
Аналогічно до попередньої операції похибка дорівнює:
EMBED Equation.3.
Відносна похибка:
EMBED Equation.3. (17)
Множення
Похибка:
EMBED Equation.3. (18)
Відносна похибка:
EMBED Equation.3. (19)
Ділення
Похибка:
EMBED Equation.3. (20)
Відносна похибка:
EMBED Equation.3. (21)
Найчастіше метою розрахунків є оцінка граничних похибок. Наведені формули є основою для побудови різних методів аналізу похибок обчислюва льних процесів.
Одним з найпростіших підходів до проблеми є визначення області відповіді. В цьому випадку для кожної арифметичної операції приймаються такі знаки похибок, які дають в результаті максимальну можливу похибку. Та кий підхід приводить до надійних, але, переважно, завищених оцінок похибок.
Поширені також статистичні методи, які будуються на припущенні, що заокруглення є випадковим процесом і, відповідно, можна побудувати модель заокруглення, беручи за основу теорію імовірностей. Найважливішою проб лемою в цьому випадку є обґрунтований вибір розподілів похибок операцій.
Найбільш доступним способом оцінки точності обчислень на практиці є обрахунок із звичайною і подвійною точністю.
3. КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ
Які існують види похибок?
Які джерела виникнення похибок у початковій інформації?
Що таке похибки обмеження?
Що таке похибки заокруглення?
Як оцінюють відносну похибку звичайного заокруглення?
Як оцінюють відносну похибку при симетричному заокругленні?
Як поширюються похибки залежно від арифметичних операцій?
4. ЛАБОРАТОРНЕ ЗАВДАННЯ
1. Ознайомитись із особливостями виникнення і поширення похибок.
Одержати індивідуальне завдання.
Оцінити похибку обмеження при обчисленні функції розкладом у ряд для заданого варіанта.
Оцінити похибку заокруглення для заданого варіанта.
Дослідити поширення похибок для заданого варіанта.
5. ЗМІСТ ЗВІТУ
1.1. Мета роботи.
2. Короткий опис особливостей виникнення, поширення та оцінки похибок.
3. Індивідуальне завдання.
4. Результати аналізу похибок.
5. Висновки.
6. СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
1. Мак-Кракен Д., Дорн И. Численные методы и программирование на Фортране.-М.: Мир, 1977.-584 с. 2. Бронштейн И.Н., Семендяев Н.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов. -М.: Наука, 1988. –720 с. 3. Попов Б.А., Теслер Г.С. Вычисление функций на ЭВМ. -К.: Наук.думка, 1984. – 600 с. 4. Форсайт Дж. и др. Машинные методы матема тических вычислений. – М.: Мир, 1980. – 560 с. 5. Жалдак М.І., Рамський Ю.С. Чисельні методи математики. - К.: Рад. школа, 1984. – 208 с.
НАВЧАЛЬНЕ ВИДАННЯ
ПОХИБКИ ОБЧИСЛЮВАЛЬНИХ ПРОЦЕСІВ
І Н С Т Р У К Ц І Я
до лабораторної роботи № 1
з курсу “Чисельні методи в інформатиці”
для базового напрямку 6.0804
“Комп’ютерні науки”
Укладачі Ігор Іванович Мотика
Володимир Іванович Каркульовський
Ігор Іванович Чура
Редактор О.М.Губарєва
Видавництво Державного університету "Львівська політехніка"
Львів, вул. Ф.Колесси, 2
Формат 60х84 1/16. Папір офсетний.
Умовн.-друк.арк. 0,7. Умовн.-фарбо-відб. 0,52.
Тираж 15 прим. Зам. 361.
Тиражування здійснене на кафедрі САПР.
Відповідальний за тиражування
доц. Каркульовський Ігор Іванович.
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора